高考數(shù)學(xué)解題技巧(共136頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2016高考數(shù)學(xué)解題方法第1計 芝麻開門 點到成功計名釋義七品芝麻官，說的是這個官很小，就是芝麻那么小的一點. 阿里巴巴用“芝麻開門”，講的是“以小見大”. 就是那點芝麻，竟把那個龐然大門給“點”開了. 數(shù)學(xué)中，以點成線、以點帶面、兩線交點、三線共點、還有頂點、焦點、極限點等等，這些足以說明“點”的重要性. 因此，以點破題，點到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例題將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分?jǐn)?shù)，就得到一個如下圖所示的分?jǐn)?shù)三角形，稱來萊布尼茨三角形. 從萊布尼茨三角形可以看出，其中 . 令，則 . 分析 一看此題，圖文并舉，篇幅很大，還有省略號省去的有無

2、窮之多，真乃是個龐然大物. 從何處破門呢？我們?nèi)匀辉凇包c”上打主意. 萊布三角形，它雖然沒有底邊，但有個頂點，我們就打這個頂點的主意. 解 將等式與右邊的頂點三角形對應(yīng)（圖右），自然有 對此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1對一般情況講，就是x = r+1 這就是本題第1空的答案. 插語 本題是填空題，只要結(jié)果，不講道理. 因此沒有必要就一般情況進行解析，而是以點帶面，點到成功. 要點明的是，這個頂點也可以不選大三角形的頂點. 因為三角形中任一個數(shù)，都等于對應(yīng)的“腳下”兩數(shù)之和，所以選擇任何一個“一頭兩腳”式的小三角形，都能解出x = r+1. 第2道填空，仍考慮以點帶面，先抓無窮數(shù)列

3、的首項. 解 在三角形中先找到了數(shù)列首項，并將和數(shù)列 中的各項依次“以點連線”（圖右實線），實線所串各數(shù)之和就是an . 這個an，就等于首項左上角的那個. 因為在向下一分為二進行依次列項時，我們總是“取右舍左”，而舍去的各項（虛線所串）所成數(shù)列的極限是0. 因此得到 這就是本題第2空的答案. 點評 解題的關(guān)鍵是“以點破門”，這里的點是一個具體的數(shù)，采用的方法是以點串線三角形中的實線，實線上端折線所對的那個數(shù)就是問題的答案. 事實上，三角形中的任何一個數(shù)（點）都有這個性質(zhì). 例如從這個數(shù)開始，向左下連線（無窮射線），所連各數(shù)之和（的極限）就是這個數(shù)的左上角的那個數(shù). 用等式表示就是 鏈接 本題

4、型為填空題，若改編成解答題，那就不是只有4分的小題，而是一個10分以上的大題. 有關(guān)解答附錄如下. 法1 由知，可用合項的辦法，將的和式逐步合項. 法2 第二問實質(zhì)上是求萊布尼茨三角形中從第三行起每一行的倒數(shù)的和，即根據(jù)第一問所推出的結(jié)論只需在原式基礎(chǔ)上增加一項，則由每一行中的任一數(shù)都等于其“腳下”兩數(shù)的和，結(jié)合給出的數(shù)表可逐次向上求和為，故，從而法3 （2）將代入條件式，并變形得取令得 ， 以上諸式兩邊分別相加，得 說明 以上三法，都是對解答題而言. 如果用在以上填空題中，則是殺雞動用了牛刀. 為此我們認(rèn)識到“芝麻開門，點到成功”在使用對象上的真正意義. 對應(yīng)訓(xùn)練1如圖把橢圓的長軸AB分成8

5、份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1，P2，P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|+|P2F|+|P7F|=_.2如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點，且A1P=CQ，則四棱錐B1A1PQC1的體積與多面體ABCPB1Q的體積比值為 . 參考解答1找“點”橢圓的另一個焦點F2. 連接P1F2 、P2F2 、P7F2，由橢圓的定義FP5+P5 F2 = 2a =10如此類推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70由橢圓的對稱性可知，本題的答案是70的一半即35.2找“點”動點

6、P、Q的極限點. 如圖所示，令A(yù)1P = CQ = 0. 即動點P與A1重合，動點Q與C重合.則多面體蛻變?yōu)樗睦忮FCAA1B1B，四棱錐蛻化為三棱錐CA1B1C1 .顯然V棱柱.=于是奇兵天降答案為.點評 “點到成功”的點，都是非一般的特殊點，它能以點帶面，揭示整體，制約全局. 這些特殊點，在沒被認(rèn)識之前，往往是人們的盲點，只是在經(jīng)過點示之后成為亮點的. 這個“點”字，既是名詞，又是動詞，是“點亮”和“亮點”的合一.第2計 西瓜開門 滾到成功計名釋義比起“芝麻”來，“西瓜”則不是一個“點”，而一個球. 因為它能夠“滾”，所以靠“滾到成功”. 球能不斷地變換碰撞面，在滾動中能選出有效的“觸面”.

7、數(shù)學(xué)命題是二維的. 一是知識內(nèi)容，二是思想方法. 基本的數(shù)學(xué)思想并不多，只有五種：函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，劃分討論思想，等價交換思想，特殊一般思想. 數(shù)學(xué)破題，不妨將這五種思想“滾動”一遍，總有一種思想方法能與題目對上號.典例示范題1 對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f（x），若滿足（x1）f ¢（x）³0，則必有A. f（0）f（2）< 2f（1） B. f（0）f（2）2 f（1）C. f（0）f（2） 2f（1） D. f（0）f（2）>2f（1）分析用五種數(shù)學(xué)思想進行“滾動”，最容易找到感覺應(yīng)是：分類討論思想.這點在已條件（x-1）f(x)0中暗示得極為顯目.

8、其一，對f(x)有大于、等于和小于0三種情況；其二，對x-1，也有大于、等于、小于0三種情況.因此，本題破門，首先想到的是劃分討論.解一 （i）若f(x) 0時，則f(x)為常數(shù)：此時選項B、C符合條件.（ii）若f(x)不恒為0時. 則f(x)0時有x1，f（x）在上為增函數(shù)；f(x)0時x 1. 即f（x）在上為減函數(shù). 此時，選項C、D符合條件.綜合（i），（ii），本題的正確答案為C.插語 考場上多見的錯誤是選D. 忽略了f(x) 0的可能. 以為（x-1）f(x) 0中等號成立的條件只是x-1=0，其實x-1=0與f(x)=0的意義是不同的：前者只涉x的一個值，即x=1，而后是對x的

9、所有可取值，有f(x) 0.再析 本題f（x）是種抽象函數(shù)，或者說是滿足本題條件的一類函數(shù)的集合. 而選擇支中，又是一些具體的函數(shù)值f（0），f（1），f（2）.因此容易使人聯(lián)想到數(shù)學(xué)：一般特殊思想.解二 （i）若f(x)=0，可設(shè)f（x）=.選項、符合條件.（ii）f(x)0. 可設(shè)f(x) =（x-1）2 又f(x)=2（x-1）.滿足(x-1) f(x) =2 (x-1)20，而對 f (x)= (x-1)2. 有f（0）= f（2）=1，f（1）=0選項C，D符合條件. 綜合（i），（ii）答案為C.插語 在這類f (x)的函數(shù)中，我們找到了簡單的特殊函數(shù)(x-1)2. 如果在同類中找

10、到了(x-1)4 ，(x-1) ，自然要麻煩些. 由此看到，特殊化就是簡單化.再析 本題以函數(shù)（及導(dǎo)數(shù)）為載體. 數(shù)學(xué)思想“函數(shù)方程（不等式）思想”. 貫穿始終，如由f ¢（x）= 0找最值點x =0，由f ¢（x）>0（<0）找單調(diào)區(qū)間，最后的問題是函數(shù)比大小的問題.由于函數(shù)與圖象相聯(lián)，因此數(shù)形結(jié)合思想也容易想到.解三 （i）若f (0)= f (1)= f (2)，即選B，C，則常數(shù)f (x) = 1符合條件. （右圖水平直線）（ii）若f (0)= f (2)< f (1)對應(yīng)選項A.（右圖上拱曲線），但不滿足條件(x-1) f ¢（x）0

11、若f (0)= f (2)> f (1)對應(yīng)選項C，D（右圖下拱曲線）. 則滿足條件(x-1) f ¢（x）0.探索 本題涉及的抽象函數(shù)f (x)，沒有給出解析式，只給出了它的一個性質(zhì)：(x-1) f ¢（x）0，并由此可以判定f (0)+ f (2) f (1). 自然，有這種性質(zhì)的具體函數(shù)是很多的，我們希望再找到一些這樣的函數(shù).變題 以下函數(shù)f (x)，具有性質(zhì)(x-1) f ¢（x）0從而有f (0)+ f (2) 2 f (1)的函數(shù)是A. f（x）= (x-1)3 B. f（x）= (x-1) C. f（x）= (x-1) D. f（x）= (x-

12、1)解析 對A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；對B，f (0)無意義； 對C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是D. 對D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且f ¢（x）=(x-1) 使得 (x-1) f(x) =(x-1)(x-1) 0.說明 以x=1為對稱軸、開口向上的函數(shù)都屬這類抽象函數(shù). 如f¢（x）=(x-1) ，其中m，n都是正整數(shù)，且nm.點評 解決抽象函數(shù)的辦法，切忌“一般解決”，只須按給定的具體性質(zhì)“就事論事”，抽象函數(shù)具體化，這是“一般特殊思想”在解

13、題中具體應(yīng)用.題2 已知實數(shù)x，y滿足等式 ，試求分式的最值。分析 “最值”涉及函數(shù)，“等式”連接方程，函數(shù)方程思想最易想到.解一 （函數(shù)方程思想運用）令 y = k (x-5) 與方程聯(lián)立消y，得： 根據(jù)x的范圍應(yīng)用根的分布得不等式組：解得 即 即所求的最小值為，最大值為.插語 解出，談何易！十人九錯，早就應(yīng)該“滾開”，用別的思想方法試試.解二 （數(shù)形結(jié)合思想運用）由得橢圓方程 ，0看成是過橢圓上的點（x，y），(5，0)的直線斜率（圖右）.聯(lián)立 得 令得，故 的最小值為，最大值為.插語 這就是“滾動”的好處，解二比解一容易多了. 因此，滾動開門，不僅要善于“滾到”，還要善于“滾開”.點評

14、“西瓜開門”把運動學(xué)帶進了考場解題. 滾動能克服解題的思維定勢.解題時，要打破思維固化，在思想方法上要“滾動”，在知識鏈接上要“滾動”，在基本技能技巧上也要“滾動”. 總之，面對考題，在看法、想法和辦法上要注意“滾動”.對應(yīng)訓(xùn)練1.若動點P的坐標(biāo)為(x,y)，且lgy，lg|x|，lg成等差數(shù)列，則動點P的軌跡應(yīng)為圖中的 ( )2.函數(shù)y=1- (-1x<0)的反函數(shù)是 ( )A.y=-(0<x1) B.y= (0<x1)C. y=- (-1x<0) D. y= (-1x<0)3.設(shè)a,b,cR,且4a-4b+c>0,a+2b+c<0,則下列結(jié)論中正確

15、的是 ( )A.b2ac B.b2>ac C.b2>ac且a>0 D.b2>ac且a<0參考答案1.【思考】 利用題設(shè)的隱含條件.由條件知x0,y>0且y>x.選項B中無x<0的圖像，選項D中無x>0的圖像，均應(yīng)否定；當(dāng)x=yR+時，lg無意義，否定A,選C【點評】 上面的解法中條件與選項一并使用，滾滾碰碰中終于找到了正確的選項.本題的常規(guī)解法是：當(dāng)x0且y>x時，由lgy+lg=2lg|x|，化簡可得(x+y)(2x-y)=0.y=-x或y=2x(x0,y>0).2.【思考】 分析各選項，僅解析式符號有區(qū)別.定義域中等號的位置

16、有區(qū)別，所以擬從這兩方面滾動著手排除錯誤的選項.原函數(shù)定義域為-1x<0，其反函數(shù)值域為-1y<0，排除B、D.原函數(shù)中f(-1)=1,反函數(shù)中f-1(1)=-1,即x=1時f-1(x)有定義,排除C,選A3.解析一 分析四個選擇支之間的邏輯關(guān)系知,若C真,則B也真;若D真,則B也真,故C、D皆假.取符合條件4a-4b+c>0,a+2b+c<0的實數(shù)a=0,b=-1,c=0檢驗知選B.解析二 由選擇支,聯(lián)想到二次函數(shù)的判別式.令f(x)=ax2+2bx+c,則f(-2)=4a-4b+c>0,f(1)=a+2b+c<0,故=4b2-4ac>0,即b2&g

17、t;ac,故選B.【點評】 在解題時易受題設(shè)條件的干擾,企圖從已知不等式出發(fā):4b<4a+c, 2b<-a-c, ×不等號的方向無法確定,思維受阻.用邏輯分析法和特殊值檢驗的方法兩種方法滾動使用，簡便明快,如解析一.用判別式法邏輯性強但思路難尋,如解析二.一般在做題時,為了使選擇題解題速度變快,推薦學(xué)生使用解析一.第3計 諸葛開門 扇到成功計名釋義諸葛亮既不會舞刀，也不會射箭，他的兵器就是他手中的那把扇子. 草船借箭用扇子，借東風(fēng)也是用扇子. 有人把“借東風(fēng)”的意思弄膚淺了，以為東風(fēng)就是東邊來的風(fēng)，其實，這里真正所指是“東吳”的風(fēng). 在赤壁大戰(zhàn)中，劉備哪是曹操的對手，后來

18、能把曹兵打敗，借的就是東吳的力量.數(shù)學(xué)解題的高手們，都會“借力打力”，這就是數(shù)學(xué)“化歸轉(zhuǎn)換思想”的典型應(yīng)用.典例示范題1 已知f (x)= 試求 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 )的值.分析若分別求f (x)在x= -5，-4，0，6時的12個值然后相加. 這不是不行，只是工作量太大，有沒有簡單的辦法？我們想“借用”等差數(shù)列求和時“倒序相加”的辦法. 于是，我們關(guān)心f (x)+f (1-x)的結(jié)果.解析 因為 f (x)+ f (1-x) = = =所以 f (-5 )+ f (-4 )+ f (0 )+ f (6 ) =（f (-5 )+ f (6 )）+（f

19、(-4)+ f (5 )）+（f (6 )+ f (-5 )）=f (1-x )+ f (x )×6 =點評 這里，“借來”的不是等差數(shù)列本身的性質(zhì)，而是等差數(shù)列求和時曾用過的辦法倒序相加法.對應(yīng)訓(xùn)練1.已知sin2+sin2+sin2=1(、均為銳角)，那么coscoscos的最大值等于 .2.求已知離心率e=,過點(1,0)且與直線l:2x-y+3=0相切于點P(-),長軸平行于y軸的橢圓方程.3.若橢圓 (a>0)與連結(jié)A(1,2),B(3,4)兩點的線段沒有公共點,求a的取值范圍.參考答案1. 命sin2=sin2=sin2=,則cos2=cos2=cos2=.、為銳角

20、時，cos=cos=cos=.coscoscos=.(注：根據(jù)解題常識，最大值應(yīng)在cos=cos=cos時取得).2.解析 按常規(guī),設(shè)橢圓中心為(x0,y0),并列出過已知點P的切線方程,聯(lián)立消參可求得橢圓方程.若借極限思想,將點橢圓視為橢圓的極限情況,則可簡化運算過程.已知e=,則a2=5b2.設(shè)長軸平行于y軸且離心率e=的橢圓系為(x+，把點P(-看做當(dāng)k0時的極限情形(點橢圓),則與直線l:2x-y+3=0相切于該點的橢圓系即為過直線l與“點橢圓”的公共點的橢圓系方程:(x+又所求的橢圓過（1，0）點,代入求得=-.因此所求橢圓方程為x2+=1.點評 將點橢圓視為橢圓的極限情況處理問題,

21、減少了運算量,簡化了運算過程.3.解析 若按常規(guī),需分兩種情況考慮:A,B兩點都在橢圓外;A,B兩點都在橢圓內(nèi).若借用補集思想則避免了分情況討論,使計算簡潔.設(shè)a的允許值的集合為全集I=a|aR,a>0,先求橢圓和線段AB有公共點時的取值范圍.易得線段AB的方程為y=x+1,x1,3,由方程組,x1,3,a2的值在1,3內(nèi)遞增,且x=1和x=3時分別得a2=或a2=,故a2.a>0,a.故當(dāng)橢圓與線段AB無公共點時,a的取值范圍為0<a<或a>.第4計 關(guān)羽開門 刀舉成功計名釋義關(guān)羽不同于諸葛. 諸葛是智星，靠著扇子；關(guān)羽是武士，用的大刀. “過關(guān)斬將”用這大刀，

22、“水淹七軍”用這大刀. 數(shù)學(xué)上的“分析”、“分解”、“分割”等，講的都是刀工. 關(guān)羽的“切瓜分片”是什么意思？切者，七刀也，分者，八刀也！再難的數(shù)學(xué)題，經(jīng)過這七刀、八刀，最后不就粉碎了嗎！典例示范例1 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，E、P分別是BC、A1D1的中點，M、N分別是AE、CD1的中點，AD=AA1=a，AB=2a.（）求證：MN面ADD1A1；（）求二面角PAED的大??；（）求三棱錐PDEN的體積.分析 這是個長方體，而“長”正好是“寬”和“高”的2倍，這正是“關(guān)羽開門”的對象：用刀從中一劈，則分成2個相等的正方體. 對于正方體，我們該多么熟悉??！有關(guān)線段的長度，各線段

23、間的位置關(guān)系，我們都了如指掌.解 取D1C1的中點Q ，過Q和MN作平面QRST. 顯然，M、N都在這平面里.易知QN和SM都平行于平面BCC1B1MNBCC1B1MN面ADD1A1（證畢）.插語 其所以這么簡單，是因為我們對正方體熟悉. 正方體從何而來，感謝關(guān)羽的大刀之功. 以后的（）和（），都可轉(zhuǎn)化到正方體里進行（從略）.【例2】 設(shè)p>0是一常數(shù)，過點Q（2p，0）的直線與拋物線y2=2px交于相異兩點A、B，以線段AB為直徑作圓H（H為圓心）.（）試證：拋物線頂點在圓H的圓周上；（）并求圓H的面積最小時直線AB的方程.【分析】 （）AB是圓H的直徑，欲證拋物線的頂點在圓上，有如下

24、各種對策：（1）證|OH|=|AB|.(2)證|OA|2+|OB|2=|AB|2（3）證AOB=90°,即OAOB，等.顯然，利用向量知識證=0,當(dāng)為明智之舉.【解答】 （）當(dāng)ABx軸時，直線AB的方程為x=2p,代入y2=2px;y2=4p2,y=±2p,|AB|=|y1-y2|=4p.顯然，滿足|OQ|=|AB|,此時Q、H重合,點Q在H上.如直線AB與x軸不垂直，設(shè)直線AB：y=tan(x-2p),x=,代入：y=tan·-2ptan.即tan·y2-2py-4p2tan=0.此方程有不同二實根y1y2,y1+y2=,y1y2=-4p2. =x1x

25、2+y1y2=+y1y2=-4p2=0.,故點O仍在以AB為直徑的圓上.【分析】 ()為使圓面積最小只須圓半徑取到最小值，為此不可避免的要給出直徑AB之長的函數(shù)表達式，直觀上我們已可推測到當(dāng)ABx軸時，弦AB之長最短(這就是論證方向)，為此又有多種途徑:(1)用直線的點斜式與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于x（或y）的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2的函數(shù)式，再用二次函數(shù)或均值不等式的知識求其最值.(2)用直線的參數(shù)方程與拋物線方程聯(lián)立，得關(guān)于參數(shù)t的一元二次方程，利用韋達定理寫出|AB|2=（t1-t2）2的函數(shù)表達式，再依正、余弦函數(shù)的有界性求其最值.這兩種方法各有優(yōu)長，但都須牽涉到兩個變量

26、x,y,以下我們推薦，利用投影公式得出的|AB|函數(shù)式，只牽涉一個變量.【解答】（）直線AB的傾角為,當(dāng)=90°時，H的半徑為2p,SH=4p2.當(dāng)90°時，不妨設(shè)0,)，則綜上，|AB|min=4p,當(dāng)且僅當(dāng)=90°時，（SH）min=4p2,相應(yīng)的直線AB的方程為：x=2p.別解：由（1）知恒有AOB=90°.|2=| =2x1x2+2p(x1+x2)2x1x2+4p.y1y2=-4p2,x1x2=于是|216p2,| |min=4p.當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=2p時，SH=4p2.【點評】 斧子開門，只要你說要進去，直接在墻上打洞最直接了.對應(yīng)訓(xùn)練1.已

27、知函數(shù)f(x)=a1x+a2x2+a3x3+anxn,nN+,且a1,a2,，an構(gòu)成一個數(shù)列an,滿足f(1)=n2.(1)求數(shù)列an的通項公式，并求之值.(2)證明0<f<1.2.矩形ABCD中,AB=6,BC=2,沿對角線BD將ABD向上折起，使點A移到點P,并使點P在平面BCD上的射影O在DC上(如圖所示).(1)求證:PDPC;(2)求二面角PDBC的大小.參考答案1.分析： (1)an的各項是f(x)展開式中各項的系數(shù)，故其各項和Sn=f(1).(2)可以預(yù)見:f展開式的各項是系數(shù)成等差，字母成等比的綜合數(shù)列，這種數(shù)列的求和方法是“錯項相減”.(3)f的解析式必含變量n

28、,為判斷其范圍可考慮用求導(dǎo)法判斷其單調(diào)性.解答： (1)f(1)=a1+a2+an=n2,即Sn=n2,an=Sn-Sn-1=2n-1,=；(2)由(1)知an=2n-1.f=1× -:f = = =1-設(shè)g(x)=,g(x)=3-x+(x+1)·3-xln3· (-1)=.g(x)是R+上的減函數(shù)，從而g(n)是N+上的減函數(shù)，g(n)max=g(1)=,又當(dāng)n時,g(n)0,從而f.2.分析:圖形經(jīng)過翻折(或平移、旋轉(zhuǎn))，只是位置改變，而有關(guān)線段的長度、角度及原來的平行、垂直等關(guān)系，在位置改變前后都沒有改變，緊扣這一點，就能悟出解題門道.(1)為證PDPC,須

29、先證PD平面PBC,已有PDPB(翻折前為ADAB),還須PDBC.(2)求二面角的要點是找出二面角的平面角，已有PO平面BCD于O,且OCD,只須作OMBD即可.解答: (1)由條件知PO平面BCD于O,且OCD,BCCD,BCPD(三垂線定理),但PDPB,PD面PBC,從而PDPC.(2)作OMBD于M，連接PM,則BDPM(三垂線定理),PMO是二面角PBDC的平面角,PB=6,PD=2,BD=4,PM=3,已證PDPC,PC=,PO=.sinPMO=,PMO=arcsin,即所求二面角PDBC的大小為arcsin.第5計 才子開門 風(fēng)情萬種計名釋義所謂才子，就是才思繁捷的弟子. 數(shù)學(xué)

30、才子，也像畫學(xué)才子一樣，胡灑亂潑，墨皆成畫. 這里，人們看到的“胡亂”只是外表. 在里手看來，科學(xué)的規(guī)律，藝術(shù)的工夫，全藏肘后. 別人肩上的重負，移到他的掌上，都成了玩意兒.典例示范引例 試比較以下三數(shù)的大?。海庖?建構(gòu)函數(shù)法設(shè)f (x) = f(x)=ln0 f (x)為減函數(shù) >>旁白 才子一看，發(fā)現(xiàn)是個錯解，于是有以下的評語. 評語 學(xué)了導(dǎo)數(shù)可糟糕，殺雞到處用牛刀，單調(diào)區(qū)間不清楚，亂用函數(shù)比大小.解二作差比較法-=<0-=>0旁白 才子一看，答案雖是對的，但解題人有點過于得意，因此得到以下評語.評語解題成本你不管，別人求近你走遠，作差通分太費力，面對結(jié)果向回轉(zhuǎn).

31、旁白 大家聽才子這么說，紛紛要求才子本人拿出自己的解法來，于是有了以下的奇解.奇解 ×=<1 ×=>1 >>旁白 大家一看，十分驚喜，但對解法的來歷有點奇怪. 于是才子有了如下的自評.自評 標(biāo)新本來在立意，別人作商我作積，結(jié)果可由心算出，不用花費紙和筆.旁白 這時，上面那位提供解法一的人有點不服氣：難道“求導(dǎo)法”就不能解出此題嗎？才子回答：當(dāng)然能！不過需要“統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間”，請看下解正解 f (x) = f(x)=ln<0 (x3)>> >>旁白 大家一看，齊聲說妙，要求才子再評說一下. 于是又有了下面的奇文.評語 因為數(shù)

32、3比e大，單調(diào)區(qū)間從3劃，數(shù)4也在本區(qū)間，故把數(shù)2搬個家.【例1】 已知向量a=(，1)，b是不平行于x軸的單位向量，且a·b=，則b= ( )A(，) B(,) C.() D（1，0）【特解】 由|b|=1，排除C；又b與x軸不平行，排除D；易知b與a不平行，排除A.答案只能為B.【評說】 本解看似簡單，但想時不易，要看出向量b與A()是平行向量，一般考生不能做到.【別解】 因為b是不平行于x軸的單位向量，可排除C、D兩項. 又a·b=,將A代入不滿足題意,所以答案只能為B.【評說】 本題通過三次篩選才得出正確答案,思維量很大,到A、B選項時還需動手計算，真是淘盡黃沙始是

33、金??！【另解】 設(shè)b=(cos,sin),則a·b=(,1)·(cos,sin)= cos+sin= sin(60°+)=在區(qū)間（0，）上解得：=60°.故b=().【評說】 本題涉及解三角方程，并確定解答區(qū)間，這不是一個小題的份量.【錯解】 選A者,誤在(a，選C者,誤在|（）·a|=1.選D者，沒有考慮到（1，0）與x軸平行.【評說】 本題三個假支的設(shè)計，其質(zhì)量很高，各有各的錯因，相信各有各的“選擇人”.對應(yīng)訓(xùn)練1.若奇函數(shù)f(x)在(0,+)上是增函數(shù),又f(-3)=0,則x|x·f(x)<0等于 （ ）A.x|x>

34、3或-3<x<0 B.x|0<x<3或x<-3C.x|x>3或x<-3 D.x|0<x<3或-3<x<02.某工程隊有6項工程需要先后單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，又工程丁必須在工程丙完成后立即進行，那么安排這6項工程的不同排法種數(shù)是 .(用數(shù)字作答)參考答案1.分析 由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性概念入手，結(jié)合其草圖即可寫出所求答案.解析一 由f(x)為奇函數(shù)且f(-3)=0,得f(3)=0.又f(x)在(0,+)上是增函數(shù),據(jù)上述條件作出滿足題意的y=f(x)草圖(如圖（1）),在

35、圖中找出f(x)與x異號的部分,可以看出x·f(x)<0的解集為x|0<x<3或-3<x<0,選D. (1) (2)解析二 由f(-3)=0得f(3)=0,又f(x)在(0,+)上為增函數(shù),作出y=f(x)(x>0)的草圖(如圖（2）),x、f(x)均為R上的奇函數(shù),x·f(x)為偶函數(shù),不等式x·f(x)<0的解集關(guān)于原點對稱,故先解借助圖象得0<x<3,由對稱性得x·f(x)<0的解集為x|0<x<3或-3<x<0,故選D.解析三 借助圖（1）或圖（2）,取特殊值x=

36、2,知適合不等式x·f(x)<0,排除A、C;又奇·奇=偶,x·f(x)為偶函數(shù),解集關(guān)于原點對稱,又可排除B,故選D.【點評】 本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的有關(guān)內(nèi)容.正確理解,掌握相關(guān)性質(zhì),是解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵.在選擇題中,如果出現(xiàn)抽象函數(shù),一般用特殊值法會比較快捷,如解析三,判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是定義法,如果掌握了一些基本規(guī)律,可簡化解題過程,如解析二.奇(偶)±奇(偶)=奇(偶),奇(偶)·奇(偶)=偶.數(shù)形結(jié)合是解題的常用技巧,對于某些題目,做題時無需精確作圖,只要勾畫出圖象的大體結(jié)構(gòu),作出草圖即可.2.【分析】 排

37、列組合解應(yīng)用題.6個元素作有限制的排列,其中4個元素有先后順序.并且C，D捆綁之后成為一個元素.問題有一定的難度.加法原理和乘法原理都能考慮.【通解】 考查有條件限制的排列問題，其中要求部分元素間的相對順序確定：據(jù)題意由于丁必須在丙完成后立即進行，故可把兩個視為一個大元素，先不管其它的限制條件，使其與其他四人進行排列共有A種排法，在所有的這些排法中，甲、乙、丙相對順序共有A種，故滿足條件的排法種數(shù)共有=20.【正解】 5個元素設(shè)作A,B,（C,D）,x,y.將排列種數(shù)分兩類:第一類,x,y相連,在A,B,（C,D）之間或兩頭插位,有2C=8種方法.第二類,x,y不連,在A,B,（C,D）之間或

38、兩頭插位,有2C=12種方法.【評說】 先分類:“相連”與“不連”為完全劃分；后分步：第1步組合，第2步排列，也是完全劃分.【另解】 5個元素設(shè)作A，B，（C，D），x,y.五個時位設(shè)作a,b,(c,d),e,f.第1步考慮元素x到位，有5種可能；第2步考慮元素y到位，有4種可能；第3步，A，B，（C，D）按順序到位，只1種可能.由乘法原理，方法總數(shù)為5×4=20種.【評說】 “另解”比“正解”簡便，但思維要求高.在元素x和y已到位之后，在留下的3個位置上，A，B，（C，D）按序到位情況只1種.這點，一般學(xué)生不易想通.【別解】 設(shè)所求的排法總數(shù)為x種，在每1個排好的隊列中，取消A，B

39、，（C，D）3元素的限序，則有xP3=P5x=5×4=20.【評說】 別解也是“想得好，算得省”，用的是乘法原理P5=5P4=20P3.第6計 勇士開門 手腳咚咚計名釋義一個婦女立在衙門前的大鼓旁邊，在哭. 一勇士過來問其故.婦女說：“我敲鼓半天了，衙門還不開.”勇士說：“你太斯文，這么秀氣的鼓捶，能敲出多大聲音？你看我的！”說完，勇士撲向大鼓，拳打腳踢. 一會兒，果然衙門大開，衙役們高呼：“有人擊鼓，請老爺升堂！”考場解題，何嘗不是如此：面對考題，特別是難題，斯文不得，秀氣不得，三教九流，不拘一格. 唯分是圖，雅的，俗的，一并上陣.典例示范【例1】 已知x,y, aR，且,則cos

40、 (x+2y)的值為 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【思考】 代數(shù)方程中滲入了三角函數(shù)，不可能用初等方法“正規(guī)”地求出它的解.但兩個方程有較多的形似之處，能否通過適當(dāng)?shù)淖冃问怪伞靶嗡啤钡健吧袼啤蹦兀拷猓河蓷l件得：x,-2y是方程t3+sint-2a=0之二根.【插語】 這是勇士之舉，采用手腳并用，誰會想到用方程根來解決它呢?設(shè)f (t)=t3+sint-2a. 當(dāng)t時，均為增函數(shù)，而-2a為常數(shù).上的單調(diào)增函數(shù).f (x)= f (-2y)=0.只能x=-2y,即x+2y=0.于是cos (x+2y)=1. 選B.【點評】 想到方程根使所給2個式子合二為一，是本題一個難點之一；判斷函數(shù)

41、是單調(diào)函數(shù)又是一個難點.【例2】 已知向量a= (cos,sin),向量b=(,-1) ， 則 |2a - b| 的最大值、最小值分別是( )A.4,0 B.4,2 C.16,0 D.4,0【解答】 如圖，點A(cos,sin)在圓上運動時，延OA到C，使=2a, 求的最值，顯然.當(dāng)與反向時有最大值4,與同向時有最小值0. 選D.【點評】 本例 解題思想很簡單，誰不知道“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”呢， 例2題解圖為求極值，我們的勇士勇敢地到極地當(dāng)BOC不復(fù)存在時，才有可能取得.【例3】 設(shè)f (x), g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)g(

42、x)+f (x)g(x)>0，且g(-3)=0, 則不等式f (x)g(x)<0的解集是 ( )A.(-3,0)(3,+) B.(-3,0)(0,3)C.(-,-3)(3,+) D.(-,-3)(0,3)【解答】 設(shè)F(x)= f (x)g(x), 當(dāng)x<0時，F(xiàn)(x)= f(x)g(x)+f (x)g(x)>0.F(x)在R上為增函數(shù).F(-x)= f (-x)g (-x)=-f (x)·g (x).=-F(x).故F(x)為(-,0)(0,+)上的奇函數(shù).F(x)在R上亦為增函數(shù).已知g(-3)=0,必有F(-3)=F(3)=0.構(gòu)造如圖的F（x）的圖象，

43、可知 例3題解圖F(x)<0的解集為x(-,-3)(0,3).【點評】 本例選自04·湖南卷12題,是小題中的壓軸題，顯然，不懂得導(dǎo)數(shù)基本知識對待本例是無能為力的，高中 代數(shù)在導(dǎo)數(shù)中得到升華，導(dǎo)數(shù)也是初數(shù)的“極地”.本題還構(gòu)造了圖形，使問題更有說服力.對應(yīng)訓(xùn)練1.下列命題正確的是 ( )A.若an和bn的極限都不存在，則an+bn的極值一定不存在B.若an和bn的極限都存在，則an+bn的極限一定存在C.若an+bn的極限不存在，則an和bn的極限都一定不存在D.若an+bn的極限存在，則an和bn的極限要么都存在，要么都不存在2.過定點M (-1,0)且斜率為k的直線與圓x2

44、+4x+y2-5=0在第一象限內(nèi)的部分有交點，則k的取值范圍是 （ ）A.0<k< B.-<k<0 C.0<k< D.0<k<53.若(1-2x )9展開式的第3項為288，則的值是 ( )A.2 B.1 C. D.參考答案1.D (正反推證）若an+bn:1,1,1,1,的極限存在而推出an:0,1,0,1,0,1,bn:1,0,1,0,1,0,極限都不存在，但若an:1,1,1,1,bn:0,0,0,0,極限又都存在，故D正確，同理可排除A、B、C.2.A （數(shù)形并用）如圖，以C (-2,0)為圓心，r=3為半徑的C交x、y正半軸于A（1,0

45、）,B (0,), 而M (-1, 0)在C內(nèi)部，當(dāng)N時，顯然，kMN>kMA=0;kMN<kMB=.故知, k(0,), 選A. 第2題解圖3.A T3=C(-2x)2=36 (2x)2=288， 2 2x=8， x=, =(0,1).數(shù)列是首項與公比均為的無窮遞縮等比數(shù)列.原式=2. 選A.第7計 模特開門 見一知眾計名釋義一時裝模特，在表演時，自己笑了，臺下一片喝彩聲. 她自感成功，下去向老板索獎. 誰知老板不僅沒獎，反而把她炒了. 冤枉不？不冤枉！模特二字，特是幌子，模是目的.模特表演是不能笑的. 試想，模特一笑，只能顯示模特本人的特色，誰還去看她身上的服裝呢？所以，模特一

46、笑，特在模掉！數(shù)學(xué)的特殊性（特值）解題，既要注意模特的特殊性，更要注意模特的模式性（代表性），這樣，才能做到“一點動眾”. 特值一旦確定，要研究的是特值的共性.選擇題中的“特值否定”，填空題中的“特值肯定”，解答題中的“特值檢驗”，都是“一點動眾”的例子.典例示范【例1】 如果0<a<1,那么下列不等式中正確的是 （ ）A.(1-a)>(1-a) B.log(1-a)(1+a)>0C.(1-a)3>(1+a)2 D.(1-a)1+a>1【思考】 本題關(guān)鍵點在a,我們一個特殊數(shù)值，作為本題的模特.令a=,各選項依次化為： （ ）A B. C D. 顯然，有且僅

47、有A是正確的，選A.【點評】 本題是一個選擇題，因此可以選一個模特數(shù)代表一類數(shù)，一點動眾.你還需要講“道理”嗎？為減函數(shù)，log0,B不對；也是減函數(shù)，,D不對；直接計算，C也不對；只有A是對的.【例2】 已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=f (x)恒不為零，同時滿足:f (x+y)=f (x)·f (y),且當(dāng)x>0時，f (x)>1,那么當(dāng)x<0時，一定有 （ ）Af (x)<-1 B.-1<f (x)<0 C.f (x)>1 D.0<f (x)<1【思考1】 本題是一個抽象函數(shù),破題之處在于取特殊函數(shù),一點動眾.設(shè)f (x)=2

48、x, 顯然滿足f (x+y)=f (x)·f (y) (即2x+y =2x·2y), 且滿足x>0時，f (x)>1,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時，0<2x<1.即0< f (x)<1. 選D.【點評】 題干中的函數(shù)抽象，先選定特殊的指數(shù)函數(shù)使之具體，而指數(shù)函數(shù)無窮無盡地多，索性再特殊到底，選定最簡單且又符合題意的函數(shù)y=2x, 這就是我們這題的模特,結(jié)果是輕而易舉地找出了正確答案.在考場上分分秒秒值千金，你還愿意糾纏在“為什么”上無謂地犧牲自己寶貴的時間嗎？【思考2】 取特值. 令x=0, y=0, 有f (0) = f (0)

49、2 ( f (x)0), 則f (0)=1, f (0)= f (x-x)= f (x) f (-x), 即, 當(dāng)x<0時，-x>0.由條件：f (-x)>1, 故x<0時, 0< f (x)<1.【例3】 若A, B, C是ABC的三個內(nèi)角，且A<B<C （C), 則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.sinA<sinC B.cosA<cosC C.tanA<tanC D.cotA<cotC【思考】 本題的模特是取特殊角. 令A(yù)=30°, B= 45°,C=105°, 則cosC<0,tanC

50、<0,cotC<0.B、C、D都不能成立.故選A.【點評】 此題用常法論證也不難，但是誰能斷言：本解比之常法不具有更大的優(yōu)越性呢？對應(yīng)訓(xùn)練1.設(shè)f (x)=1+5x-10x2+10x3-5x4+x5, 則f (x)的反函數(shù)的解析式是 （ ）A B. C D. 2.下列命題中，命題M是命題N的充要條件的一組是 （ ）A B.C. D.3.已知兩函數(shù)y= f (x)與y=g(x)的圖像如圖（1）所示，則y= f (x)·g(x)的大致圖像為（ ） 第3題圖（1） 第3題圖（2） 參考答案1.B 取特殊的對稱點. f (0)=1, (0,1)在f (x)的圖像上，（1，0）在f (x)的圖像上，將（1，0）代入各選項，僅B適合， 選B.點評 題干和選項都那么復(fù)雜，解法卻如此簡明.你能發(fā)現(xiàn)（0，1）.就能找出（1，0），解題就需要這種悟性，說到底，還是能力.2.D 取特殊值. 令c=0, 否定A；B、C都不能倒推，條件不必要.3.B 取特殊的區(qū)間. 由圖像知f (x)