對數(shù)及對數(shù)函數(shù)

1、2013版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品學(xué)案：第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用2.6對數(shù)函數(shù)【高考新動向】一、考綱點擊（1）理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化自然對數(shù)或常用對數(shù)；了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用。（2）理解對數(shù)函數(shù)的概念，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，掌握對數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點。（3）知道對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。（4）了解指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)（）二、熱點提示（1）對數(shù)的運(yùn)算及對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)是高考考查的重點，主要考查利用對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)比較函數(shù)值大小、求定義域、值域、單調(diào)區(qū)間、最值及研究零點、奇偶性等問題，同時考查分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想.（

2、2）常與方程、不等式等知識交匯命題，多以選擇、填空題的形式考查.（3）預(yù)測2013年高考仍將以對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)為主要考點，重點考查運(yùn)用知識解決問題的能力.【考綱全景透析】1、對數(shù)的概念（1）對數(shù)的定義如果，那么數(shù)叫做以為底，的對數(shù)，記作，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)。（2）幾種常見對數(shù)表格 1對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為常用對數(shù)底數(shù)為10自然對數(shù)底數(shù)為e 2、對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則（1）對數(shù)的性質(zhì)（）：，。（2）對數(shù)的重要公式：換底公式：；，推廣。（3）對數(shù)的運(yùn)算法則：如果，那么；R）；。3、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)（1）定義域：（0,+）（2）值域：R（3）當(dāng)x=1時，y=0即過定點

3、（1，0）（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，（4）當(dāng)時，；當(dāng)時，（5）在（0,+）上為增函數(shù)（5）在（0,+）上為減函數(shù)注：確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a，b，c，d與1的大小關(guān)系提示：作一直線y=1，該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)。0<c<d<1<a<b.4、反函數(shù)（1）定義：當(dāng)一個函數(shù)是一一映射時，可以把這個函數(shù)的因變量作為一個新的函數(shù)的自變量。而把這個函數(shù)的自變量作為新的函數(shù)的因變量，我們稱這兩個函數(shù)互為反函數(shù)。（2）表示：函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)通常用y=f-1(x)表示.（3）指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱

4、?！緹狳c難點全析】一、對數(shù)式的化簡與求值對數(shù)的化簡與求值的基本思路利用換底公式及，盡量地轉(zhuǎn)化為同底的和、差、積、商運(yùn)算；利用對數(shù)的運(yùn)算法則，將對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為對數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算；約分、合并同類項，盡量求出具體值。對數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)首先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡，然后正用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡合并.(2)將對數(shù)式化為同底數(shù)對數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算. 例1計算（1）；（2）；（3）解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。二、比較大小1、相關(guān)鏈接（1）比

5、較同底的兩個對數(shù)值的大小，可利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來完成。a>1,f(x)>0.g(x)>0,則logaf(x)>logag(x)f(x)>g(x)>0;0<a<1,f(x)>0,g(x)>0,則logaf(x)>logag(x) 0<f(x)<g(x)（2）比較兩個同真數(shù)對數(shù)值的大小，可先確定其底數(shù)，然后再比較。若a>b>1，如圖1.當(dāng)f(x)>1時，logbf(x)>logaf(x);當(dāng)0<f(x)<1時，logaf(x)> logbf(x).若1>a>b>

6、;0,如圖2。當(dāng)f(x)>1時，logbf(x)> logaf(x);當(dāng)1>f(x)>0時，logaf(x)> logbf(x).若a>1>b>0。當(dāng)f(x)>1時，則logaf(x)> logbf(x);當(dāng)0<f(x)<時，則logaf(x)<logbf(x).（3）比較大小常用的方法作差（商）法；利用函數(shù)的單調(diào)性；特殊值法（特別是1和0為中間值）2、例題解析例對于，給出下列四個不等式：；其中成立的是（ ）（）與（）與（）與（）與分析：從題設(shè)可知，該題主要考查與兩個函數(shù)的單調(diào)性，故可先考慮函數(shù)的單調(diào)性，再比較大小。

7、解答：選。0<a<1,a<,1+a<1+,即正確。注：（1）畫對數(shù)函數(shù)圖象的幾個關(guān)鍵點共有三個關(guān)鍵點：（2）解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點務(wù)必先研究函數(shù)的定義域；注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍。（3）比較對數(shù)式的大小當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，可直接利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；當(dāng)?shù)讛?shù)不同，真數(shù)相同時，可轉(zhuǎn)化為同底（利用換底公式）或利用函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合解決；當(dāng)不同底，不同真數(shù)時，則可利用中間量進(jìn)行比較。三、對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)1、相關(guān)鏈接（1）對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是每年高考必考內(nèi)容之一，其中單調(diào)性和對數(shù)函數(shù)的定義域是熱點問題。其單調(diào)性取決于底數(shù)與“1”的大小關(guān)系。（2）利用單調(diào)性可解決比較大小

8、、解不等式、求最值等問題，其基本方法是“同底法”。即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式，然后根據(jù)單調(diào)性來解決。（3）與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解步驟確定定義域；弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x)分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若這兩個函數(shù)同增或同減，則y=f(g(x)為增函數(shù)，若一增一減，則y=f(g(x)為減函數(shù)，即“同增異減”。2、例題解析例1已知f(x)=loga(ax-1)(a>0,a1)(1)求f(x)的定義域；(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.思路解析：(1)本題求f(x)的定義域，但由于在條件中已知函數(shù)的解析式

9、，所以，在求解方法上，可以考慮函數(shù)的真數(shù)大于零，解不等式.(2)本題求f(x)的單調(diào)性，但由于在條件中已知函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，所以在解題方法上，可用復(fù)合函數(shù)求其單調(diào)性.解析：(1)使f(x)=loga(ax-1)有意義，則ax-1>0，即ax>1，當(dāng)a>1時，x>0；當(dāng)0<a<1時，x<0；當(dāng)a>1時，函數(shù)的定義域為 x|x>0；當(dāng)0<a<1時，函數(shù)的定義域為 x|x<0.(2)當(dāng)a>1時，設(shè)0<x1<x2，則，f(x1)<f(x2)，當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)在(0,+)上為增函數(shù)；當(dāng)0<a

10、<1時，設(shè)x1<x2<0，則， ，f(x1)<f(x2)，當(dāng)0a1時，函數(shù)f(x)在(-,0)上為增函數(shù)；綜上可知：函數(shù)f(x)=loga(ax-1)在其定義域上為增函數(shù).方法提示：利用復(fù)合函數(shù)（只限由兩個函數(shù)復(fù)合而成的）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法找出已知函數(shù)是由哪兩個函數(shù)復(fù)合而成的；當(dāng)外函數(shù)為對數(shù)函數(shù)時，找出內(nèi)函數(shù)的定義域；分別求出兩函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；按照“同增異減”確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定要在函數(shù)的定義域上進(jìn)行。例2設(shè)函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間;(2)若當(dāng)時,(其中)不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;(3)試討論關(guān)于的方程:在區(qū)間上的根的個數(shù).解 （1）函數(shù)的

11、定義域為. 1分由得; 2分 由得, 3分則增區(qū)間為,減區(qū)間為. 4分(2)令得,由(1)知在上遞減,在上遞增, 6分由,且, 8分時, 的最大值為,故時,不等式恒成立. 9分(3)方程即.記,則.由得;由得.所以g(x)在0,1上遞減，在1，2上遞增.而g(0)=1，g(1)=2-2ln2，g(2)=3-2ln3，g(0)g(2)g(1) 10分所以，當(dāng)a1時，方程無解；當(dāng)3-2ln3a1時，方程有一個解，當(dāng)2-2ln2aa3-2ln3時，方程有兩個解；當(dāng)a=2-2ln2時，方程有一個解；當(dāng)a2-2ln2時，方程無解. 13分字上所述，a時，方程無解；或a=2-2ln2時，方程有唯一解；時，

12、方程有兩個不等的解.14分 注：解決對數(shù)函數(shù)問題，首先要看函數(shù)的定義域，在函數(shù)的定義域內(nèi)再研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷時可利用定義，也可利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷。對于恒成立問題注意等價思想的應(yīng)用。四、對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例1已知函數(shù)f(x)=-x+.(1)求f()+f(-)的值；(2)當(dāng)x(-a,a，其中a(0,1），a是常數(shù)時，函數(shù)f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，請說明理由.思想解析:(1)本題是求函數(shù)值，而解析式中的兩個變量互為相反數(shù)，所以，在解題方法上，應(yīng)考慮函數(shù)的奇偶性；(2)本題探求f(x)的最值是否存在，由于已知函數(shù)的解析式，在解題方法上應(yīng)考慮函數(shù)的單調(diào)性.

13、解答: (1)由f(x)=-x+有意義得：>0，解得：-1<x<1，即該函數(shù)的定義域為(-1,1)，又f(-x)=x+=x-=-f(x)，函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，即f(-x)+f(x)=0，f(-)+f()=0； (2)任取x1、x2(-1,1)且設(shè)x1<x2則f(x1)-f(x2)=x2-x1+log2-log20，易知f(x)在(-1,1)上是減函數(shù)，又x(-a,a，且a(0,1），f(x)min=f(a)=-a+log2.方法提示:（1）求f(a)+f(-a)的值，常常聯(lián)想到函數(shù)的奇偶性，因此，解此類問題一般先判斷奇偶性，再求值.（2）求形如f(2 012),f(2

14、 011)的值往往與函數(shù)的周期性有關(guān)，求此類函數(shù)值一般先研究函數(shù)的周期性（3）已知函數(shù)的最值或求函數(shù)的最值，往往探究函數(shù)的單調(diào)性 例2（12分）已知過原點O的一條直線與函數(shù)的圖象交于、兩點，分別過、作y，軸的平行線與函數(shù)的圖象交于、兩點。證明點、和原點O在同一直線上；當(dāng)平行于x軸時，求點的坐標(biāo)。分析：（1）證明三點在同一條直線上只需證明；（2）解方程組得，代入解析式即可求解。解答：（1）設(shè)點，的橫坐標(biāo)分別為、，由題設(shè)知>1，>1則點、的縱坐標(biāo)分別為、。因為、在過點O的直線上，所以，點、的坐標(biāo)分別為（，）、（，）由于O的斜率為=，O的斜率為，由此可知，即O、在同一直線上。注：在解答過

15、程中易出現(xiàn)三點共線不會證或找不到與關(guān)系無法進(jìn)行正確地轉(zhuǎn)化，并且求解坐標(biāo)進(jìn)忽略函數(shù)定義域的情況，導(dǎo)致此種錯誤的原因是：沒有正確地理解題意，沒有熟練地掌握三點共線與斜率相等的關(guān)系，或?qū)?、的范圍沒有搞清楚。（2）由于平行于軸，知=，即得=，代入，得由于，知故考慮，解得，于是點的坐標(biāo)為（，）注：本題是典型的在知識交匯點處的命題，若用傳統(tǒng)方法設(shè)直線方程，解方程組求交點必然思路受阻，而充分利用函數(shù)圖象和性質(zhì)及解析幾何的思想方法會使問題迎刃而解。方法提示: 解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的方法無論討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì)(1)要分清函數(shù)的底數(shù)a(0,1)，還是a(1,+)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函

16、數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.(4)在處理與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時，應(yīng)注意底數(shù)的取值范圍對解決問題的影響，以及真數(shù)為正的限制條件.【高考零距離】1（2012·天津高考文科·4）已知，則的大小關(guān)系為（ ） 【解題指南】先化簡b,c與1比較,再分別比較大小，顯然a的值最大?！窘馕觥窟x。因為，所以選。2（2012·新課標(biāo)全國高考文科·11）當(dāng)0<x時，4x<logax，則a的取值范圍是（ ） （）(0，) （）(，1) （）(1，) （）(，2)【解題指南】考慮

17、數(shù)形結(jié)合，先畫出圖形，4x<logax，則意味著在0<x的那一段圖象在圖象的下方，找出臨界情況，探索出的取值范圍?！窘馕觥窟x 由，且，可得，由可得，令，若，則說明當(dāng)時，的圖象恒在圖象的下方（如下圖所示），此時需.綜上可得的取值范圍是.3（2011·安徽高考文科·5）若點在圖象上，則下列點也在此圖象上的是（）（） （） （） （）【思路點撥】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，代入驗證.【精講精析】選.由題意 ，即也在函數(shù)圖象上.4 （2011·遼寧高考理科·9）設(shè)函數(shù)f（x）=則滿足f（x）2的x的取值范圍是 （）-1，2 （）0，2 （）1，+） （）0，

18、+）【思路點撥】可分和兩種情況分別求解，再把結(jié)果并起來【精講精析】選.若，則，解得;若，則，解得，綜上， .故選.5. （2011.天津高考理科.T7）已知則 （ ） 【思路點撥】化簡選項為同底，畫圖觀察比較大小。【精講精析】選項可化為，如圖所示，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知選項正確。6. （2011·江蘇高考·2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_【思路點撥】本題考查的是對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題，解題的關(guān)鍵找出定義域和增區(qū)間的交集?！揪v精析】答案：.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1函數(shù)是在定義域內(nèi)是增函數(shù)，解得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為?！究键c提升訓(xùn)練】一、選擇題(每小題6分，共36分)1.(2012

19、·珠海模擬)函數(shù)y= +log2(x+2)的定義域為( )()(-,-1)(3,+) ()(-,-1)3,+)()(-2,-1) ()(-2,-13,+)2.（2012·莆田模擬）設(shè)f(x)=,則不等式f(x)>2的解集為（ ）()（1，2）（3，+）()（10，+）()（1，2）（10，+）()（1，2）3.設(shè)f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，已知當(dāng)x(0,1)時，f(x)= (1-x)，則函數(shù)f(x)在(1，2)上( )()是增函數(shù)，且f(x)<0()是增函數(shù)，且f(x)>0()是減函數(shù)，且f(x)<0()是減函數(shù)，且f(x)>04.

20、已知函數(shù)f(x)=|log2x|，正實數(shù)m、n滿足mn，且f(m)=f(n)，若f(x)在區(qū)間m2,n上的最大值為2，則m、n的值分別為( )()、2 ()、4()、 ()、45. （2012·福州模擬）函數(shù)f(x)=loga(2-ax2)在（0，1）上為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）()，1）()（1，2）()（，1）()（1，26.（預(yù)測題）已知函數(shù)f(x)= 若方程f(x)=k無實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是( )()(-,0) ()(-,1)()(-,lg ) ()(lg ,+)二、填空題(每小題6分，共18分)7. =_.8.(2012·青島模擬)函數(shù)y=f(x

21、)的圖象與y=2x的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)y=f(4x-x2)的遞增區(qū)間是_.9.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(2-x)=f(x)，且f(x)在(1,+)上是增函數(shù)，設(shè)a=f(0),b=f(log2),c=f(lg),則a,b,c從小到大的順序是_.三、解答題(每小題15分，共30分)10.若函數(shù)y=lg(3-4x+x2)的定義域為M.當(dāng)xM時，求f(x)=2x+2-3×4x的最值及相應(yīng)的x的值.11.(2012·廈門模擬)已知函數(shù)f(x)=ln.(1)求函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)f(x)的奇偶性;(2)對于x2,6,f(x)= ln ln 恒成立，求實數(shù)m

22、的取值范圍.【探究創(chuàng)新】(16分)已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax).(1)當(dāng)x0,2時，函數(shù)f(x)恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在這樣的實數(shù)a，使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值；如果不存在，請說明理由.答案解析1.【解析】選.要使函數(shù)有意義，需得-2x-1或x3,即x(-2,-13,+),故選.2.【解析】選.當(dāng)x<2時，f(x)>2，即2ex-1>2,解得1<x<2,當(dāng)x2時，f(x)>2，即log3(x2-1)>2,解得x>,綜上所述，不等式的解集為（1，2）（10，+）.3.

23、【解析】選.f(x)是定義在R上以2為周期的偶函數(shù)，由x(0,1)時，f(x)= (1-x)是增函數(shù)且f(x)>0，得函數(shù)f(x)在(2，3)上也為增函數(shù)且f(x)>0，而直線x=2為函數(shù)的對稱軸，則函數(shù)f(x)在(1，2)上是減函數(shù)，且f(x)>0，故選.4.【解析】選.f(x)=|log2x|= 根據(jù)f(m)=f(n)及f(x)的單調(diào)性，知0m1,n1，又f(x)在m2,n上的最大值為2，故f(m2)=2,易得n=2,m=.5.【解析】選.由已知可知a>0,u(x)=2-ax2在（0，1）上是減函數(shù)，f(x)=loga(2-ax2)在（0，1）上是減函數(shù).等價于,即

24、,1<a2.6.【解題指南】作出函數(shù)f(x)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解.【解析】選.在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=k的圖象，如圖所示，若兩函數(shù)圖象無交點，則klg.7.【解析】原式=lg4+lg2-lg7-lg8+lg7+lg5=2lg2+(lg2+lg5)-2lg2=.答案：8.【解題指南】關(guān)鍵是求出f(4x-x2)的解析式，再求遞增區(qū)間.【解析】y=2x的反函數(shù)為y=log2x，f(x)=log2x,f(4x-x2)=log2(4x-x2).令t=4x-x2,則t0,即4x-x20,x(0,4),又t=-x2+4x的對稱軸為x=2，且對數(shù)的底數(shù)大于1，y=f(4x-x2)的遞增區(qū)間為(0，2).答案：(0，2)9.【解析】由f(2-x)=f(x)，可知對稱軸x0=1,圖象大致如圖，log2=log22-2=-2,-20lg1,結(jié)合圖象知f(lg)f(0)f(log2)，即cab.答案：cab10.【解析】y=lg(3-4x+x2),3-4x+x20,解得x1或x3,M=x|x1或x3,f(x)=2x+2-3×4x=4×2x-3×(2x)2.令2x=t,x1或x3,t8或0t2.設(shè)g(t)=4t-3t2g(t)=4t-3t