2013高三物理專題復習：帶電粒子在勻強磁場中的運動

1、專題復習：帶電粒子在勻強磁場中的運動 第一部分：基礎知識 一、洛侖茲力的方向、大小及回旋角、弦切角等的關系 1 1、在不計帶電粒子（如電子、質子、 ：粒子等基本粒子）的重力的條件下，帶電粒子在 勻強磁場有三種典型的運動，它們決定于粒子的速度（ v v）方向與磁場的磁感應強度（B B）方 向的夾角（日）。 （1 1） 若帶電粒子的速度方向與磁場方向平行時， 粒子不受洛侖茲力作用而作勻速直線運 動。 （2 2） 若粒子的速度方向與磁場方向垂直， 則帶電粒子在垂直于磁感線的平面內以入射速 度 v v 作勻速圓周運動，其運動所需的向心力全部由洛侖茲力提供。 （3 3） 若帶電粒子的速度方向與磁場方向成

2、一夾角 0（0* 0 0 0* 9090 則粒子的運動軌跡 是一螺旋線（其軌跡如圖）：粒子垂直磁場方向作勻速圓周運動， 平行磁場方向作勻速運動， 螺距 S=v/ TS=v/ To 2 2、帶電粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的幾個基本公式 向心力公式: 軌道半徑公式: 周期、頻率和角頻率公式: 2 2f 動能公式: T T、f f 和，的兩個特點 第一、T T、 f f 的.的大小與軌道半徑（R R）和運行速率（V V）無關，而只與磁場的磁感應強 度（B B）和粒子的荷質比（q/m q/m ）有關。 第二、荷質比（q/m q/m ）相同的帶電粒子，在同樣的勻強磁場中， T T、f f 和.相同。

3、 在分析和解答帶電粒子作勻速圓周運動的問題時，除了應熟悉上述基本規(guī)律之外，還必 洛侖茲力作用下，一個作勻速圓周運動的粒子，不論沿順時針方向還是逆時針方向，從 點運動到 B B 點，均具有三個重要特點。 第一、軌道圓心（0 0）總是位于 A A、B B 兩點洛侖茲力（f f）的交點上或 ABAB 弦的中垂線（00 00 ） 與任一個 f f 的交點上。 3 3、帶電粒子的軌道圓心（0 0）、速度偏向角（ 的夾角、回旋角（：） 一段圓弧所對應的圓心角叫回旋角、和弦切角（ 的端點處的切線之間的夾角叫弦切角。 刃圓弧的弦與過弦 須掌握確定軌道圓心的基本方法和計算 如圖 6 6 所示, 第二、粒子的速度

4、偏向角（ ），等于回旋角（），并等于 ABAB 弦與切線的 ）是指末速度與初速度之間 A 和 T 的定量關系。 第三、相對的弦切角（9 9 相等，與相鄰的弦切角（r ）互補，即二+二=180=180 二、電偏轉”與磁偏轉”的比較 1 1、概念：帶電粒子垂直電場方向進入勻強電場后，在電場力作用下的偏轉叫 電偏轉 帶電粒子垂直磁場進入勻強磁場后，在洛倫茲力作用下的偏轉叫 磁偏轉” 2 2、電偏轉”和磁偏轉”的比較。 （1 1 ）帶電粒子運動規(guī)律不同。電偏轉中：粒子做類平拋運動，軌跡為拋物線，研究方法 為運動分解和合成，加速度 a a= Eq/mEq/m, ,（粒子的重力不計）側移量（偏轉量）y y

5、= atat2/2/2= qEtqEt2/2m /2m ； 磁偏轉中：帶電粒子做勻速圓周運動，從時間看 T=2T=2n m/qB,m/qB,從空間看：R=mv/qBR=mv/qB。 （2 2）帶電粒子偏轉程度的比較。 1 1 電偏轉：偏轉角（偏向角） %= tan tan （WVWVx） = tan tan （ Eqt/mvEqt/mvo）,由式中可知：當偏轉區(qū) 域足夠大，偏轉時間 t t 充分長時，偏轉角 EE接近 n2 2,但不可能等于 n2 2。磁偏轉的偏轉角 電 =wt= Vt/r Vt/r = qBt/mqBt/m，容易實現(xiàn) 0 0 n角的偏轉 三、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的問題

6、 有界勻強磁場是指在局部空間內存在著勻強磁場。對磁場邊界約束時，可以使磁場有著 多種多樣的邊界形狀，如：單直線邊界、平行直線邊界、矩形邊界、圓形邊界、三角形邊界 等。這類問題中一般設計為： 帶電粒子在磁場外以垂直磁場方向的速度進入磁場， 在磁場內 經(jīng)歷一段勻速圓周運動后離開磁場。 粒子進入磁場時速度方向與磁場邊界夾角不同， 使粒子 運動軌跡不同，導致粒子軌跡與磁場邊界的關系不同，由此帶來很多臨界問題。 1 1、基本軌跡。 （1 1 ）單直線邊界磁場（如圖 1 1 所示）。 帶電粒子垂直磁場進入磁場時。 、 一一 = =2 n n = = . .t t。 夾角一一弦切角（-） 如果垂直磁場邊界進

7、入，粒子作半圓運動后垂直原邊界飛出； 如果與磁場邊界成夾角 B進入，仍以與磁場邊界夾角 B飛出(有兩種軌跡，圖 1 1 中若 兩軌跡共弦，則 0 10 2 (2 2)平行直線邊界磁場(如圖 2 2 所示)。 帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進入磁場時， 速度較小時，作半圓運動后從原邊界飛出； 速度增加為某臨界值時，粒子作部分圓周運動其軌跡與另一邊界相切； 速度較大 時粒子作部分圓周運動后從另一邊界飛出。 (3)(3) 矩形邊界磁場(如圖 3 3 所示)。 帶電粒子垂直磁場邊界并垂直磁場進入磁場時， 速度較小時粒子作半圓運動后從原邊界飛出； 速度在某一范圍內時從側面邊界飛出； 速度為某臨界值時，粒

8、子作部分圓周運動其軌跡與對面邊界相切； 速度較大時粒子作部分圓周運動從對面邊界飛出。 (4 4 )帶電粒子在圓形磁場區(qū)域中做勻速圓周運動的幾個特點。 特點 1 1 入射速度方向指向勻強磁場區(qū)域圓的圓心，則出射速度方向的反向延長線必過 該區(qū)域圓的圓心。 例 1 1。如圖 1 1,圓形區(qū)域內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度為 B B,現(xiàn)有一電 荷量為 q q，質量為 m m 的正離子從 a a 點沿圓形區(qū)域的直徑入射，設正離子射出磁場區(qū)域方向 與入射方向的夾角為 解析：設正離子從磁場區(qū)域的 b b 點射出，射出速度方向的延長線與入射方向的直徑交 點為 0 0,如圖 2,2,正離子在磁場中運動

9、的軌跡為一段圓弧， 該軌跡圓弧對應的圓心 O O 位于初、 末速度方向垂線的交點，也在弦 abab 的垂直平分線上，O O b與區(qū)域圓相切，弦 abab 既是軌跡圓 弧對應的弦，也是區(qū)域圓的弦，由此可知， 0000 就是弦 abab 的垂直平分線，0 0 點就是磁場區(qū)域 圓的圓心。 離子在磁場中完成了 1/61/6 圓周，即 1 1 nm t T - 6 3qB 特點 2 2 入射速度方向（不一定指向區(qū)域圓圓心）與軌跡圓弧對應的弦的夾角為 域圓的圓心都在弧弦的垂直平分線上。 如圖 3 3,帶電粒子從 a a 點射入勻強磁場區(qū)域，初速度方向不指向區(qū)域圓圓心，若出射點又因為四邊形 OabOOabO

10、 的四個角之和為 ，則出射速度方向與入射速度方向的偏轉角為 并且初末速度方向的交點、軌跡圓的圓心、區(qū) ，可推出 ，因此，正 軌跡圓弧對應的圓心角也為 入射速度方向與該中垂線的交點為 d d，可以證明：出射速度方向的反向延長線也過 d d 點，0 0、 d d、OO都在弦 abab 的垂直平分線上。 如果同一種帶電粒子，速度方向一定、速度大小不同時，出射點不同，運動軌跡對應的 為 b b，軌跡圓的圓心 O O 在初速度 例 2 2。如圖 4 4 所示，在 xOyxOy 坐標系第一象限內有一個與 磁場，磁感應強度為 B,B,方向垂直紙面向外， 帶電粒子（不計重力）質量為 x x 軸相切于 Q Q

11、點的圓形有界勻強 m m,帶電荷量 abab 的垂直平分t需 也不同，則 問：在第一象限內圓形磁場區(qū)域的半徑多大? 分析：根據(jù)上述特點 2 2 可知，速度偏轉角為 為+q+q，以初速度 經(jīng)過該圓形有界磁 場時，速度方向偏轉了 那么弦切角就為 ，我們可以先做出弦，并且弦一定過 Q Q 點，因此，做出過 Q Q 點且平行于 y y 也可在圖 4 4 中體會一下，如果區(qū)域圓半徑過大或過小，弦(入射點和 發(fā)生變化，可以看出弦切角不再是 2 2 .基本方法。 帶電粒子在勻強磁場中作部分圓周運動時，往往聯(lián)系臨界和多解問題，分析解決這類問 題的基本方法是： (1)(1) 運用動態(tài)思維，確定臨界狀態(tài)。從速度的

12、角度看，一般有兩種情況： 粒子速度方向不變，速度大小變化；此時所有速度大小不同的粒子，其運動軌跡的圓 心都在垂直于初速度的直線上，速度增加時，軌道半徑隨著增加，尋找運動軌跡的臨界點(如: 與磁場邊界的切點，與磁場邊界特殊點的交點等) ； 粒子速度大小不變，速度方向變化；此時由于速度大小不變，則所有粒子運動的軌道 半徑相同，但不同粒子的圓心位置不同， 其共同規(guī)律是：所有粒子的圓心都在以入射點為圓 心，以軌道半徑為半徑的圓上，從而找出動圓的圓心軌跡，再確定運動軌跡的臨界點。 (2)(2) 確定臨界狀態(tài)的圓心、 半徑和軌跡，尋找臨界狀態(tài)時圓弧所對應的回旋角求粒子的軸的直線, AQAQ 就是弦，又因為

13、 區(qū)域圓在 Q Q 點與 x x 軸相切，AQAQ 也是區(qū)域圓的直徑，如圖 4 4。軌跡圓心為 Q Q，圓心角為60。， 為等邊三角形，半徑 Q Q 點的連線)也會 A A, A A 點就是入射點， 所以圓形磁場區(qū)域的半徑為 30，那么偏轉角也就不會是 運動時間（見前一課時）。 四帶電粒子在勻強磁場運動的多解問題 帶電粒子在勻強磁場中運動時，可能磁場方向不定、電荷的電性正負不定、磁場邊界的 約束、臨界狀態(tài)的多種可能、運動軌跡的周期性以及粒子的速度大小和方向變化等使問題形 成多解。 1 1 帶電粒子的電性不確定形成多解。 當其它條件相同的情況下， 正負粒子在磁場中運動 的軌跡不同，形成雙解。 2

14、 2 .磁場方向不確定形成多解。當磁場的磁感應強度的大小不變，磁場方向發(fā)生變化時， 可以形成雙解或多解。 3 3 .臨界狀態(tài)不唯一形成多解。 帶電粒子在有界磁場中運動時， 可能出現(xiàn)多種不同的臨界 狀態(tài)，形成與臨界狀態(tài)相對應的多解問題。 4 4 .帶電粒子運動的周期性形成多解。粒子在磁場中運動時，如果改變其運動條件（如： 加檔板、加電場、變磁場等）可使粒子在某一空間出現(xiàn)重復性運動而形成多解 五.磁場最小范圍問題 近年來高考題中多次出現(xiàn)求圓形磁場的最小范圍問題，這類問題的求解方法是：先依據(jù) 題意和幾何知識，確定圓弧軌跡的圓心、 半徑和粒子運動的軌跡， 再用最小圓覆蓋粒子運動 的軌跡（一般情況下是圓

15、形磁場的直徑等于粒子運動軌跡的弦） ，所求最小圓就是圓形磁場 的最小范圍 第二部分：帶電粒子在復合場中運動的應用 一.速度選擇器原理 速度選擇器是近代物理學研究中常用的一種實驗工具，其功能是為了選擇某種速度的帶 電粒子 1.1. 結構：如圖所示 （1 1） 平行金屬板 M M、N N,將 M M 接電源正極，N N 板接電源負極，M M、N N 間形成勻強電場， 設場強為 E E； （2 2） 在兩板之間的空間加上垂直紙面向里的勻強磁場，設磁感應強度為 B B; （3 3） 在極板兩端加垂直極板的檔板，檔板中心開孔 3 3、孔 S S、$水平正對。 2 2 .原理 工作原理。設一束質量、電性、

16、帶電量、速度均不同的粒子束（重力不計） ，從 S S 孔垂 直磁場和電場方向進入兩板間， 當帶電粒子進入電場和磁場共存空間時， 同時受到電場力和 洛倫茲力作用 0 4- 由此可見，盡管有一束速度不同的粒子從 S Si孔進入，但能從 S S2孔飛出的粒子只有一種速度, 而與粒子的質量、電性、電量無關 (3)(3) 使粒子勻速通過選擇器的兩種途徑 變，但不能同時改變三個或者其中任意一個的方向， 否則將破壞速度選擇器的功能。 F電二 Eq, F洛洛二二 Bq Eq = Bq S2孔飛出。 3 3 .幾個問題 (1 1)粒子受力特點 電場力 F F 與洛侖茲力 f f 方向相反 (2(2)粒子勻速通過

17、速度選擇器的條件 帶電粒子從小孔 S Si水平射入，勻速通過疊加 場，并從小孔 S S2水平射出，電場力與洛侖茲力平衡, 即Eq 二 Bq 定時一一調節(jié) E E 和 B B 的大小; ; 的大?。桓鶕?jù)勻速運動的條件和功能關系, 1 m E 2。 = - | 2 q B 將 V。、E、B B 三者中任意兩個量的方向同時改 即：當粒子的速度 不發(fā)生偏轉，可以從 U U 當V。 (5 5)如果粒子從 S Sb孔進入時，粒子受電場力和洛倫茲力的方向相同，所以無論粒子多 大的速度，所有粒子都將發(fā)生偏轉 電勢能增加， 有 1 2 mvo 2 qE：d mv F F 做正功 粒子動能增加, 電勢能減少， 有

18、 質譜儀主要用于分析同位素， 測定其質量， 荷質比和含量比， 如圖所示為一種常用的 質譜儀 1 1 質譜儀的結構原理 T曠 b U :C JIN d ；S2 X I X A B0；x （1 1） 離子發(fā)生器 0 0（0 0 中發(fā)射出電量 q q、質量 m m 的粒子，粒子從 A A 中小孔 S S 飄出時速度 大小不計；） （2 2） 靜電加速器 C C：靜電加速器兩極板 M M 和 N N 的中心分別開有小孔 S S、粒子從 S Si 進入后，經(jīng)電壓為 U U 的電場加速后，從 S S2孔以速度 v v 飛出； （3 3） 速度選擇器 D D:由正交的勻強電場 E E0和勻強磁場 B Bo構

19、成，調整 E Eo和 B Bo的大小可以 選擇度為 v v0= E E0/B/Bo的粒子通過速度選擇器，從 S S3孔射出； （4 4）偏轉磁場 B B：粒子從速度選擇器小孔 0 射出后，從偏轉磁場邊界擋板上的小孔 Q Q 進入，做半徑為 r r 的勻速圓周運動； （5 5）感光片 F F:粒子在偏轉磁場中做半圓運動后，打在感光膠片的 P P 點被記錄，可以測 得 P0P0 間的距離 L L。裝置中 S S 0、S S2、&、0 五個小孔在同一條直線上 2 2 問題討論： 設粒子的質量為 m m、帶電量為 q q （重力不計）， 粒子經(jīng)電場加速由動能定理有： 1 ； qU = _ mu

20、2 2 粒子在偏轉磁場中作圓周運動有： L=2m ； Bq 另一種表達形式 8U q 8U m B2L2 同位素荷質比和質量的測定 ：粒子通過加速電場，通過速度選擇器, 根據(jù)勻速運動的條 件： E。若測出粒子在偏轉磁場的軌道直徑為 L L,則 v L = 2R = B0 Bq B0 Bq 2mv 2mE，所以 同位素的荷質比和質量分別為 q 2E B0BqL ;m m B0BL 2E 聯(lián)立解得: 2, 2 qB L 三磁流體發(fā)電機 磁流體發(fā)電就是利用等離子體來發(fā)電。 1 1 等離子體的產(chǎn)生：在高溫條件下（例如 2000K2000K）氣體發(fā)生電離，電離后的氣體中含有 離子、電子和部分未電離的中性

21、粒子，因為正負電荷的密度幾乎相等，從整體看呈電中性， 這種高度電離的氣體就稱為等離子體，也有人稱它為 物質的第四態(tài)”。 2.2. 工作原理 磁流體發(fā)電機結構原理如圖（1 1）所示，其平面圖如圖（2 2）所示。M M、N N 為平行板電極， 極板間有垂直于紙面向里的勻強磁場， 讓等離子體平行于極板從左向右高速射入極板間， 由 于洛倫茲力的作用，正離子將向 M M 板偏轉，負離子將向 N N 板偏轉，于是在 M M 板上積累正電 荷，在 N N 板上積累負電荷。這樣在兩極板間就產(chǎn)生電勢差，形成了電場，場強方向從 M M 指 向 N N，以后進入極板間的帶電粒子除受到洛倫茲力 之外，還受到電場力 的

22、作用，只 F洛 F電 要 ，帶電粒子就繼續(xù)偏轉，極板上就繼續(xù)積累電荷，使極板間的場強增加，直到 匸洛 F電 帶電粒子所受的電場力 與洛倫茲力 大小相等為止。此后帶電粒子進入極板間不再偏 F電 F洛 轉，極板上也就不再積累電荷而形成穩(wěn)定的電勢差 3 3 電動勢的計算：設兩極板間距為 d d,根據(jù)兩極電勢差達到最大值的條件 F洛=卩電，即 E _ B dB 四回旋加速器 19321932 年美國物理學家勞倫斯發(fā)明的回旋加速器， 是磁場和電場對運動電荷的作用規(guī)律在 科學技術中的應用典例， 也是高中物理教材中的一個難點， 其中有幾個問題值得我們進一步 探討 回旋加速器是用來加速帶電粒子使之獲得高能量的

23、裝置。 1 1 回旋加速器的結構。回旋加速器的核心部分是兩個D D 形金屬扁盒（如 盒之間留有一條窄縫，在窄縫中心附近放有粒子源 在巨大的電磁鐵的兩極之間，勻強磁場方向垂直于 高頻電源的兩極上。 0 0 放射出的帶電粒子，經(jīng)兩 D D 形盒間 在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運動， 經(jīng)磁場偏轉半個周期后又回到窄縫。 此時窄縫間的電場方向恰好改變， 帶電粒子在窄縫中再 一次被加速，以更大的速度進入另一 D D 形盒做勻速圓周運動 ,這樣，帶電粒子不斷被加 速，直至它在 D D 形盒內沿螺線軌道運動逐漸趨于盒的邊緣，當粒子達到預期的速率后，用 特殊裝置將其引出。 3 3 .冋題討論。 (1 (1 )高

24、頻電源的頻率 加速，運動速度不斷增加， 在磁場中運動半徑不斷增大， 但粒子在磁場中每運動半周的時間 不變。由于窄縫寬度很小，粒子通過電場窄縫的時間很短，可以忽略不計，粒 子運動的總時間只考慮它在磁場中運動的時間。 因此，要使粒子每次經(jīng)過窄縫時都能被加速 的條件是：高頻電源的周期與帶電粒子運動的周期相等(同步) ，即高頻電源的頻率為 ，才能實現(xiàn)回旋加速。 f電二亜 D D 形盒的半徑 R R 一定，粒子在 D D 形盒中加速的最后半周的半徑為 R,R,由 momo彳 Bqu = - R 子不做功，但 E E 卻與 B B 有關; m： 2 ，由此可知，加速電壓的高低只會影響帶電粒子加速的總次數(shù),

25、 E 2 并不影響回旋加速后的最大動能。 (3 3)能否無限制地回旋加速。 由于相對論效應，當帶電粒子速率接近光速時，帶電粒子的質量將顯著增加，從而帶電 粒子做圓周運動的周期將隨帶電粒子質量的增加而加長。如果加在 D D 形盒兩極的交變電場 的周期不變的話，帶電粒子由于每次遲到”一點，就不能保證粒子每次經(jīng)過窄縫時總被加速。 因此，同步條件被破壞，也就不能再提高帶電粒子的速率了 粒子在加速器中運動的時間:可知 V BqR，所以帶電粒子的最大動能 m mu E工 2 B2Q2R2。雖然洛倫茲力對帶電粒 2m 0 0。D D 形盒裝在真空容器中，整個裝置放 D D 形盒的底面。把兩個 D D 形盒分

26、別接到 2 2 .回旋加速器的工作原理。如圖所示，從粒子源 D D 形盒內， 此時窄縫間的電場方向恰好改變, D D 形盒做勻速圓周運動 帶電粒子在勻強磁場中運動的周期 2m 。帶電粒子運動時，每次經(jīng)過窄縫都被電場 T 二 Bq 的電場加速后，垂直磁場方向進入某一 (2) 粒子加速后的最大動能 E E由于 由于 nqU 設加速電壓為 U U,質量為 m m、帶電量為 q q 的粒子共被加速了 n n 次，若不計在電場中運動 的時間，有: 【例題】有一回旋加速器，兩個 D D 形盒的半徑為 R,R,兩 D D 形盒之間的高頻電壓為 U U,偏 轉磁場的磁感強度為 B B。如果一個 a 粒子和一個

27、質子，都從加速器的中心開始被加速，試求 它們從 D D 形盒飛出時的速度之比。 錯解：當帶電粒子在 D D 形盒內做圓周運動時，速率不變。當帶電粒子通過兩個 D D 形盒之 間的縫隙時，電場力對帶電粒子做功， 使帶電粒子的速度增大。 設帶電粒子的質量為 m m,電 荷為 q q,在回旋加速器中被加速的次數(shù)為 n n,從 D D 形盒飛出時的速度為 V V,根據(jù)動能定理有： 1 ，解得 nqU -mV2 V 二 nq m 由上式可知，帶電粒子從 D D 形盒飛出時的速度與帶電粒子的荷質比的平方根成正比，所 以冬=1。 必一 2 分析糾錯：上法中認為 a粒子和質子在回旋加速器內被加速的次數(shù)相同的，

28、是造成錯解 的原因。因帶電粒子在 D D形盒內做勻速圓周運動的向心力是由洛侖茲力提供的，對帶電粒 子飛出回旋加速器前的最后半周，根據(jù)牛頓第二定律有： 所以 nqU 二 E 2 2 B qR max 2m 2mU 又因為在一個周期內帶電粒子被加速兩次，所以粒子在磁場中運動的時間 時間 t磁 2 n 二 BR =T = - U 若計上粒子在電場中運動的時間，則粒子在兩 速直線運動，設間隙為 d d,有： nd也t電 md 所以 - nd2m BdR t電= ；qU U 故粒子在回旋加速器中運動的總時間為 D D 形盒間的運動可視為初速度為零的勻加 BR（2 d 二 R） 2U 因為Rd，所以t磁

29、磁 t電 故粒子在電場中運動的時間可以忽略 qBV=m吃解得八BRQ R m 因為 B B、R R 為定值，所以帶電粒子從 D D 形盒飛出時的速度與帶電粒子的荷質比成正比。 因 a粒子的質量是質子質量的 4 4 倍，a 粒子的電荷量是質子電荷量的 五.霍爾效應 1.1. 霍爾效應。金屬導體板放在垂直于它的勻強磁場中，當導體板中通過電流時，在平行 于磁場且平行于電流的兩個側面間會產(chǎn)生電勢差，這種現(xiàn)象叫霍爾效應。 2 2 霍爾效應的解釋。如圖，截面為矩形的金屬導體，在 x方向通以電流 I,在 z方向加 磁場 E,導體中自由電子逆著電流方向運動。 由左手定則可以判斷， 運動的電子在洛倫茲力 作用下

30、向下表面聚集，在導體的上表面 A A 就會出現(xiàn)多余的正電荷，形成上表面電勢高，下 表面電勢低的電勢差，導體內部出現(xiàn)電場，電場方向由 A A 指向 A A，以后運動的電子將同時 受洛倫茲力 和電場力 作用，隨著表面電荷聚集，電場強度增加， 也增加，最終會 F洛 F電 F電 使運動的電子達到受力平衡（ ）而勻速運動，此時導體上下兩表面間就出現(xiàn)穩(wěn)定 F洛=F電 的電勢差。 3 3 .霍爾效應中的結論。 設導體板厚度為 h h（y y 軸方向）、寬度為 d d、通入的電流為 I I,勻強磁場的磁感應強度為 B B, 導體中單位體積內自由電子數(shù)為 n n,電子的電量為 e e,定向移動速度大小為 v v

31、，上下表面間 的電勢差為 U U; （1）由 Uq = U =Bh 。 Bq h （2 2）實驗研究表明，U U、I I、B B 的關系還可表達為 ，k k 為霍爾系數(shù)。又由電 U =k旦 d 流的微觀表達式有：|二門es - nehd：。聯(lián)立 爾系數(shù)的測定來確定導體內部單位體積內自由電子數(shù)。 度v切割磁感線所產(chǎn)生的感應電動勢E感二Bh- 六電磁流量計 電磁流量計是利用霍爾效應來測量管道中液體流量（單位時間內通過管內橫截面的液體4 4 倍，故有: 式可得 i。由此可通過霍 k = ne （3 3 ）考察兩表面間的電勢差 U = Bh：，相當于長度為 h h 的直導體垂直勻強磁場 B B 以速

32、的體積）的一種設備。其原理為: 如圖所示 圓形管道直徑為 d d （用非磁性材料制成），管道內有向左勻速流動的導電液體，在管道所 在空間加一垂直管道向里的勻強磁場， 設磁感應強度為 B B;管道內隨液體一起流動的自由電 荷（正、負離子）在洛倫茲力作用下垂直磁場方向偏轉，使管道上 abab 兩點間有電勢差，管 道內形成電場；當自由電荷受電場力和洛倫茲力平衡時， abab 間電勢差就保持穩(wěn)定，測出 abab 間電勢差的大小 U U,則有： 故管道內液體的流量 第三部分：題型解析，綜合提升解題能力 磁感強度 B B 是磁場中的重要概念，求解磁感強度的方法一般有：定義式法、矢量疊加法 等。 【例題】如

33、圖中所示，電流從 A A 點分兩路通過對稱的環(huán)形分路匯合于 B B 點，在環(huán)形分路 的中心 0 0 處的磁感強度（） A.A. 垂直環(huán)形分路所在平面，且指向 紙內”。 B.B. 垂直環(huán)形分路所在平面，且指向 紙外”。 C.C. 在環(huán)形分路所在平面內指向 B B。 D.D. 磁感強度為零。 解析：利用微元法”把圓周上電流看成是由無數(shù)段直導線電流的集合，由安培定則可 知在一條直徑上的兩個微元所產(chǎn)生的磁感強度等大反向，由矢量疊加原理可知中心 0 0 處的 磁感強度為零，即 D D 選項正確。 【例題】電視機顯象管的偏轉線圈示意圖如圖所示，某時刻電流方向如圖所示。則環(huán)心 0 0 處的磁場方向為（）U

34、Bqjq Bd .2 c 兀d =S 二： 4 U Bd -： 4B A.A. 向下 B.B. 向上 C.C. 垂直紙面向里 D.D. 垂直紙面向外 解析：對于左右兩個螺線管分別由安培定則判得上方均為磁場北極，下方均為磁場南 極，所以環(huán)心 0 0 處的磁場方向為向下，即 A A 選項正確。 【例題】安培秤如圖所示，它的一臂下面掛有一個矩形線圈，線圈共有 懸在均勻磁場 B B 內，下邊一段長為 L L,它與 B B 垂直。當線圈的導線中通有電流 碼使兩臂達到平衡；然后使電流反向，這時需要在一臂上加質量為 再達到平衡。求磁感強度 B B 的大小。 強度B=。 2NLI 分析導體在安培力作用下的運動

35、 判別物體在安培力作用下的運動方向，常用方法有以下四種: 1 1、電流元受力分析法：即把整段電流等效為很多段直線電流元， 段電流元受安培力方向，從而判出整段電流所受合力方向，最后確定運動方向。 2 2、特殊值分析法：把電流或磁鐵轉到一個便于分析的特殊位置 安培力方向，從而確定運動方向。 3 3、等效分析法：環(huán)形電流可以等效成條形磁鐵、條形磁鐵也可等效成環(huán)形電流、通電螺 線管可等效成很多的環(huán)形電流來分析。 4 4、推論分析法： 兩電流相互平行時無轉動趨勢，方向相同相互吸引，方向相反相互 排斥；(2)(2)兩電流不平行時有轉動到相互平行且方向相同的趨勢。 【例題】如圖所示，把一通電直導線放在蹄形磁

36、鐵磁極的正上方，導線可以自由移動，N N 匝，它的下部 I I 時，調節(jié)砝 m m 的砝碼，才能使兩臂 解析：根據(jù)天平的原理很容易得出安培力 F =2mg ，所以 F=NBLI=F=NBLI=1 ，因此磁感 2 mg 先用左手定則判出每小 ( (如轉過 90 90 后再判所受 當導線通過電流 I I 時，導線的運動情況是( C C)( (從上往下看) ) A.A. 順時針方向轉動，同時下降 B.B. 順時針方向轉動，同時上升 C.C. 逆時針方向轉動，同時下降 D.D. 逆時針方向轉動，同時上升 【例題】如圖所示，兩平行光滑導軌相距為 L=20cm,L=20cm,金屬棒 MNMN 的質量為 m

37、=10gm=10g，電阻 R R=8Q,=8Q,勻強磁場磁感應強度 B B 方向豎直向下，大小為 B=0.8TB=0.8T,電源電動勢為 E=10V,E=10V,內阻 r=1 r=1 Q 當電鍵 S S 閉合時，MNMN 處于平衡，求變阻器 R1R1的取值為多少？( (設 0 =45 =45 ) 解析：根據(jù)左手定則判出安培力方向，再作出金屬棒平衡時的受力平面圖如圖 7 7。 當 MNMN 處于平衡時， 根據(jù)平衡條件有: mgsin mgsin - -BILcos BILcos 0 =0=0 由閉合電路的歐姆定律得： 由上述二式解得： 可見，解此類題的關鍵是正確畫出最便于分析的平面受力圖。 【例

38、題】長 L=60cmL=60cm 質量為 m=6.0m=6.0X 10102kgkg，粗細均勻的金屬棒，兩端用完全相同的彈簧掛 起，放在磁感強度為 B=0.4TB=0.4T,方向垂直紙面向里的勻強磁場中， 如圖 8 8 所示，若不計彈簧重 力，問 要使彈簧不伸長，金屬棒中電流的大小和方向如何 ？(2)(2)如在金屬中通入自左向右、 大小為 l=0.2Al=0.2A 的電流，金屬棒下降x1=1cm=1cm,若通入金屬棒中的電流仍為 0.2A0.2A，但方向相反, I I 這時金屬棒下降了多少 ？ XgX s XgX 解析：（1 1）要使彈簧不伸長，則重力應與安培力平衡，所以安培力應向上，據(jù)左手定

39、則 可知電流方向應向右，因 mg=BLImg=BLI，所以 l=mg/BL=2.l=mg/BL=2.5A5A。 （2 2）因在金屬中通入自左向右、大小為 I Ii=0.2A=0.2A 的電流，金屬棒下降 x xi=1m m=1m m,由平衡條件 得：mg=BLI+2kximg=BLI+2kxi。 當電流反向時，由平衡條件得： mg=mg=- -BLI+2kxBLI+2kx2。 解得： xmg BLI X1 ,16cm mg - BLI 與地磁場有關的電磁現(xiàn)象綜合問題 1.1.地磁場中安培力的討論 【例題】已知北京地區(qū)地磁場的水平分量為 3.03.0X 10 10 _ 5T若北京市一高層建筑安裝

40、了高 5 100m100m 的金屬桿作為避雷針，在某次雷雨天氣中，某一時刻的放電電流為 10 10 A A，此時金屬桿 所受培力的方向和大小如何？磁力矩又是多大？ 解析：首先要搞清放電電流的方向 . .因為地球帶有負電荷，雷雨放電時，是地球所帶電 荷通過金屬桿向上運動，即電流方向向下 對于這類問題，都可采用如下方法確定空間的方向：面向北方而立，則空間水平磁場均 為“X” ；自己右手邊為東方，左手邊為西方，背后為南方，如圖所示 . .由左手定則判定電流 所受磁場力向右（即指向東方） _5 F F= B|B|= 3.03.0X 10 10 X 10 10 X 10100 0= 300 300 (N

41、 N). . 因為磁力與通電導線的長度成正比，可認為合力的作用點為金屬桿的中點，所以磁力矩，大小為 X X X X X X X X X X, X X X X X .口zzzz/zzz/z/z/z/zzzz 7777777777777777777 東 F F M M = i F 1F 1= i X X 3030 區(qū) 100100 2 2 =1.5 1.5 X 10104 （ N N m m）. . 用同一方法可判斷如下問題：一條長 2m2m 的導線水平放在赤道上空，通以自西向東的電 流，它所受地磁場的磁場力方向如何？ 2.2. 地磁場中的電磁感應現(xiàn)象 【例題】繩系衛(wèi)星是系留在航天器上繞地球飛行的

42、一種新型衛(wèi)星，可以用來對地球的大 氣層進行直接探測； 系繩是由導體材料做成的， 又可以進行地球空間磁場電離層的探測； 系 繩在運動中又可為衛(wèi)星和牽引它的航天器提供電力 19921992 年和 19961996 年，在美國“亞特蘭大”號航天飛機在飛行中做了一項懸繩發(fā)電實驗： 航天飛機在赤道上空飛行，速度為 7.5km/s7.5km/s，方向自西向東. .地磁場在該處的磁感應強度 B B= -4 0.5 0.5 X 10 10 T T 從航天飛機上發(fā)射了一顆衛(wèi)星， 衛(wèi)星攜帶一根長 1 1 = 20km20km 的金屬懸繩與航天飛機 相連. .從航天飛機到衛(wèi)生間的懸繩指向地心 . .那么，這根懸繩能

43、產(chǎn)生多大的感應電動勢呢？ 解析：采用前面所設想的確定空間方位的方法，用右手定則不難發(fā)現(xiàn)，豎起右手，大 拇指向右邊（即東方），四指向上（即地面的上方），所以航天飛機的電勢比衛(wèi)星高，大小為 E E= BLBL = 0.5 0.5 X 1010_5X 2 2 X 10104X 7.57.5X 10103 = 7.57.5X 10103 （V V）. . 用同樣的方法可以判斷，沿長江順流而下的輪般桅桿所產(chǎn)生的電勢差及在北半球高空水 平向各方向飛行的飛機機翼兩端的電勢差 （注意：此時機翼切割地磁場的有效分量是豎直分 量）. . 3 3 如何測地磁場磁感應強度的大小和方向 地磁場的磁感線在北半球朝向偏北并

44、傾斜指向地面， 在南半球朝向偏北并傾斜指向天空， 且磁傾角的大小隨緯度的變化而變化 . .若測出地磁場磁感應強度的水平分量和豎直分量，即 可測出磁感應強度的大小和方向 【例題】測量地磁場磁感應強度的方法很多，現(xiàn)介紹一種有趣的方法 如圖所示為北半球一條自西向東的河流，河兩岸沿南北方向的 A A、B B 兩點相距為 d.d.若測 出河水流速為 v v, A A、B B 兩點的電勢差為 U U,即能測出此地的磁感應強度的垂直分量 B B丄. . - 水流方向 X X X X 因為河水中總有一定量的正、 負離子，在地磁場洛侖茲力的作用下， 正離子向 A A 點偏轉, 正、負離子向 B B 點偏轉，當

45、A A、B B 間電勢差達到一定值時，負離子所受電場力與洛侖茲力平 衡，離子不同偏轉，即 U = B丄 qvqv，故 B= U . . dv 帶電粒子垂直進入磁場， 在洛侖茲力的作用下，做勻速圓周運動， 是解這類題的關鍵。下面舉例說明圓心的確定方法。 1 .由兩速度的垂線定圓心 【例題】電視機的顯像管中，電子（質量為 m m,帶電量為 e e）束的偏轉是用磁偏轉技術 實現(xiàn)的。電子束經(jīng)過電壓為 U U 的加速電場后，進入一圓形勻強磁場區(qū)，如圖 1 1 所示，磁場 方向垂直于圓面，磁場區(qū)的中心為 0 0,半徑為 r r。當不加磁場時，電子束將通過 0 0 點打到屏 幕的中心 M M 點。為了讓電子

46、束射到屏幕邊緣 P P,需要加磁場，使電子束偏轉一已知角度 B B 應為多少? 射出的點。做 a a、b b 點速度的垂線，交點 0 0i即為軌跡圓的圓心。 設電子進入磁場時的速度為 V V,對電子在電場中的運動過程有 對電子在磁場中的運動（設軌道半徑為 R R）有找到圓心，畫出解析：如圖 2 2 所示，電子在勻強磁場中做圓周運動, 圓周上的兩點 a a、b b 分別為進入和 M Ifc I i n B =(1/r) 一2mU/etan(二/2) 2 2 由兩條弦的垂直平分線定圓心 【例題】如圖 3 3 所示，有垂直坐標平面的范圍足夠大的勻強磁場，磁感應強度為 B,B,方 向向里。一帶正電荷量

47、為 q q 的粒子，質量為 m m,從 0 0 點以某一初速度垂直射入磁場，其軌 跡與 x x、y y 軸的交點 A A、C C 到 0 0點的距離分別為 a a、b b。試求：（1 1）初速度方向與 x x 軸夾角； （2 2 ）初速度的大小。 解析：（1 1）粒子垂直射入磁場，在 xOyxOy 平面內做勻速圓周運動，如圖 4 4 所示，OAOA、0C 0C 是圓周上的兩條弦。做兩條弦的垂直平分線，交點 即為圓軌跡的圓心，以 為圓心， =R R 為半徑畫圓。正電荷在 0 0 點所受的洛侖茲力 F F 的方向（與初速度垂直）聯(lián)立以上二式解得 由圖可知，偏轉角 R R 的關系為 ，也在圖上標出。

48、 和粒子的初速度 v v 的方向 3 3由兩洛侖茲力的延長線定圓心 【例題】如圖 5 5 所示，有垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度為 B B。在勻強磁場中做 勻速圓周運動的一個電子，動量為 P,P,電量為 e e,在 A A、C C 點，所受洛侖茲力的方向如圖示， 已知 ACAC= d d。求電子從 A A 到 C C 時發(fā)生的偏轉角。 解析：如圖 6 6 所示，A A、C C 為圓周上的兩點，做洛侖茲力的延長線，交點 O O 為圓周軌跡由幾何關系可知，/ O OiOC OC = tan J 粒子在磁場中運動有 。在直角三角形 OOOOiD D 中，有 設初速度方向與 x x OOOOiD

49、D，粒子的軌道半徑 由上述兩式可得 v 的圓心。以 0 0 為圓心做電子從 A A 到 C C 的運動軌跡。過 A A、c c 畫出速度的方向, 角為偏轉角。 4 4 .綜合定圓心 確定圓心，還可綜合運用上述方法。 一條切線，一條弦的垂直平分線， 一條洛侖茲力的延長 線，選其中任兩條都可找出圓心。 入射方向在 xyxy 平面內，與 x x 軸正方向的夾角為 磁場方向垂直于 xOyxOy 平面 【例題】如圖 點的距離為 L L,求該粒子的電量和質量之比 q/mq/m。 解析：如圖所示， 的垂線，交點 O O1即為圓軌跡的圓心。以 O O1為圓心，以 0 01到入射點 0 0 的距離 R R （軌

50、道半徑） 畫出粒子圓周運動的軌跡。 由洛侖茲力公式和牛頓定律有 確定帶電粒子在磁場中運動軌跡的方法 帶電粒子在勻強磁場中作圓周運動的問題是近幾年高考的熱點，這些題不但涉及洛倫茲 力，而且往往與幾何關系相聯(lián)系，使問題難度加大，但無論這類題多么復雜，其關鍵一點在 于畫軌跡，只要確定了軌跡，問題便迎刃而解，下面舉幾種確定帶電粒子運動軌跡的方法。 1 1、對稱法粒子進入磁場后, 受洛侖茲力的作用，做勻速圓周運動, 與圓周軌跡相切。做弦的垂直平分線和初速度 的垂直平分線上的點，由幾何關系有 聯(lián)立以上二式解得 從 A A 點射出磁場。 是圓軌跡上一條弦，初速度 解得 帶電粒子如果從一直線邊界進入又從該邊界

51、射出，則其軌跡關于入射點和出射點線段的 中垂線對稱，入射速度方向與出射速度方向與邊界的夾角相等， 利用這一結論可以輕松畫出 粒子的軌跡。 如圖 1 1 所示，在 y y 小于 0 0 的區(qū)域內存在勻強磁場，磁場方 置與 0 0 點的距離為 L L,求該粒子電量與質量之比。 解析：根據(jù)帶電粒子在有界磁場的對稱性作出軌跡，如圖 2 2 所示，找出圓心 A A,向 x x 軸作垂線，垂足為 H H,由與幾何關系得: 【例題】（這題和前一題重復） 向垂直于 xyxy 平面并指向紙面外, 0 0 點射入磁場，入射速度方向為 從 磁感應強度為 xyxy 平面內，與 帶電粒子磁場中作圓周運動，由 最低點，帶

52、電粒子在磁場中作圓周運動，由 聯(lián)立解得 2 2、動態(tài)圓法 在磁場中向垂直于磁場的各個方向發(fā)射粒子時，粒子的運動軌跡是圍繞發(fā)射點旋轉的動 態(tài)圓，用這一規(guī)律可確定粒子的運動軌跡。 【例題】如圖所示，S S 為電子源，它在紙面 360360 度范圍內發(fā)射速度大小為 質量為 m m，電量為 q q 的電子（q q0dr=mV/Bed，即 VBed/mVBed/m。 4 4、帶電粒子在正方形磁場中的運動 【例題】長為 L L 的水平極板間，有垂直紙面向內的勻強磁場，如圖 1616 所示，磁感強度為 B B,板間距離也為 L L，板不帶電，現(xiàn)有質量為 m m，電量為 q q 的帶正電粒子（不計重力），從左

53、邊 極板間中點處垂直磁感線以速度 V V 水平射入磁場，欲使粒子不打在極板上，可采用的辦法 是（） r ri A.A. 使粒子的速度 VBqL4m V5BqL/4m V5BqL/4m ; C.C. 使粒子的速度 VBqL/mVBqL/m; D.D. 使粒子速度 BqL/4mV5BqL/4mBqL/4mV5BqL/4mV5BqL/4m 時粒子能從右邊穿出。 粒子擦著上板從左邊穿出時，圓心在 。/點，有 匕=L/4L/4,又由 匕=mVmV2/Bq=L/4/Bq=L/4 得 V V2 = BqlAm 二 V V2BqL/4m0X0, y0y0） 這是一個圓的方程，圓心在（0 0, R R）處。磁場

54、區(qū)域為圖中兩條圓弧所圍成的面積。磁場 的最小面積為； 7 7、帶電粒子在有 圓孔的磁場中運動 【例題】如圖 2222 所示，兩個共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行 于軸線的四條狹縫 a、b、c和 d, 外筒的外半徑為 r, 在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行 于軸線方向的均勻磁場， 磁感強度的大小為 E。 在兩極間加上電壓， 使兩圓筒之間的區(qū)域內 有沿半徑向外的電場。 一質量為 m、帶電量為+q的粒子， 從緊靠內筒且正對狹縫 a的 S點。在由 o o 點射 S =2（丄 R2 4 （二-2血乜2 2e2B2 出發(fā)， 初速為零。 如果該粒子經(jīng)過一段時間的運動之后恰好又回到出發(fā)點 S

55、, 的電壓 U應是多少？ （不計重力，整個裝置在真空中） X X X aX X X xx % d八 X X 承 X X X 解析: 如圖所示，帶電粒子從 S S 點出發(fā)，在兩筒之間的電場作用下加速，沿徑向穿過狹縫 a a 而 進入磁場區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動。 粒子再回到 S S 點的條件是能沿徑向穿過狹 縫 d d。只要穿過了 d d，粒子就會在電場力作用下先減速， 再反向加速，經(jīng) d d 重新進入磁場區(qū)， 然后粒子以同樣方式經(jīng)過 c c、b b,再回到 S S 點。設粒子進入磁場區(qū)的速度大小為 V V,根據(jù)動能 定理，有： 1 qU = mV2 2 設粒子做勻速圓周運動的半徑為

56、R R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有: V2 BqV 二 m R 由前面分析可知，要回到 S S 點，粒子從 a a 到 d d 必經(jīng)過3圓周，所以半徑 R R 必定等于筒的 4 外半徑 r r，即 R=rR=r。由以上各式解得： B2qr 2m 8 8、帶電粒子在相反方向的兩個有界磁場中的運動 【例題】如圖 2424 所示，空間分布著有理想邊界的勻強電場和勻強磁場。 左側勻強電場的 場強大小為 E E、方向水平向右，電場寬度為 L L；中間區(qū)域勻強磁場的磁感應強度大小為 B B， 方向垂直紙面向里。一個質量為 m m、電量為 q q、不計重力的帶正電的粒子從電場的左邊緣的 O O 點由靜

57、止開始運動，穿過中間磁場區(qū)域進入右側磁場區(qū)域后，又回到 O O 點，然后重復上 述運動過程。求：則兩電極之間 S S d d b b c c (1)(1) 中間磁場區(qū)域的寬度 d;d; 解析：(1 1)帶電粒子在電場中加速，由動能定理，可得： . qEL = mV2 2 帶電粒子在磁場中偏轉，由牛頓第二定律，可得： V2 =m一 R 可見在兩磁場區(qū)粒子運動半徑相同， 如圖 2525 所示， 三段圓弧的圓心組成的三角形 是等邊三角形，其邊長為 2R2R。所以中間磁場區(qū)域的寬度為 T 2兀m t2 3 3qB 丄 5 5兀m t3 T 二 6 3qB 則粒子第一次回到 O O 點的所用時間為L L

58、 d d d =Rsi n60 （2 2 ）在電場中 ti 2V 2mV a qE (2(2)帶電粒子從 0 0 點開始運動到第一次回到 0 0 點所用時間 t t。 BqV 由以上兩式，可得 2mEL k OO O2O O3 在中間磁場中運動時間 在右側磁場中運動時間 綜上所述，運動的帶電粒子垂直進入有界的勻強磁場，若僅受洛侖茲力作用時，它一定 做勻速圓周運動，這類問題雖然比較復雜， 但只要準確地畫出軌跡圖， 并靈活運用幾何知識 和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑 R R、周期 T T 的關系，求出粒子在磁場中偏轉的角度或距 離以及運動時間不太難 類題計算帶電粒子在有界磁場邊界碰撞 帶電粒子與

59、有界磁場邊界碰撞的問題，由于這類問題往往存在多解，同學們解這類習題 時常常由于只考慮問題的特解而忽略一般情況的分析， 對學生能力的要求較高，因此不少同 學感到困難。為加強學生對這類問題的認識， 下面通過例題來分析帶電粒子與磁場邊界碰撞 問題。 1 1、帶電粒子與絕緣圓筒的碰撞 【例題】如圖 2626 所示，一個質量為 m m、電量為 q q 的正離子，從 A A 點正對著圓心 0 0 以速 度 V V 射入半徑為 R R 的絕緣圓筒中。圓筒內存在垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大 小為 B B。要使帶電粒子與圓筒內壁碰撞多次后仍從 A A 點射出，求正離子在磁場中運動的時間 t t。設粒子

60、與圓筒內壁碰撞時無能量和電量損失，不計粒子的重力。 解析： 由于離子與圓筒內壁碰撞時無能量損失和電量損失，每次碰撞后離子的速度方 向都沿半徑方向指向圓心，并且離子運動的軌跡是對稱的，如圖 2727 所示。設粒子與圓筒內 壁碰撞 n n 次（n _2），經(jīng)過 m m 轉回到 A A 點，則每相鄰兩次碰撞點之間圓弧所對的圓心角為 2 2 n m/m/（n+1n+1）（這里是指磁場圓弧所對圓心角，而不是指軌跡圓弧所對圓心角） 。由幾何知識可 知，離子運動的半徑為： r = Rtant = t1 t2 t3 2 2mL 7二m ,qE 麗 (m=1(m=1, 2 2, 3 3 , n=2n=2, 3 3, ）