群論所有答案PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1群論所有答案群論所有答案fEA11122=1nnnnnaaaA 12n1211221nnnniiiaaaa 1211nnnAA 12n 12n 1niiiaA第1頁(yè)/共38頁(yè)1.2 通過(guò)相似變換把下列矩陣對(duì)角化通過(guò)相似變換把下列矩陣對(duì)角化第2頁(yè)/共38頁(yè)第3頁(yè)/共38頁(yè)找相似變換矩陣找相似變換矩陣M使使10cossin sin01 0cos0sin cos100sin sinsin cos0000MM1.3解：為了便于表述，可設(shè)解：為了便于表述，可設(shè)則題目可表示為：則題目可表示為：等式兩端同乘以矩陣等式兩端同乘以矩陣M得到得到：0cossinsincos0sincossinsinsin

2、cos0A010100000B1MAMB1M MA MM B第4頁(yè)/共38頁(yè)AMMB1MME由于由于則有則有此時(shí)可設(shè)此時(shí)可設(shè)abcMdefghi于是，將于是，將M帶入上式得到帶入上式得到0cossin sin01 0cos0sin cos1 0 0sin sinsin cos00 0 0a b ca b cd e fd e fg h ig h i 進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算得到：進(jìn)行矩陣乘法運(yùn)算得到：cossin sincossin sincossin sincossin coscossin coscossin cossin sinsin cossin sinsin cossin sinsin cosd

3、gehfagbhciadbecf000baedhg第5頁(yè)/共38頁(yè)根據(jù)矩陣的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)元素相等，于是得到根據(jù)矩陣的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)元素相等，于是得到cossin sincossin cossin sinsin coscossin sincossin cossin sinsin cos0cossin sin0cossin cos0sin sinsin cosbdgeaghadaehdbhgbefcicf 解上述方程即可得到：解上述方程即可得到：coscos,sin,sincoscossin,cos,sinsinsin ,0,cosabcdefghi 于是得到相似變換矩陣于是得到相似變換矩陣M為：為：c

4、oscossinsincoscos sincossinsinsin0cosM第6頁(yè)/共38頁(yè) 000)0000000100010001(321xxxii1.4.求相似變換矩陣M使觀(guān)察第一個(gè)等式，我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過(guò)相似變換后，矩陣變成了對(duì)角矩陣，得到矩陣的特征值為1，0，-1。同理得到：當(dāng)特征值為0時(shí)當(dāng)特征值為-1時(shí)綜上為了避免計(jì)算M-1，我們把剩余的兩個(gè)等式左右兩邊分別左乘M,將矩陣M分別帶入兩式確定a,b,c的具體值。代入第二個(gè)等式得最后得到cbca2經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，這個(gè)結(jié)論也滿(mǎn)足第三式第7頁(yè)/共38頁(yè)1.5設(shè) ， 找相似變換的矩陣X使1001R133121S1000010000100001XRRX11

5、30031000020000221XSSX1解：由題意知根據(jù)矩陣直乘定義得：令：1000010000100001RAR133331333313333141SBS 因?yàn)锳已經(jīng)是對(duì)角矩陣，則很容易看出A的特征值以及對(duì)應(yīng)的特征向量 時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量：131Tba00Tdc00142 時(shí)對(duì)應(yīng)的特征向量：則X的矩陣形式可取為：00000000bbddccaaX第8頁(yè)/共38頁(yè)10令（2）式的兩側(cè)同時(shí)左乘X，則130031000020000221XBX33333333333333333333333341dcbadcbadcbadcbadcbadcbadcbadcba30232032030221bbbddd

6、cccaaa展開(kāi)可知：由矩陣相等可知：a=b c+d=0和badc由相似變換的不完全確定性可得21cca則：010110101010010121X第9頁(yè)/共38頁(yè)1.6找使下面三矩陣同時(shí)對(duì)角化的公共相似變換矩陣以第一個(gè)矩陣為例，由可得 （三重根）同理，對(duì)第二個(gè)矩陣經(jīng)計(jì)算也有同樣結(jié)果。所以對(duì)前兩個(gè)矩陣都有兩個(gè)三重特征值，把特征值帶回得到齊次方程求出特征根的關(guān)系，以第一個(gè)矩陣為例有：1, 1得到矩陣1的特征根的關(guān)系：同理，可求得矩陣2特征根關(guān)系：第10頁(yè)/共38頁(yè)第個(gè)矩陣由于用前面的方法比較難求，但將矩陣帶入特征方程后，發(fā)現(xiàn)其構(gòu)成很有規(guī)律：至此我們求出了三個(gè)矩陣特征向量的關(guān)系，下面可以通過(guò)排列來(lái)找

7、到一個(gè)共同變換矩陣。 我們可以看出矩陣3對(duì)于特征值為3，-3的特征向量也是矩陣1、2的特征向量，所以我們按照其形式寫(xiě)出兩個(gè)向量作為公共矩陣的前兩項(xiàng)。 剩下的四個(gè)向量要同時(shí)滿(mǎn)足矩陣1、2以及矩陣3對(duì)于特征值為0的特征向量的形式，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)娜≈稻涂梢哉业竭@四個(gè)向量。歸一化之后便是所求的公共相似變換矩陣。第11頁(yè)/共38頁(yè)1n經(jīng)上面的變換和把三個(gè)矩陣對(duì)角化為diag1，-1,1,1，-1，-1；diag1，-1,1，-1,1，-1 diag3，-3,0,0,0,01.7寫(xiě)出m行m列既幺正又厄米矩陣的一般形式幺正矩陣和厄米矩陣都可以通過(guò)幺正的相似變換對(duì)角化，對(duì)角化后，幺正矩陣的對(duì)角元的模為1，而厄米矩

8、陣的對(duì)角元為實(shí)數(shù)。因此，既幺正又厄米的矩陣經(jīng)過(guò)幺正的相似變換對(duì)角化后，對(duì)角元只能取 ，適當(dāng)排列后記作 ，它是對(duì)角陣。前n個(gè)對(duì)角元為1，后m-n個(gè)對(duì)角元為-1.因此，既幺正又厄米的矩陣一般可表示為 ，其中U矩陣是行列式為1的幺正矩陣。1 UUn第12頁(yè)/共38頁(yè)都是正定的厄米矩陣。XXXX 和1.8若det X0,證證明: 首先證明是厄米矩陣，因?yàn)槠滢D(zhuǎn)置共軛等于本身，顯然是厄米矩陣。 同理，當(dāng)把X+看成新的X時(shí)，就得到XX+也是正定的矩陣。第13頁(yè)/共38頁(yè)（1）若X+X=E, 則XX+=E X+X=E，則|X+| |X| =1，則|X+|0，所以X+是非奇矩陣，存在逆矩陣，設(shè)為S，SX+=E

9、XX+=（SX+）XX+=S(X+X)X+=SX+=E 即得出XX+=E，原命題得證1.9. 證明：（證明：（1）若）若X+X=1, 則則XX+=1;（2）若若X-1X=1，則，則XX-1=1;（3）若）若XTX=1，則，則XXT=1.2）若X-1X=E, 則XX-1=E X-1X=E，則|X-1| |X| = 1，則|X-1|0，所以X-1是非奇矩陣，存在逆矩陣，設(shè)為S，SX-1=E XX-1=SX-1XX-1=S(X-1X)X-1=SX-1=E 即得出XX-1=E，原命題得證（3）若XTX=E, 則XXT=E XTX=E，則|XT| |X| = 1，則|XT|0，所以XT是非奇矩陣，存在逆

10、矩陣，設(shè)為S，SXT=E XXT=SXTXXT=S(XTX)XT=SXT=E即得出XXT=E，原命題得證第14頁(yè)/共38頁(yè)1,0, 1*bcadbdacddccbbaa根據(jù)幺正矩正性質(zhì)，dcbaeUi取2x2幺正矩陣U,其行列式的模detU=1,則可設(shè) 1.10 試討論試討論22幺正矩陣和實(shí)正交矩陣各含有幺正矩陣和實(shí)正交矩陣各含有多少個(gè)獨(dú)立實(shí)參數(shù)，并寫(xiě)出它們的一般表達(dá)式多少個(gè)獨(dú)立實(shí)參數(shù)，并寫(xiě)出它們的一般表達(dá)式由此得*)()(dadbcdddccaa*)()(cadbccddccbb因此，2x2幺正矩陣的一般形式為*abbaeUi其中1*bbaa其中受限制的復(fù)參數(shù)a和b包含三個(gè)實(shí)參數(shù)，加上，共有

11、四個(gè)獨(dú)立實(shí)參數(shù)。實(shí)正交矩陣也是幺正矩陣，行列式可等于1或-1，當(dāng)行列式為1時(shí)，a和b取實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足a2+b2=1, 常取a=cos， b=sin，當(dāng)行列式為-1時(shí)，把第一行矩陣元素改號(hào)，所以22實(shí)正交矩陣的一般形式為：cossinsincosRcossinsincosR可見(jiàn)22實(shí)正交矩陣只包含一個(gè)獨(dú)立實(shí)參數(shù)第15頁(yè)/共38頁(yè)2.1 設(shè)E是群G的恒元，R和S是群G中的任意元素，R-1 和S-1分別是R和S的逆元，試由群的定義證明：(1)RR-1 =E(2)RE=R(3)若TR=R,則T=E(4)若TR=E,則T=R-1 (5)(RS)的逆元為S-1 R-1 。(1)由于R-1是群中一元素，在群中存

12、在它的逆元，記作S，SR-1=E，因此，由群的定義得RR-1=ERR-1=（SR-1）RR-1=S（R-1R）R-1=SER-1=SR-1=E。 (2)RE=R（R-1R）=（RR-1)R=ER=R。 (3)群中恒元的唯一性：若TR=R，則T=T（RR-1）=（TR）R-1=RR-1=E。 (4)群中任何元素的逆元是唯一的：若TR也等于恒元E，則T=T（RR-1）=（TR）R-1=ER-1=R-1。 (5)(S-1R-1)(RS)=S-1(R-1R)S=S-1ES=S-1S=E 由逆元的唯一性知S-1R-1是RS的逆元。第16頁(yè)/共38頁(yè)既然既然H3是是H1和和H2的交集，那么的交集，那么H3

13、必然也是必然也是G的子集，的子集，H3中元素必然也屬于中元素必然也屬于G，元素的乘積仍服從，元素的乘積仍服從G中元素乘積規(guī)則，因而中元素乘積規(guī)則，因而H3中元素的乘積滿(mǎn)足結(jié)合律中元素的乘積滿(mǎn)足結(jié)合律。2.3 設(shè)設(shè)H1和和H2是群是群G的兩個(gè)子群，證明的兩個(gè)子群，證明H1和和H2的公共元素的集合也構(gòu)成群的公共元素的集合也構(gòu)成群G的子群。的子群。2、封閉性、封閉性對(duì)于H3中的元素Ri、RjH3是H1和H2的交集 RiH1 RjH1 RiH2 RjH2H1、H2是G的子群滿(mǎn)足封閉性H1、H2包含Ri、 Rj的乘積 即Ri Rj H1 Ri Rj H2Ri Rj H3 H3包含Ri、 Rj的乘積，封閉

14、性即可得到證明3、恒元恒元H1、H2是子群，所以必包含恒元E 恒元E是H1、H2的公共元素 EH34、逆元、逆元任取任取H3中的某元素中的某元素Ri 則則Ri H1 且且 Ri H2Ri-1 H1 且且 Ri-1 H2 Ri-1 H3四個(gè)性質(zhì)都符合四個(gè)性質(zhì)都符合 即可證明即可證明H3也是群也是群G的子群。的子群。第17頁(yè)/共38頁(yè)2.4 證明當(dāng)群證明當(dāng)群G的階數(shù)為的階數(shù)為5，6，或，或7時(shí)，除恒元時(shí)，除恒元外，不可能所有元素的階數(shù)都是外，不可能所有元素的階數(shù)都是2 .第18頁(yè)/共38頁(yè)2.5 證明除了恒元外，每個(gè)元素的階都是證明除了恒元外，每個(gè)元素的階都是2的的群一定是阿貝爾群。群一定是阿貝爾

15、群。 (1) 對(duì)于恒元，ER=(RR-1)R=R(R-1R)=RE第19頁(yè)/共38頁(yè)ERRRRECnnn 21222,ERRRREnn ,12,.,.,10001nnnRSRSSRRED2.6 設(shè)群G階數(shù)g=2n, n是大于2的素?cái)?shù)，準(zhǔn)確到同構(gòu)，證明群G只有兩種：循環(huán)群C2n和正n邊形對(duì)稱(chēng)群Dn證明：2n(n2素?cái)?shù)）階群中，除恒元外，元素的階數(shù)只能是2，n，2n。 如果2n階群中有元素的階數(shù)為2n， 則該群為循環(huán)群C2n如果有元素的階數(shù)為n,記做R,它的周期構(gòu)成的循環(huán)子群是指數(shù)為2的不變子群：陪集記為S0 ,S1,S2, Sn-1 滿(mǎn)足 RmSj = Sj+m，其中 Sj+n = Sj 由重排

16、定理， 不能等于 Sk，若它等于 ,則 Sj是2n階元素，與假設(shè)矛盾。所以， =E ,Sj 都是2階元素，這就是Dn群。 如果2n階群中除恒元外元素的階數(shù)均為 2，任取其中兩個(gè)元素R和S，設(shè)RS=T，由于恒元和逆元的唯一性，T不能等于E，也不能等于S或者R，E，R，S，T組成的子集構(gòu)成子群，它的階數(shù)不是2n的約數(shù)，矛盾。該群不存在。1,.,nRR2jS2jS第20頁(yè)/共38頁(yè)2.7量子力學(xué)中常用的泡利矩陣a定義如下其中，abd中是三階完全反對(duì)稱(chēng)張量。證明由1和2的所有可能乘積和冪次的集合構(gòu)成群，列出此群的乘法表，指出此群的階數(shù)，群所包含的類(lèi)和不變子群，不變子群的商群與什么群同構(gòu)。建立同構(gòu)關(guān)系，

17、證明此群和正方形固有對(duì)稱(chēng)群D4同構(gòu)。解：（1）根據(jù)泡利矩陣的乘積規(guī)則，由1和2的乘積產(chǎn)生的矩陣共有8個(gè)，乘法表如下：此8個(gè)元素的集合對(duì)元素的乘積是封閉的 1.矩陣的乘積滿(mǎn)足結(jié)合律 2.E=1是此集合的恒元 3.除i3互為逆元，其他元素自逆。 因此，此集合構(gòu)成群，命題得證 第21頁(yè)/共38頁(yè) （2）階數(shù)：此群階數(shù)：8；恒元E階數(shù)：1；-1，1和 2階數(shù)：2； i3的階數(shù)：4 （3）共五類(lèi)： 1；-1； 1 ； 2； i3 。（4）不變子群、商群、群同構(gòu)（5）證明群和正方形固有對(duì)稱(chēng)群D4 同構(gòu)：兩群對(duì)應(yīng)元素的階數(shù)相同，類(lèi)的結(jié)構(gòu)相同，不變子群及其商群對(duì)應(yīng)相同，元素的乘積按此規(guī)則一一對(duì)應(yīng)，兩群同構(gòu)。

18、后三個(gè)不變子群的群商都是二階群，與 群同構(gòu)，第一個(gè)不變子群的配集是互差負(fù)號(hào)的兩個(gè)矩陣，作為復(fù)元素，它們的平方都是不變子群 ，因此商群同構(gòu)于四階反演群2V14V第22頁(yè)/共38頁(yè)2.8.證明由i 和i 的所以可能乘積和冪次的集合構(gòu)成群，列出此群的乘法表，指出此群的階數(shù)，各元素的階數(shù)，群包含的各類(lèi)和不變子群，和不變子群的商群分別與什么群同構(gòu)。說(shuō)明此群與D4群不同構(gòu)。eeee第一個(gè)不變子群的陪集是互差負(fù)號(hào)的兩個(gè)矩陣，作為復(fù)元素，它們的平方都是不變子群+1，因此商群同構(gòu)于四階反演群V4。原因：對(duì)于給定的四階群，如果在群中階數(shù)等于2的元素多于一個(gè)，它就與V4同構(gòu)。由于此群包含六個(gè)階數(shù)為4的元素，此群與D

19、4群不同構(gòu)。原因：D4群中包含5個(gè)階數(shù)為2的元素，2個(gè)階數(shù)為4的元素和1個(gè)恒元。第23頁(yè)/共38頁(yè)2.9 2.9 準(zhǔn)確到同構(gòu)，證明八階群準(zhǔn)確到同構(gòu)，證明八階群G G只有五種：循環(huán)只有五種：循環(huán)群群C C8 8，正方形固有群對(duì)稱(chēng)，正方形固有群對(duì)稱(chēng)D D4 ，四元數(shù)群四元數(shù)群QQ8 8和和I I型非固有點(diǎn)群型非固有點(diǎn)群C C4h =C4=C4V2V2與與D2h=D2D2h=D2 V2V2一、循環(huán)群一、循環(huán)群C8當(dāng)群中至少有一個(gè)元素的階數(shù)為當(dāng)群中至少有一個(gè)元素的階數(shù)為8，則此群為循環(huán)群，則此群為循環(huán)群C8 ，即，即R、R2、R3、R8=E二、四元素群二、四元素群Q8若八階群中沒(méi)有若八階群中沒(méi)有8階元

20、素，而至少有一個(gè)元素的階數(shù)為階元素，而至少有一個(gè)元素的階數(shù)為4，把這個(gè)元素記做，把這個(gè)元素記做R，它的周期構(gòu)成的循環(huán)子群，它的周期構(gòu)成的循環(huán)子群 E、R、R2、R3，是指數(shù)為是指數(shù)為2的不變子群。陪集記作的不變子群。陪集記作S0、S1、S2、S3，滿(mǎn)足，滿(mǎn)足RmSj=Sj+m，其中，其中Sj+4=Sj確定乘積關(guān)系確定乘積關(guān)系我們已經(jīng)知道了我們已經(jīng)知道了R之間的乘積關(guān)系，也知道了之間的乘積關(guān)系，也知道了R和和S的乘積關(guān)系，現(xiàn)在要確定的是的乘積關(guān)系，現(xiàn)在要確定的是S之間的乘積關(guān)系，由重排定理，知道之間的乘積關(guān)系，由重排定理，知道Sj2Sk如果如果Sj2=R或或R3，則，則Sj是是8階元素，與假設(shè)矛

21、盾，所以階元素，與假設(shè)矛盾，所以Sj2 R或或R3現(xiàn)在現(xiàn)在Sj2只能等于只能等于R2或者或者E如果至少有一個(gè)如果至少有一個(gè)Sj2= R2，不失普遍性，設(shè)，不失普遍性，設(shè)S12= R2，則，則S1是是4階元素，階元素，S1-1= S13=R2S1=S3，得到，得到S32=R2注意，現(xiàn)在分為兩種情況。如果注意，現(xiàn)在分為兩種情況。如果S02=R2，同理有，同理有S0-1= S03=R2S0=S2， S22=R2S1S0=RS02=R3，S0S1=R3S12=R，滿(mǎn)足以上關(guān)系為四元數(shù)群，滿(mǎn)足以上關(guān)系為四元數(shù)群Q8第24頁(yè)/共38頁(yè)三、循環(huán)群三、循環(huán)群C4h接著上面的討論，接著上面的討論， 已知已知S1

22、2=S32=R2，如果，如果S02=E，則，則S22=R2S0R2S0 ，因?yàn)?，因?yàn)镾0為為2階元素，階元素，R為為4階元素，所以階元素，所以S0和和R不同類(lèi)（不同類(lèi)（P29，同類(lèi)元素的階必相同），所以，同類(lèi)元素的階必相同），所以S0與與R對(duì)易。所以對(duì)易。所以S22=R4S02=E由上面可知由上面可知S0、S1、S2、S3，都與，都與R對(duì)易對(duì)易而且而且S0S1=R-1S12=R，S1S0=RS02=R滿(mǎn)足以上關(guān)系的群構(gòu)成循環(huán)群滿(mǎn)足以上關(guān)系的群構(gòu)成循環(huán)群C4h第25頁(yè)/共38頁(yè)2A222,DCB，2A222222DCBABBCCDAB則第26頁(yè)/共38頁(yè)111111111111,HGHHHHHG

23、GHHG H =H G ,HGHHH H =HG HG HH證明：G群包含三個(gè)二次軸和一個(gè)三次軸，其中三個(gè)二次軸轉(zhuǎn)動(dòng)，加上恒元，構(gòu)成G群的不變子群T 但T群中包含的三個(gè)三階不變子群都不是G群的不變子群。 設(shè)H 設(shè)是群G的不變子群，H是群的子群，是群的子群，是子群中除外的任意元素，是群中除外的任意元素，由于是群G的不變子群可以得到因?yàn)榍遥使?HHH恒成立，由不變子群定義可知，也是群的不變子群。第27頁(yè)/共38頁(yè)2.12試證明群G兩個(gè)類(lèi)作為復(fù)元素的乘積,必由若干個(gè)整類(lèi)構(gòu)成,即作為乘積的集合,包含集合中每個(gè)元素的共軛元素.證明：設(shè)RC1和SC2是群G中兩個(gè)類(lèi)，形如所有RS的元素集合為H，要證明H

24、由若干整類(lèi)構(gòu)成，就是要證明集合H中包含RS的所有共軛元素，即對(duì)群G中的任 一元素T，要證明TRST-1屬于集合H。因?yàn)門(mén)RT-1=R屬于類(lèi)C1，TST-1=S屬于類(lèi)C2，所以TRST-1=RS屬于集合H。證畢 第28頁(yè)/共38頁(yè)解：在類(lèi)中C 任取一個(gè)元素作為Sj 。先設(shè)當(dāng)Si= Sj時(shí)，即滿(mǎn)足的共軛關(guān)系就轉(zhuǎn)化為與Sj 的對(duì)易關(guān)系，設(shè)此時(shí)滿(mǎn)足對(duì)易關(guān)系的元素R的數(shù)目m().現(xiàn)在證明由元素R組成的集合H為群G的子群。證明集合H是群G的子群1.封閉性 若R和M都可以與Sj對(duì)易，則RM也與Sj對(duì)易2.恒元 E 3.逆元的存在 若R與Sj對(duì)易，則R-1與其對(duì)易 結(jié)合律在證明封閉性的時(shí)候已經(jīng)運(yùn)用了證明子群H

25、的指數(shù)為n()設(shè)T是群G中任意一個(gè)不屬于子群H 的元素，即Si 和 Sj 不相同的情況。設(shè)TSj T=Si,Si為類(lèi)中的元素。則子群H的左陪集TH中的任意的元素TR滿(mǎn)足TRSjR-1T-1=Si,故由此可得滿(mǎn)足題目共軛條件的P必然在子群的左陪集中，這樣通過(guò)關(guān)系就可以對(duì)于同一個(gè)Sj ,通過(guò)不同的陪集就得到不同的S。即 TRSjR-1T-1=Si 且存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。由此證明了子群H的指數(shù)為n() 故結(jié)論成立m=g/n第29頁(yè)/共38頁(yè)3.1設(shè)G是一個(gè)非阿貝爾群，D（G）是群G的一個(gè)不可約真實(shí)表示，元素R的表示矩陣為D(R)。先讓群G元素R分別與下列矩陣對(duì)應(yīng)，問(wèn)此矩陣的集合是否分別構(gòu)成群G的表示？

26、分別是否可約？(1)D(R)+ (2) D(R)T(3) D(R-1) (4) D(R)* (5) D(R-1)+ (6)det D(R)(7) tr D(R)例如第一小題，設(shè)R D(R)+ 問(wèn)D(R)+ 的集合D(G)+ 是否構(gòu)成群G的表示？ 注意D(RS)=D(R)D(S). (1)因?yàn)镈(R)+D(S)+D(RS)+ ,所以D(R)+ 的集合不是群G的表示。 (2)因?yàn)镈(R)TD(S)TD(RS)T ,多以D(R)T 的集合不是群G的表示。(3)因?yàn)镈(R-1)D(S-1)D(RS)-1，所以D(R-1)的集合不是群G的表示。(4)因?yàn)镈(R)*D(S)* =D(RS)* ,所以D(R

27、)* 的集合是群G的不可約表示。(5)因?yàn)镈(R-1)+D(S-1)+=D(RS)-1+ ，所以D(R-1)+ 的集合是群G的不可約表示(6)因?yàn)閐etD(R)detD(S)=detD(RS),所以detD(R)的集合是群G的不可約表示。(7)因?yàn)閠rD(R)trD(S) trD(RS),所以trD(R)的集合不是群G的表示3.2證明有限群任何一維表示的表示矩陣模為1證明：有限群元素的若干次方（元素的階）等于恒元：An=E恒元在一維表示中對(duì)應(yīng)數(shù)1，因此有限群元素在一維表示中的表示矩陣的若干次方等于1，an=1 即模為1。 3.3證明Abel群（包括無(wú)限群）的不可約表示都是一維的設(shè)群G是Abel

28、群，R G。矩陣群A（R），因?yàn)锳bel群的元素是對(duì)易的。所以對(duì)于群G中的任意元素S，都有RS=SR 相應(yīng)的表示矩陣 D（R）D（S）= D（S）D（R）也就是表示矩陣中的任一個(gè)矩陣D(R)與所有元素的表示矩陣都對(duì)易，而對(duì)于不可約表示，按照舒爾定理，D（R）為常數(shù)矩陣，常數(shù)矩陣的不可約表示只能是一維的，得證。第30頁(yè)/共38頁(yè)3.4.證明有限群兩個(gè)等價(jià)的不可約幺正表示之間的相似變換矩陣，如果限制其行列式唯一，必為幺正矩陣。證明：設(shè) 和 是有限群的兩個(gè)等價(jià)的不可約幺正表示,他們可以通過(guò)幺正的相似變換聯(lián)系起來(lái),( )D R( )D R1( )( ),1D RMD R M M M若他們又通過(guò)另一個(gè)相

29、似變換聯(lián)系起來(lái)1( )( )D RXD R X則根據(jù)上式得11( )( )M D R MX D R X111( )()( )D RXMD R XM即由舒爾定理11XMcXcM，c是常數(shù)又由題目可知X矩陣的行列式為1，幺正矩陣M的行列式模為一，X=cM，故c=1。則2()1X XcMcMc M M故X是幺正矩陣。第31頁(yè)/共38頁(yè)11( )jjR GRg( )iD R*( )( )ijijR GRRg( )( )1iiD RR證明：有限群兩個(gè)不等價(jià)不可約的表示的特征標(biāo)滿(mǎn)足特征標(biāo)正交定理，即：取表示 為恒等表示，則 代入上式可以得：即：110j11jj111( )01( )0jjR GjjR GR

30、gRg當(dāng)j=1時(shí)，也就是說(shuō) 也是恒等表示的時(shí)候，求和不為零。當(dāng) 不是恒等表示的時(shí)候，由于特征標(biāo)的正交定理，有限群任一不可約表示的特征標(biāo)對(duì)群元素求和為零。證完第32頁(yè)/共38頁(yè)3.6 有限群群代數(shù)中，右乘群元素產(chǎn)生的表示 與正則表示等價(jià)。試具體計(jì)算D3群群代數(shù)中，左乘和右乘群元素產(chǎn)生的這兩個(gè)表示間的相似變換矩陣，能不能把此方法推廣，對(duì)一般的有限群，計(jì)算這樣兩表示間的相似變換矩陣？D解：正三角形對(duì)稱(chēng)群D3的乘法表如下：EDFABCEEDFABCDDFEBCAFFEDCABAACBEFDBBACDEFCCBAFDE以左乘和右乘群元素D為例說(shuō)明基E,D,F,A,B,C右乘D得到：D,F,E,C,A,B

31、基E,D,F,A,B,C左乘D得到：D,F,E,B,C,A右乘得到的表示010000ED001000DF100000FE=000001AC000100BA000010CB001000100000010000EDFABC= DFEBCA000001000100000010左乘得到的表示求X，使得-1D=X DX即滿(mǎn)足：XD=DX100000001000010000X=000100000010000001得推廣：設(shè)此兩表示通過(guò)相似變換X相聯(lián)系： TPP GDPRTPPRP GS XXDS把表示矩陣的值代入，得注意，現(xiàn)在X矩陣的行列指標(biāo)都是群元素。TS RT SRXX由群元素乘積滿(mǎn)足結(jié)合律知，在X矩

32、陣中如下矩陣元素必須相等，即它們的行列指標(biāo)作為群元素相乘，乘積相同?？梢宰屝辛兄笜?biāo)相乘等于某一確定元素（例如E）的那些X矩陣元素為1，其余矩陣元素為零，就得到所需要的相似變換矩陣X。設(shè)在群的乘法表中行和列的排列次序，與X矩陣的行列指標(biāo)排列相同，把與乘法表中填該確定元素（例如E）的位置相同的那些X矩陣元素取為1，其余為零。第33頁(yè)/共38頁(yè)EDFABCFEDCABDFEBCABACDEFACBEFDCBAFDE100000010000001000000010000100000001000100000010000001010000100000001000第34頁(yè)/共38頁(yè)證明：設(shè)在群G中，類(lèi) 包含n( )個(gè)元素 ，這些元素在 維不可約表示 中的特征標(biāo)為 。 設(shè)S是群G中任意元素，則若 ，則 的集合仍是類(lèi) 3.7設(shè)有限群設(shè)有限群G的類(lèi)的類(lèi) 包含包含n( )個(gè)元素，在群代數(shù)中這些元素之和記作個(gè)元