線性代數(shù)與解析幾何矩陣學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1第一頁，共133頁。2第1頁/共133頁第二頁，共133頁。111212122212nnmmmnaaaaaaaaaAm n第2頁/共133頁第三頁，共133頁。()m nijm naA,00m n| |Aijn nadet 第3頁/共133頁第四頁，共133頁。1111diag(,)nnnnaaaaE , ,In 或或diag(1,1,1)nEdiag( , )cc11121222nnnnaaaaaa第4頁/共133頁第五頁，共133頁。l 下三角下三角(snjio)(snjio)矩陣矩陣: :11212212nnnnaaaaaal 行矩陣行矩陣(j zhn):(j zhn):12na

2、aal 列矩陣列矩陣(j zhn):(j zhn):12naaa第5頁/共133頁第六頁，共133頁。第6頁/共133頁第七頁，共133頁。8()ijm na()ijm nb()()A+ B = Cijm nijijm ncab()() ijm nijm naa()ABAB ,()AAAA 00 ( A與與B 要同形要同形).)., ()()A+ B = B+ AA+ BCAB+C第7頁/共133頁第八頁，共133頁。()()Aijm nijm nkk aka1,0AAA 0()()AAk lkl()A+ BABkkk()AAAklkl第8頁/共133頁第九頁，共133頁。1 122ijiji

3、jissjca ba ba b(),ijm sa(),ijs nb()C = ABijm nc,12 iiisaaa12jjs jbbbijc1,1,;1, .sikkjka bim jn第9頁/共133頁第十頁，共133頁。第10頁/共133頁第十一頁，共133頁。(1),p mp nn qm qAA0000(2)mnE A= A, AE = A(3)()()A BCAB C(4) ()()A B+CAB+ ACB+C A= BA+CA第11頁/共133頁第十二頁，共133頁。設(shè)設(shè)2311121 ,00312AB 231112100312 2 1 3 0 1 21 1 2 0 ( 1) 20

4、 1 3 0 1 2 412第12頁/共133頁第十三頁，共133頁。1122,ABabbaAB 1 11 22 122,ababa ba bBA 1 122()bab a第13頁/共133頁第十四頁，共133頁。1111,1111AB0022,0022ABBA第14頁/共133頁第十五頁，共133頁。121 371,242112ABC121 32421AB12712412AC55,101055.1010第15頁/共133頁第十六頁，共133頁。ABBAAB = ACB = CABAB000或ABAB000且第16頁/共133頁第十七頁，共133頁。18祝祝 大大 家家 中秋節(jié)中秋節(jié) 快快 樂

5、樂預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)(yx)2.3-2.4(yx)2.3-2.4第17頁/共133頁第十八頁，共133頁。19101,1,2,AAAEAAAkkk()klklklklA AAAAAB,().ABA Bkkk第18頁/共133頁第十九頁，共133頁。20( )nnnnf xa xaxa xa1110( )nnnnfaaaa1110AAAAEA( )f A第19頁/共133頁第二十頁，共133頁。21111212122212| A|nnnnnnaaaaaaaaa第20頁/共133頁第二十一頁，共133頁。221212(1),( 1)(2)(3)(4)nnssmmkk AAAA| AB|=| A| B| A

6、AA | | A | A | A |AA( (行列式乘法行列式乘法(chngf)(chngf)公式公式) )A, B, niA第21頁/共133頁第二十二頁，共133頁。23第22頁/共133頁第二十三頁，共133頁。24111212122212,nnmmmnaaaaaaaaaA稱為稱為(chn(chn wi)A wi)A的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣. .1121112222T12mmnnmnaaaaaaaaaA第23頁/共133頁第二十四頁，共133頁。25T TTTTTTTTTTTT123456mmn nn nkkmAAABABAAABB AAANAAAA（）（）（ ）（）（ ）（）（ ）（）（

7、）（） （），（ ），第24頁/共133頁第二十五頁，共133頁。26,1,2,ijjiaai jn0,1,2, iiijjiaaai jn第25頁/共133頁第二十六頁，共133頁。271.,.|nMnAAA設(shè)設(shè)其其中中 是是奇奇數(shù)數(shù)，反反對對稱稱？0T| A| | A |A|( 1)n | A| A|第26頁/共133頁第二十七頁，共133頁。28第27頁/共133頁第二十八頁，共133頁。29第28頁/共133頁第二十九頁，共133頁。30第29頁/共133頁第三十頁，共133頁。311. E-1=E2. 當(dāng)當(dāng) k1k2kn0 時時, ,有有: :112nkkk12111nkkk第30頁

8、/共133頁第三十一頁，共133頁。32BA= AC = EB =唯一唯一. .BE =()B AC =()BA C =EC = C第31頁/共133頁第三十二頁，共133頁。33T11T(4)()()AA11(5)| |AA111(3)0AA（，111(2)()ABBA可推廣至有限個積可推廣至有限個積11(6)()() ,mmmAAN11(1)()AA第32頁/共133頁第三十三頁，共133頁。341|,0,nikjkkijaijAA復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)(fx)行列式的展開行列式的展開性質(zhì)性質(zhì)A, BA+B 111ABABABACBCA,由由第33頁/共133頁第三十四頁，共133頁。35*AA伴隨矩陣

9、伴隨矩陣(j zhn): A為為n 階方陣階方陣|000|0|00|AAA EA111211121121222122221212nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaa AAAAAAAAA第34頁/共133頁第三十五頁，共133頁。36T*()()nnjiijnnnnAAAAAAAAAAAA112111222212稱稱為矩陣為矩陣(j zhn)A(j zhn)A的伴隨矩陣的伴隨矩陣(j zhn).(j zhn).ijA第35頁/共133頁第三十六頁，共133頁。37A A= AA =AEAA(A)=( A)A =E1A1A11( *) =AAA11*,AAA1*=,AA AA為為n階方陣階方

10、陣(fn zhn)第36頁/共133頁第三十七頁，共133頁。38設(shè)設(shè) A A 為數(shù)為數(shù)(wish)(wish)域域 F F 上上 n n 階方陣階方陣, ,則則 1. A 可逆可逆A 02. A 可逆時可逆時, , A1=*1AA111AA= A AE1AA= E第37頁/共133頁第三十八頁，共133頁。39*11()()|AAA AEAA*|AAA A E1*1|AAA 在在|A| 0時時, ,11( *) =AAA |A| 0, *A第38頁/共133頁第三十九頁，共133頁。40A A0 0 時時, , 稱稱 A A 為非奇異為非奇異(qy)(qy)陣陣第39頁/共133頁第四十頁，

11、共133頁。41abcdA|0adbcAA 11dbcaadbcA第40頁/共133頁第四十一頁，共133頁。42求滿足求滿足(mnz)(mnz)矩陣方程矩陣方程 AX=B AX=B 的矩陣的矩陣 X, X, 12283212 ,59221215AB A=-270,1*1AAA12212129221X =A- -1B =2/9 17/37/9-5/3 28/9 1/3其中其中(qzhng)(qzhng)第41頁/共133頁第四十二頁，共133頁。4311 A23,(3),nn AAA,AEB0 1 00 10B()nn AEB122(1)2nnnnn nn EBBB！34(3)nn0BBB20

12、 0 10 0 ,0B第42頁/共133頁第四十三頁，共133頁。44122(1)2nnnnn nnAEBB！2222212, A323323333 A121(1)2nnnnnnn nnn ！第43頁/共133頁第四十四頁，共133頁。45A 0 在在|A| 0時時,11( *) =AAA*11AAA第44頁/共133頁第四十五頁，共133頁。46第45頁/共133頁第四十六頁，共133頁。47 第46頁/共133頁第四十七頁，共133頁。48cicj ci cicjcii 第47頁/共133頁第四十八頁，共133頁。49A B第48頁/共133頁第四十九頁，共133頁。50 性質(zhì)性質(zhì)(xng

13、zh): A 與與 A 等價等價(dngji);AB，B C，AC初初 若若A B，A B ABAB且且第49頁/共133頁第五十頁，共133頁。51A310215013244000076000000第50頁/共133頁第五十一頁，共133頁。52A100207013200000019000000第51頁/共133頁第五十二頁，共133頁。53,rE000r000EA即即第52頁/共133頁第五十三頁，共133頁。54,rr pnmm pns rs ps nEEEE000000第53頁/共133頁第五十四頁，共133頁。551 任一矩陣任一矩陣(j zhn)A都可經(jīng)初等行變換化成都可經(jīng)初等行變

14、換化成行階梯形行階梯形;2 任一矩陣任一矩陣A都可經(jīng)初等都可經(jīng)初等(chdng)行變換化行變換化成行最簡形成行最簡形;3 任一矩陣任一矩陣(j zhn)A都可經(jīng)初等變換化成都可經(jīng)初等變換化成標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形.A 行階梯形行階梯形行行行行A 行最簡形行最簡形A標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形初初rE000第54頁/共133頁第五十五頁，共133頁。56 3 2 3 4 5 93 1 0 2 1 50 1 3 2 6 106 4 6 8 12 243 2 3 4 5 90 1 3 2 4 40 0 0 0 2 60 0 0 0 0 01 0 -1 0 0 10/30 1 3 2 0 -80 0 0 0 1 30 0 0

15、0 0 01 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 0 0 0行行行行列列行階梯形行階梯形行最簡形行最簡形標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)(biozhn)形形E3 00 0=第55頁/共133頁第五十六頁，共133頁。57第56頁/共133頁第五十七頁，共133頁。58祝大家祝大家(dji)(dji)國慶節(jié)快國慶節(jié)快樂樂預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)(yx)2.4,2.5(yx)2.4,2.5第57頁/共133頁第五十八頁，共133頁。59設(shè)設(shè)A, B是三階是三階(sn ji)方陣，方陣，, A2.AABAE320( ) ;( );( );().ABCD112222AB （ ）. .由由

16、 AABAE32() A AB AE2 A AB AE2()32 AB2AABAE320第58頁/共133頁第五十九頁，共133頁。60AAAA AAAAAAA11第59頁/共133頁第六十頁，共133頁。61設(shè)設(shè)A是是n 階方陣階方陣(fn zhn)，*.nAA1*AA為為的伴隨矩陣的伴隨矩陣,試證試證:由由,AAA AA E下面分三種情況下面分三種情況(qngkung)討論討論:0,A(1)若若*.nAA1(2)若若0A且且,A0*,A0*0.nAA1顯然結(jié)論顯然結(jié)論(jiln)成立成立:nA AA有有第60頁/共133頁第六十一頁，共133頁。62(3)若若0,A而而,A0下面下面(xi

17、 mian)證明證明*0.nAA1反證反證(fnzhng):若若*0,A*() , A1*A()() 11AAAA A0() A10AAAA EA0*0.nAA1*.n1AA第61頁/共133頁第六十二頁，共133頁。63第62頁/共133頁第六十三頁，共133頁。64 劃去劃去A的某些行或列后剩下的元素，的某些行或列后剩下的元素， 按原順序構(gòu)成的矩陣稱為矩陣按原順序構(gòu)成的矩陣稱為矩陣A的的一一 個子矩陣個子矩陣. 第63頁/共133頁第六十四頁，共133頁。65A的的非零子式的最高階數(shù)非零子式的最高階數(shù)r記作記作: : r( (A) )= =r并規(guī)定并規(guī)定: : ( (0) )= =0.,

18、,A1472583690, 143253 3階子式只有一個階子式只有一個, ,且且 , ,所以所以0Alr(A)=rA中存在一個中存在一個(y )r階非零子式階非零子式,但但l 其中任意其中任意r+1階子式都等于零階子式都等于零. (A)=2. A的的: :第64頁/共133頁第六十五頁，共133頁。66若若 A A 是是m mn n 矩陣矩陣(j zhn)(j zhn)，則，則1. 1. 0 ( (A)min)minm,n 2. 2. ( (AT) = ) = ( (A) )3. 3. ( (kA)=)=0 k= =0( (A) ) k04. 4. ( (A1)( (A),(),(A1為為

19、A的子陣的子陣) ) 第65頁/共133頁第六十六頁，共133頁。67 求法求法: : 初初1.2.行階梯形矩陣行階梯形矩陣(j zhn)的秩的秩=非零行的個數(shù)非零行的個數(shù).第66頁/共133頁第六十七頁，共133頁。68n nnrn（）= AAE()m nmm n mrm 0（）（） ,AAE稱稱()nm nm nnrnEAA（）0,稱稱n方陣方陣(fn zhn)A可逆可逆0rnAA（ ）,稱稱為為第67頁/共133頁第六十八頁，共133頁。6900ijab，111212122212nnnnnna ba ba ba ba ba bra ba ba bAA，（）,( )1rA111122()n

20、nnna ba ba bAA并求并求nA1212nnaabbbaA可求可求第68頁/共133頁第六十九頁，共133頁。70*n nrrrnrAAAAAA，（ ），（），（ ），（） ？ ？ 4 42100*, , m nmnEABEBA m n為任意數(shù)為任意數(shù).第119頁/共133頁第一百二十頁，共133頁。121nnnnnnnn nnnn nxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyEx yx yx yx yx yx y1 11 211 11 212 12 222 12 221212111nnnnnnx yx yx yx yx yx yx yx yx y111212122212111第

21、120頁/共133頁第一百二十一頁，共133頁。122nnnxxEyyyx1212nnx yx yx y11221nnxxEyyyx12112nnx yx yx y 11221第121頁/共133頁第一百二十二頁，共133頁。123 設(shè)設(shè) （5 5）()()Arr Ar BB00( ), ( )r Ar r Br12,P P Q Q1212,rrEEP AQP BQ121122000000第122頁/共133頁第一百二十三頁，共133頁。124APQBrrEP AQEP BQ1211220000000000000000令令,PQPQPQ1122PQAPQB1122000000ArB( )( )

22、rrr Ar B12第123頁/共133頁第一百二十四頁，共133頁。125（6 6）()()ACrrArBB0 設(shè)設(shè) ( ), ( )r Ar r Br12則存在可逆陣則存在可逆陣 使使,P P Q Q1212,rrEEP AQP BQ121122000000令令,PQPQPQ1122第124頁/共133頁第一百二十五頁，共133頁。126=Er1 0 0 0 0 0 Er r2 2 00 0 0 0P1CQ2ACPQB0PQACPQB112200000P AQPCQP BQ1112220()()ACrrArBB0第125頁/共133頁第一百二十六頁，共133頁。127r11111 0 00

23、 0040 0 000 0 r Ar B 2( )( )Ar Ar BrB00()A Brr A BB0（7 7）()( )( )r A Br Ar B第126頁/共133頁第一百二十七頁，共133頁。128（8 8）r（A+B）r（A）+ +r（B）r( (A) )= =r( (A,0) )= = r（A,AB） r( (AB) )rr1 01 030 10 0 AA A Br Ar Brrr A BBB000()rr A B2 020 1（9 9）min,rABrAr B( )()BBr Brrr ABAB0第127頁/共133頁第一百二十八頁，共133頁。129r( (A) )+ +r( (B) )且且 AB = 0時，時，（1010）A為為 矩陣，矩陣，B為為 矩陣矩陣, ,則則()( )( )r ABr Ar Bn( )( )r Ar BnmnnpAABrrE B