線性代數(shù)--第3章學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁，共80頁。2第 三 章 矩 陣一、 數(shù)乘矩陣(j zhn)Definition 11 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算 數(shù) 與矩陣 A = (aij) 的乘積，簡稱數(shù)乘矩陣，規(guī)定(gudng)為111212122212)nnijmmmnaaaaaaAaaaa（A記作 求數(shù)與矩陣乘積的運(yùn)算稱為矩陣的數(shù)量乘積.Note : 的區(qū)別AA與 數(shù)量矩陣E第1頁/共80頁第二頁，共80頁。3第 三 章 矩 陣數(shù)乘矩陣滿足如下(rxi)性質(zhì)：(設(shè) A,B 為 矩陣， 為數(shù)）m n, （1）()()AA 20,AOOO111212122212( 1)nnijmmmnaaaaaaAaaaa （特別(tb

2、i)地 稱為(chn wi) A 的負(fù)矩陣. 記為 A . 二、 矩陣加法 設(shè)有兩個(gè) 矩陣 那么，矩陣 A 與B 的和記作 A+ B 規(guī)定為mn ijijAaBb、11111111nnmmmnmnababA Babab Definition 2必須同型 求兩個(gè)矩陣和的運(yùn)算稱為矩陣的加法.Note : 矩陣的加法歸結(jié)為元素的加法.第2頁/共80頁第三頁，共80頁。41 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算矩陣(j zhn)加法滿足如下性質(zhì)：（1） A + B = B + A ；（2）A + (B + C) = (A + B) + C（3） A + 0 = 0 + A = A ( 0為與 A 同型的零矩陣(j

3、 zhn) )顯然有 A + (-A) = 0. 矩陣的減法定義為 A - B = A + (-B)（4）()AAA（5）()ABAB矩陣的加法與數(shù)乘矩陣，統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算第3頁/共80頁第四頁，共80頁。51 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算三 、 矩陣(j zhn)乘法 矩陣乘法的定義是從研究 n 維向量的線性變換的需要而規(guī)定的一種獨(dú)特的乘法運(yùn)算. 矩陣運(yùn)算中所具有的特殊的規(guī)律，主要(zhyo)產(chǎn)生于矩陣的乘法運(yùn)算.Definition 3 設(shè) 是一個(gè) 矩陣，是一個(gè) 矩陣，那么規(guī)定矩陣 A 與矩陣 B 的乘積是一個(gè) 矩陣 ，其中 ()ijAam s()ijBbsn()ijCcm n1 1221

4、sijijijissjikkjkca ba ba ba b(1;1)im jn記為CABNote : （1）AB 中 A 的列數(shù)等于 B 的行數(shù)；（2）矩陣 C = AB 的行數(shù)是 A 的行數(shù)，列數(shù)為 B 的列數(shù)，cij 是 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的對(duì)應(yīng)元素乘積的和第4頁/共80頁第五頁，共80頁。6第 三 章 矩 陣Example 1設(shè)有兩個(gè)(lin )線性變換111 112 2111 1122133221 122 2221 1222233331 132 2(3.1)(3.2)xb tb tya xa xa xxb tb tya xa xa xxb tb t 若想求出從 t1,

5、 t2 到 y1, y2 的線性變換，可將(3.2)代入(3.1) 即得111 11122113 31111 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322()()(3.3)()()ya ba ba bta ba ba btya ba ba bta ba ba bt11112131221222323xaaayxaaayx11112122122233132xbbtxbbtxbb用矩陣(j zhn)表示111211121311212221222322313211 11122113 3111 12122213 32121 11222123 3121 12222

6、223 322111 11122113 311()(bbaaaytbbaaaytbba ba ba ba ba ba bta ba ba ba ba ba btya ba ba bt11 12122213 322221 11222123 31121 12222223 322)()()a ba ba btya ba ba bta ba ba bt第5頁/共80頁第六頁，共80頁。71 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算11 11221121 1222221 122(1).nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa12

7、nxxxx12mbbbb(1) 可簡記(jin j)為Axb第6頁/共80頁第七頁，共80頁。8第 三 章 矩 陣Example 23 4101211300514A 設(shè) ， 求 AB.4 203123112BSolution :AB 是一個(gè) 階矩陣.3 203101212113031051412AB 該例 BA 沒有(mi yu)意義第7頁/共80頁第八頁，共80頁。91 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算Example 3設(shè) 求 AB、BA.42057621ABSolution :4205761021AB( )42057621BA雖然 AB、BA 有意義(yy)，但不同型，當(dāng)然不相等4 4020282

8、4010141201014120576第8頁/共80頁第九頁，共80頁。10第 三 章 矩 陣Example 4設(shè)111120111102ABCSolution :111100111100BA 111122111122AB 即使同型，也未必(wib)相等Note : （1）矩陣乘法不滿足交換律，一般 ； ABBA（2） ；000ABAor B（3） 即消去律不成立.ABACBC求 AB、BA、AC .112022110222AC 該例得到(d do)什么結(jié)論？第9頁/共80頁第十頁，共80頁。111 矩陣(j zhn)的基本運(yùn)算矩陣(j zhn)乘法滿足如下性質(zhì)：（假設(shè)以下(yxi)性質(zhì)中的運(yùn)

9、算均可行）（1） 結(jié)合律 (AB)C = A(BC) ;Proof （2）分配律 A(B+C) = AB+AC (B+C)A = BA+CA ;（3）數(shù)乘結(jié)合律()()()k ABkA BA kB(k 是數(shù))對(duì)于單位矩陣 E 容易驗(yàn)證：mm nm nm nnm nE AAAEA，簡寫成 EA = AE = A()()()()E AEAAAEAEA數(shù)量矩陣與矩陣的乘積等于數(shù)與矩陣的乘積 如果方陣 A 與 B 的乘積滿足交換律，即 AB = BA則稱 A 與 B 是可交換的.Go on 第10頁/共80頁第十一頁，共80頁。12第 三 章 矩 陣矩陣(j zhn)乘法性質(zhì)（1）的證明Proof :

10、設(shè)(),(),()ijm nijn pijp sAaBbCc 則 AB 是 矩陣，(AB)C 是 矩陣，BC 是 矩陣，A(BC) 是 矩陣，所以,(AB)C與A(BC)是同型矩陣. mpm snsm s,(1;1)i jimjs對(duì)111()()()()pppnnikkjillkkjillkkjijkklklAB CABca bca b c 11111()()()()ppnnnillkkjillkkjilljijlklkla b cab caBCA BC 故 (AB)C = A(BC)第11頁/共80頁第十二頁，共80頁。131 矩陣(j zhn)的基本運(yùn)算方陣(fn zhn)的冪的定義：11

11、kkAAAAA即 就是 k 個(gè) A 連乘.kA由矩陣(j zhn)乘法滿足結(jié)合律，有()klk lklklAAAAA( k 為正整數(shù)) ( k、l 為正整數(shù)) 又由矩陣乘法不滿足交換律，一般有()kkkABA B（左邊 右邊 ）ABABABAABBBExample 5設(shè) A = , 求 A2，A10，A11.12221222111101110( )( ).mmmmmmmmf xa xaxa xamAnf Aa AaAa Aa EnA設(shè)為 次多項(xiàng)式，為 階方陣，則仍為 階方陣，稱為 的矩陣多項(xiàng)式第12頁/共80頁第十三頁，共80頁。14第 三 章 矩 陣Solution :23122122900

12、2122120909221221009AE102 55555333()(9)9()9AAEEE55102 55535900900()0900909009009orAAE對(duì)角(du jio)陣的性質(zhì)111055399AAAE AA第13頁/共80頁第十四頁，共80頁。151224244824484881625 25AB 設(shè) 求 12122424AB ，)ABAB3，(12122424AB =1212242524BA )()()ABA BA BA B3(4455AB122424482448488161 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算第14頁/共80頁第十五頁，共80頁。16第 三 章 矩 陣四、 矩陣(

13、j zhn)的轉(zhuǎn)置Definition 4 把 矩陣 的行與列互換，所得到的 矩陣 稱為矩陣 A 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 AT .（Transpose）m nijm nAan mjin maijn mb即 AT = 其中(1;1)ijjibain jm矩陣的轉(zhuǎn)置(zhun zh)也是一種運(yùn)算，有如下性質(zhì)：（1） (AT)T = A;（2） ( A + B )T = AT+ BT（3） ( A )T= AT（4） ( AB )T = BTATProof 1221()TTTTttA AAAA A(4) 可推廣(tugung)Go on第15頁/共80頁第十六頁，共80頁。171 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算

14、( AB )T = BTAT 的證明(zhngmng)Proof :設(shè) ()()ijm lijl nAaBb，記()()TTijm nijn mABcB Ad，則 AB 是 矩陣,m nn m(AB)T 是 矩陣. 又BT 是 矩陣，AT 是 矩陣,n llm則 BTAT 是 矩陣.即(AB)T 與BTAT是同型矩陣. n m則 (AB)T 的（i，j）元素(yun s)是1ljijkkikca b而 BTAT 的（i，j）元素是1lijkijkkdb aijjidc所以，( AB )T = BTAT 第16頁/共80頁第十七頁，共80頁。18第 三 章 矩 陣 Example 9設(shè)21011

15、2113421AB，求 .TABSolution :210112113921421AB921TAB也可以(ky)121411122031TTAB 214191121203121TTTABB A 第17頁/共80頁第十八頁，共80頁。191 矩陣(j zhn)的基本運(yùn)算Example 10 設(shè) B 是一個(gè) 矩陣，證明 BTB，BBT 都是對(duì)稱陣.m nDefinition 5 設(shè) 為 n 階方陣，如果滿足 AT = A，即 則稱 A 為對(duì)稱陣. ()ijn nAa(1 )ijjiaaijn， 如果滿足 AT = -A，即 則稱 A 為反對(duì)稱陣. (1 )ijjiaaijn ， 顯然，對(duì)稱陣的元素

16、以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等,對(duì)反對(duì)稱陣有0 (1 )iiainProof :()TTTTTTTB BnnB BBBB B是方陣，且（）TB B是對(duì)稱陣.同理可證 BBT 是對(duì)稱(duchn)陣.第18頁/共80頁第十九頁，共80頁。20第 三 章 矩 陣五、 方陣(fn zhn)的行列式Definition 6 由 n 階方陣 A 的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣 A 的行列式，記作 或 .detAANote : 只是對(duì) n 2 個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表，加上了運(yùn)算符，成為一個(gè)(y )數(shù)（行列式）. (相當(dāng)于 n 2 元函數(shù) ) 由 A 確定 的運(yùn)算滿足：(A、B 等是 n 階方陣,

17、是數(shù)）A（1）TAA（2）nAA（3）ABA B1212kkA AAA AAkkAAProof特別(tbi)地Note :1+A BAB、；ABBAABBA ABn2、，但（ 、 為階方陣）第19頁/共80頁第二十頁，共80頁。211 矩陣的基本(jbn)運(yùn)算Proof :設(shè)()()()ijijijAaBbABCc，記 2n 階行列式111111110011nnnnnnnnaaaaADbbEBbb由第一章例 ,DA B1nijikkjkca b而在 D 中以 b1j 乘第1列，b2j乘第2列,bnj乘第n 列，都加到第n+j 列上(1 )jn有,0ACDE再對(duì) D 的行作(1 )jnjrrjn

18、有0( 1),nEDAC ( 1)( 1) ( 1)nnnDE CCCABABA B 第20頁/共80頁第二十一頁，共80頁。22第 三 章 矩 陣 Example 11設(shè) ， 計(jì)算abcdbadcAcdabdcba2.AA，Solution :TabcdbadcAcdabdcba由于TAA2TTAA AAA222222222222 422222222000000()000000abcdabcdabcdabcdabcd22222422222()()AabcdaAabcd 項(xiàng)的系數(shù)為正，第21頁/共80頁第二十二頁，共80頁。23第 三 章 矩 陣 0a 111a aaa1a()EAAEA11A

19、AA AE 在矩陣的運(yùn)算中,已定義了加、減、乘，而數(shù)還有除法，即乘法的逆運(yùn)算。對(duì)數(shù)a 有 則稱 為a 的倒數(shù)，或a 的逆。 在矩陣的乘法中，單位矩陣 E 的作用相當(dāng)于數(shù)的乘法中的 1， 是否存在一個(gè)矩陣 A-1 使得在ax= b中x=a -1b在Ax= b中x=A-1b一、 逆矩陣(j zhn)的概念2 逆矩陣(j zhn)第22頁/共80頁第二十三頁，共80頁。242 逆矩陣(j zhn)Definition 7 行列式 的各元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的方陣 稱為方陣A的AijA112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA伴隨矩陣(j zhn)（adjoint matrix）,簡稱伴

20、隨陣.注意(zh y)排列對(duì)于 有結(jié)論:AA AAAA EProof :設(shè) ()ijAa記()ijAAb則11220ijijijininAijba Aa Aa Aij000000AAAAA EAA AA E類似可證第23頁/共80頁第二十四頁，共80頁。25第 三 章 矩 陣Definition 8 設(shè)A 是 n 階方陣(fn zhn)，若存在 n 階方陣(fn zhn) B 使得 AB = BA = E則稱矩陣(j zhn)A 是可逆的，B 稱為A 的逆矩陣(j zhn). 記作 A-1 即 A-1= B1A 由定義可知，A、B 的地位是平等(pngdng)的，所以，也可稱 B 是可逆的，A

21、 是B 的逆陣。逆陣的唯一性設(shè) B、C 都是 A 的逆陣，則B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C第24頁/共80頁第二十五頁，共80頁。262 逆矩陣(j zhn)二、 矩陣(j zhn)可逆的條件 Theorem 1 矩陣 A 可逆的充分必要條件是 ,且如果 A 為可逆陣，則有0A 11AAA給出求A-1的方法(fngf)Proof :若 A 為可逆，則 AA-1 = E兩邊取行列式 得110A AEA若0A 由 可知A AAAA E11AAAAEAA所以，A 可逆.且11AAA當(dāng) 時(shí)，稱 A 為奇異的、退化的、降秩的；否則，稱 A 為非奇異的、非退化的、滿秩的.

22、0A 第25頁/共80頁第二十六頁，共80頁。27第 三 章 矩 陣Example 12求矩陣 的逆矩陣.321111101ASolution :20,AA可逆111213101AAA ，212223222AAA ，313233121AAA ，1121110222121AAANote : 求逆矩陣易出錯(cuò)，但可驗(yàn)證1AAE1()?A A AAAA E132111()1112101AAA 2213A3-2-12A224013A 13-21-124A2003A1102103A第26頁/共80頁第二十七頁，共80頁。282 逆矩陣(j zhn)Corollary 如果(rgu) AB = E (或 B

23、A = E )，則 A、B 皆可逆，且 A、B 互為逆陣.Proof :由 AB = E 1AB00AB，故所以(suy)，由 Th 1知，A、B 皆可逆.于是 AB = E A-1AB = A-1E B = A-1 AB = E ABB-1 = EB-1 A = B-1兩式只需成立一式A AAAA E100,AAAAA且第27頁/共80頁第二十八頁，共80頁。29第 三 章 矩 陣Example 13設(shè)方陣(fn zhn) A 滿足 A2 3 A 10 E = 0證明 A、(A 4 E) 都可逆，并求它們(t men)的逆矩陣.Proof :由 A2 3 A 10 E = 0 A (A 3E

24、) = 10 E即A-3是沒有(mi yu)意義的1310AAEE由 Co 知 A 可逆且11310AAE再由 A2 3 A 10 E = 0 (A+ E)(A 4E) = 6 E即146AEAEE故（A 4E）可逆且11(4 )6AEAECo 的應(yīng)用：1、證矩陣可逆；2、求矩陣的逆.第28頁/共80頁第二十九頁，共80頁。302 逆矩陣(j zhn)設(shè)線性方程組11 11221121 1222221 122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb記為 Ax = b如果0A ，則 A 可逆.于是(ysh)A-1(Ax) = A-1bx = A-1b11

25、1AAxA bAA 這正是 Cramer 法則(fz)給出的公式，被稱為Cramer 法則(fz)的矩陣形式.112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA第29頁/共80頁第三十頁，共80頁。31第 三 章 矩 陣12153102211212112Example 14531112b 已知矩陣方程 Ax = b 的系數(shù)矩陣 A 由Ex. 12 給出，求矩陣(j zhn)方程的解.Solution :已知 A 可逆， 112110222121A1112121223132xxxxxA bxx32201112第30頁/共80頁第三十一頁，共80頁。322 逆矩陣(j zhn)三、 可逆矩陣

26、(j zhn)的性質(zhì) 設(shè)矩陣(j zhn) A，B 為 n 階可逆矩陣(j zhn)，則有以下性質(zhì)：（1）A-1也可逆. 且 (A-1) -1 =A ;（2）數(shù) k 0 , 則 kA 可逆，且 ；111()kAAk（3）AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T ;（4）AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1;（5）11AAProof Proof Proof 該性質(zhì)可推廣到多個(gè)可逆陣的乘積11111221()mmA AAAA A與矩陣乘積的轉(zhuǎn)置有類似的結(jié)構(gòu)Go on當(dāng)0A 可定義 A0 = E，A- k=(A-1)kkN第31頁/共80頁第三十二頁，共80頁。33第 三 章 矩

27、 陣（3）AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T 的證明(zhngmng)Proof :11()()TTTTAAA AEE由 Co 知AT 可逆，且 (AT) -1 = (A-1)T Go back證 A-1=B即證 AB=E第32頁/共80頁第三十三頁，共80頁。342 逆矩陣(j zhn)（4）AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1 的證明(zhngmng)Proof :111111()()()AB B AA BBAAEAAAE由 Co 知AB 可逆，且 (AB) -1 = B-1A-1Go back第33頁/共80頁第三十四頁，共80頁。35（5） 的證明11AAPr

28、oof :111AAEA A111AAA因此(ync)Go back第 三 章 矩 陣第34頁/共80頁第三十五頁，共80頁。36Note 1、 A、B 可逆，A+B 未必可逆；即使 A+B 可逆，一般 111()ABAB如：顯然(xinrn)，A、B、C 可逆，但2000AB不可逆.101010010104ABC2003AC可逆， 但111()ACAC1102()103AC 11001AA110104C2、若 A 可逆 ，則 AB = AC B = C2 逆矩陣(j zhn)111() =ABAB？第35頁/共80頁第三十六頁，共80頁。37Example 15Solution :設(shè) A 為

29、三階(sn ji)矩陣, 且 , 求 .12A 1*32AAA AAAA E方法(fngf)一123A 1*32AA16.27 1*32AA8127A 1*32AA16.27 *123AAA*43A 1*123AA123A 1*32AA3123A 1132AA A則方法(fngf)二則*43A 3243A 3*43A 第 三 章 矩 陣第36頁/共80頁第三十七頁，共80頁。38第 三 章 矩 陣 在處理較高階的矩陣時(shí)，常把一個(gè)大矩陣看成是由若干個(gè)小矩陣組合而成. 這些小矩陣可稱為原矩陣的子塊或子陣，用子陣表示矩陣的方法稱為矩陣的分塊表示，這使原矩陣顯得(xin de)結(jié)構(gòu)簡單而清晰，能簡化運(yùn)

30、算. 這不僅是線性代數(shù)中的一個(gè)較為有效的方法，也是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)重要思想.3 分塊矩陣(j zhn)一、 分塊矩陣(j zhn)的定義Definition 9 一個(gè) 矩陣 A 被縱線和橫線分成若干個(gè)低階矩陣，每個(gè)低階矩陣稱為矩陣A的子塊，以所生成的子塊為元素的矩陣稱為矩陣 A 的分塊矩陣.m n第37頁/共80頁第三十八頁，共80頁。393 分塊矩陣(j zhn)如：1000010012101101A1000010012101101A111213212223AAAAAA1110A 120010A1300A 2111A 222110A2301A 2120EAENote :1、縱、橫線必須(bx)

31、劃到底；2、分塊的方式很多，根據(jù)矩陣結(jié)構(gòu)和需要(xyo)確定.11211A第38頁/共80頁第三十九頁，共80頁。40第 三 章 矩 陣二、 分塊矩陣(j zhn)的運(yùn)算分塊矩陣有與矩陣類似的運(yùn)算(yn sun)規(guī)則1、加法(jif)和數(shù)乘運(yùn)算 設(shè) A、B 是兩個(gè) 矩陣，用同樣的方法分塊，得 即 是同型矩陣， mn()()ijs tijs tAABB、ijijAB與則()()ijijs tijs tABABkAkA2、乘法 設(shè) A 為 矩陣，B 為 矩陣，如果 A 分塊為 分塊矩陣 ，B 分塊為 分塊矩陣 且 A 的列的分塊法與 B 的行的分塊法完全相同。則m llns t()ijs tAtr

32、()ijt rB1211121111211212222122221212ttrtrsssttttrtjjjAAABBBjAAABBBjABAAABBBj 列列列行行行1()(1 ,1 )tijs rijikkjkCCCA Bis jr第39頁/共80頁第四十頁，共80頁。413 分塊矩陣(j zhn) Example 16設(shè)10000320100100013001121001000011010010002000100100AB、計(jì)算(j sun) AB .Solution :B的行分法與A 的列分法一致(yzh);列可任意分.12133 23200130BEBBE則22 3121333 200

33、EBEABAEE 1131 21002403 20110 104401302000 1641ABE22 31131201120EAAAE3201013001240124401164120AB 故121131BEABEA第40頁/共80頁第四十一頁，共80頁。42第 三 章 矩 陣3、轉(zhuǎn)置(zhun zh)設(shè)111212122212ttssstAAAAAAAAAA則112111222212TTTsTTTTsTTTttstAAAAAAAAAA4、求逆 設(shè) A 為 n 階方陣，如果 A 的分塊矩陣只有(zhyu)在主對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都是零矩陣，且非零子塊都是方陣，即Definition

34、1012tAAAA其中 分別是 階方陣,(1 )iA itir則稱 A 為分塊對(duì)角陣或準(zhǔn)對(duì)角陣1tiirn12tAdiag AAA記作第41頁/共80頁第四十二頁，共80頁。433 分塊矩陣(j zhn)11AAA12tAA AA0 (1 )iAitA 可逆的充分必要條件是 且111121tAAAA如：1200490000310021A19200410000110023A11211222AAAAA112200BB111249B-21111119214 1BB11B第42頁/共80頁第四十三頁，共80頁。44第 三 章 矩 陣Example 17設(shè)0BACDB、D 皆為可逆矩陣(j zhn)，證

35、明 A 可逆，并求 A-1.Proof :因此(ync)， A 可逆.AB D，而 B、D 皆為可逆矩陣(j zhn)，即 ，00BD0A設(shè)1XYAZT其中，X 與 B ，T 與 D 分別是同階方陣.這是求逆的一個(gè)方法于是0BXYCDZTBXBYCXDZCYDT00kmEE得kBXE0BY 0CXDZ1DZCXCB 1,XB100YB11ZD CB mCYDTEmDTE1TD111110BAD CBD第43頁/共80頁第四十四頁，共80頁。453 分塊矩陣(j zhn)如：2100011000121000301030001A將 A 分塊為0BACD其中(qzhng)2111B3DE可逆1111

36、2B13DE111001213110100336120013033D CB 1111111000120000131003601033001BAD CBD第44頁/共80頁第四十五頁，共80頁。46第 三 章 矩 陣4 矩陣(j zhn)的初等變換一、矩陣(j zhn)的初等變換與矩陣(j zhn)的等價(jià)Definition 11 下面三種變換稱為矩陣的初等列變換：（1）交換 A 的第 i 列和第 j 列的位置 ；（2）用非零常數(shù) k 乘以 A 的第 i 列各元素；（3）將 A 的第 i 列各元素的 k 倍加到第 j 列對(duì)應(yīng)元素.分別記為： 、 、 .ijccickjickc列 column矩陣

37、的初等行（列）變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換第45頁/共80頁第四十六頁，共80頁。474 矩陣(j zhn)的初等變換Definition 12 若矩陣 A 經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣 B ，則稱矩陣 A 與 矩陣 B 等價(jià)，記作 .AB可用于分類;AA1、反身性：ABBA，2、對(duì)稱性：若 則 ；3、傳遞性：若 ，且 ，則 . ABBCAC任一 mn 非零矩陣 A=(aij) 必可通過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形 .Go onGo on初等變換會(huì)改變矩陣的可逆性嗎？第46頁/共80頁第四十七頁，共80頁。48第 三 章 矩 陣12111211214112140115124622400013369790000

38、0rBB 1210104011030001300000rBB 方程組是否(sh fu)有解由此判斷由此求解方程組231010410000011030100000001300100000000000000rCEBB 稱為矩陣B 的(等價(jià))r = ?矩陣的秩Go back第47頁/共80頁第四十八頁，共80頁。494 矩陣(j zhn)的初等變換二、初等矩陣1()ijijrrcc或者11011( ,)11011iE ijj第 行第 行0k 11( ( )11E i kki第 行0k ()ijjirkrckc或11( ( )11kiE ij k 第 行第j行1( , )( , )E i jE i j

39、11( ( )( ( )E i kE ik1( ( )( ()E ij kE ijk第48頁/共80頁第四十九頁，共80頁。50第 三 章 矩 陣對(duì) 矩陣 A ,施行一次初等行變換,相當(dāng)于在 A 的左邊乘以相應(yīng)的 m 階初等矩陣;對(duì) A 施行一次初等列變換,相當(dāng)于在 A 的右邊乘以相應(yīng)的 n 階初等矩陣.mn001123789010456 = 456100789123123001321456010 = 654789100987Corollary 1m n 設(shè) A、B 為 矩陣，則 A 與 B 等價(jià)的充要條件是存在 m 階可逆矩陣 P 和 n 階可逆矩陣 Q，使得 B = PAQ .Proof

40、第49頁/共80頁第五十頁，共80頁。4 矩陣(j zhn)的初等變換Corollary 1 的證明(zhngmng)Proof :A 與 B 等價(jià)(dngji) A 經(jīng)過有限次初等變換（不妨設(shè)為 s 次行變換、t 次列變換）變成 B ；定義存在 m 階初等矩陣 Pi (i = 1 s ), n 階初等矩陣 Qj ( j = 1 t)，使得 P1P2Ps A Q1Q2Qt = BTh 3存在 m 階可逆矩陣 P , n 階可逆矩陣 Q ，使得 PAQ = B 其中 P = P1P2Ps 、Q = Q1Q2Qt .可逆矩陣性質(zhì)（4）第50頁/共80頁第五十一頁，共80頁。52第 三 章 矩 陣C

41、orollary 2n 階方陣(fn zhn) A 可逆的充分必要條件是存在(cnzi) n 階初等矩陣 P1，P2,，Ps，Q1，Q2，Qt使得(sh de)2112stnPP PAQQQEProof Corollary 3矩陣 A 可逆的充分必要條件是 A 可表示成有限個(gè)初等矩陣的乘積 .充分性顯然，必要性可由 Co 2 的證明過程得.1111111221sntAP PP E QQ Q1 21111121sssrAPPPEP PP P AEAE Corollary 4可逆矩陣 A 僅施行初等行變換（或列變換）即可化為單位矩陣.Go on第51頁/共80頁第五十二頁，共80頁。534 矩陣(

42、j zhn)的初等變換Corollary 2 的證明(zhngmng)Proof : 由 Co 1的證明(zhngmng)與Th 2 知，存在 n 階初等矩陣11,stPP QQ11000rstEPPAQQ 使得,rn110000rstEPPAQQ若 則將上式兩邊取行列式，有顯然，上式左邊不等于零，矛盾 . 所以，r = n .2112stnPP PAQQQE由531111111221sntAP PP E QQ Q則所以，A 可逆111111111111122112211sntsntAP PP E QQ QPPPEQQQ、2、可逆矩陣的乘積仍是可逆矩陣初等變換不會(huì)改變矩陣的可逆性.第52頁/共

43、80頁第五十三頁，共80頁。第 三 章 矩 陣三、求逆矩陣(j zhn)的初等行變換法21,sQQ Q AE121,sAQQ Q12,sQ QQ2nn,A E1,A EE A 初等行變換1212121,.,(,.,.,),sssQQ QA EQQ Q AQQ QE A1AEEA 初等列變換第53頁/共80頁第五十四頁，共80頁。4 矩陣(j zhn)的初等變換Example 18 用初等(chdng)行變換求矩陣 的 逆矩陣.123215133ASolution:21312rrrr 123100215010133001,A E 12310003121001010123323rrrr 12310

44、00101 0 10015 13313( 1)3rrr 1201439010101001513122rr 1 0 012370 1 01010 0 151311237101513ANote: 1、只能(zh nn)作行變換；2、可通過 A-1A = E 驗(yàn)證 .第54頁/共80頁第五十五頁，共80頁。第 三 章 矩 陣對(duì)矩陣(j zhn)方程 AX=B，如果 A 是可逆矩陣(j zhn)，則有唯一(wi y)解：1XA B1,A BE A B 初等行變換21311122 ,2013225AB,A B 2131112220132251221312rrrrrr 122200313105005322

45、3253rrrrr 1222001001001321232 2r rr 100420100100132所以，A 可逆，且 是方程的唯一解 .1420132XA B第55頁/共80頁第五十六頁，共80頁。第 三 章 矩 陣 給定一個(gè)(y )方程組由 m 個(gè)方程組成，但本質(zhì)有幾個(gè)方程呢？121212231231462xxxxxx12121212423123146232xxxxxxxx方程組有解嗎？5 矩陣(j zhn)的秩矩陣(j zhn)的秩是矩陣(j zhn)的一個(gè)重要的數(shù)字特征 .它反映了矩陣的內(nèi)在特征，在線性代數(shù)的理論上占有非常重要的地位 . 它是討論矩陣的可逆性、向量的線性表示與線性相關(guān)

46、、線性方程組解的理論等問題的主要依據(jù)，起著無可比擬的作用.Definition 14一、矩陣秩的定義 在 矩陣 A 中，任取 k 行和 k 列 (k m, k n)，位于這些行列交叉處的 k2 個(gè)元素按原有順序構(gòu)成的一個(gè) k 階行列式，稱為矩陣 A 的一個(gè) k 階子式. m n281787543019351365如 ：mn 矩陣 A 的 k 階子式共有 .kkmnCC第56頁/共80頁第五十七頁，共80頁。5 矩陣(j zhn)的秩Definition 15 Am n1、由行列式性質(zhì)(xngzh)，定義中說 r+1 階子式全為零，則所 有大于 r+1 階子式（如果有）也全為零，所以稱 D 為矩

47、陣 A 的最高階非零子式.第57頁/共80頁第五十八頁，共80頁。第 三 章 矩 陣k ( )R Ak( )R Ak( )R Akdet0( )AR An 稱 R(A) = n 的 n 階方陣(fn zhn) A 為滿秩矩陣；否則，稱 為降秩矩陣.( )R An、A為 n 階方陣，則第58頁/共80頁第五十九頁，共80頁。5 矩陣(j zhn)的秩Example 20 求矩陣 A= 的秩 .124124823620Solution：12:0( )224noteR A不能8240( )220R A 在矩陣 A 中共有4個(gè)三階子式，因 A 的第一、第二行對(duì)應(yīng)成比例(bl)，而任一三階子式必包含第一

48、、二行 所以，所有三階子式都為零. 從而 R(A) = 2 .5、R ( AT ) = R ( A ) ；6、 其中 為常數(shù) .00()( )0RAR A第59頁/共80頁第六十頁，共80頁。第 三 章 矩 陣考察(koch)下面兩個(gè)矩陣的秩21112112144622436979B1112140115120001300000B對(duì) B 可經(jīng)復(fù)雜(fz)的計(jì)算，得 R(B)=3而對(duì) B1 非常容易11101510001 R(B)=3即非零行數(shù) 初等變換猜想(cixing)：矩陣經(jīng)初等變換秩不變?nèi)绻孪氤闪?，則化矩陣為階梯形來求秩是方便的B1是階梯形矩陣第60頁/共80頁第六十一頁，共80頁。5

49、矩陣(j zhn)的秩二、矩陣(j zhn)秩的計(jì)算Theorem 4初等變換不改變(gibin)矩陣的秩 .Proof :先證 A 經(jīng)一次初等行變換變?yōu)锽 ，則( )( )R AR B設(shè) R(A) = r，且 A的某個(gè)r 階子式0D ijirrrkABAB 當(dāng) 或 時(shí)，在 B 中總能找到與D 相對(duì)應(yīng)的子式 ，由于 或 或DkD =D DDD D0( ).DR Br因此， 從而這是因?yàn)?A 經(jīng)一次初等行變換變?yōu)?B ，則B 也可經(jīng)一次初等行變換變?yōu)?A，所以從而既然每一次初等行變換秩不變，則有限次也不變( )( )R BR A( )( )R BR AijrkrAB 當(dāng) 時(shí)，分三種情形討論：第6

50、1頁/共80頁第六十二頁，共80頁。第 三 章 矩 陣( )R Br(1) D 中不含 ri ；(2) D 中同時(shí)(tngsh)含 ri 、rj ；(3) D 中含 ri ，但不含 rj .對(duì) (1)、(2) 情形(qng xing)，顯然 B 中與 D 對(duì)應(yīng)的子式1ijijDrkrrk rDkD對(duì)情形(qng xing) (3)0D D =100( )DD DR Br=；如果 ，則 有10D ( )R Br如果 ，則因 D1 中不含 ri 知，A 中有不含 ri 的 r 階非零子式，由情形 (1) 第62頁/共80頁第六十三頁，共80頁。5 矩陣(j zhn)的秩 綜上,證明了若 A 經(jīng)一次

51、初等行變換變?yōu)?B ,則 , 即可知 A 經(jīng)有限次初等行變換變?yōu)?B ,也成立.( )( )R AR B 由于 B 也可經(jīng)有限次初等行變換變?yōu)?A,故也有 . 因此,( )( )R BR A,( )( )ABR AR B 有限次初等行變換則 類似(li s)可證,( )( )ABR AR B 有限次初等列變換則Corollary 2 矩陣 A 的標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)形是唯一的.總之，若 A 經(jīng)有限次初等變換變?yōu)?B，則 R(A) = R(B) .Corollary 1121121000rssttEPPP PAQQQ Q等矩陣 P1，P2，Ps 與 n 階初等矩陣 Q1，Q2，Qt，使得m nA

52、設(shè) 是秩為 r 矩陣，則存在 m 階初第63頁/共80頁第六十四頁，共80頁。第 三 章 矩 陣Example 21 求矩陣(j zhn) A= 的秩，并求一個(gè)最高階非零子式 .11012121360112401111Solution：1101201124011240111111012121360112401111A21rr 3242rrrr 1101201124000000003334rr 11012011240003300000( )3R A3345340ACC的 階子式共有要有規(guī)律(gul)123450124AA記，說明(shumng)A0中有3階非零子式11112330011 即為所求

53、111012003000A0 的行階梯形矩陣為第64頁/共80頁第六十五頁，共80頁。5 矩陣(j zhn)的秩Example 22 設(shè) 求矩陣 A 及矩陣 B= ( A，b ) 的秩 .12211248022423336064Ab ，Solution ：( , )( , )rBA bBA b 若 是行階梯形矩陣,A則 是 A 的行階梯形矩陣 .B 12211248022423336064213141223rrrrrr 12211004200021500631122110021000005000012324223rrrrr 3435rr r 12211002100000100000因此(ync

54、)，R(A) = 2，R(B) = 3 .A、B作為方程組的系數(shù)、增廣(zn un)矩陣，則無解R(A)與R(B)的關(guān)系第65頁/共80頁第六十六頁，共80頁。第 三 章 矩 陣23Solution ：32r r132131rrrrrr 1111112110110 11設(shè) A = .111111試問 為何值時(shí)，R(A) = 1，R(A) = 2，R(A) = 3 .方法一 利用初等(chdng)行變換將 A 化為行階梯形A = 1101100(2)(1)討論(toln)： 1101100(2)(1)10(2)(1)0 121、要使 R(A) = 3，則 即 且111000000112、當(dāng) 時(shí)，

55、把 代入以上矩陣，得 A112033000223、當(dāng) 時(shí)，把 代入以上矩陣, 得 A則 R(A) = 1;則 R(A) = 2 .第66頁/共80頁第六十七頁，共80頁。5 矩陣(j zhn)的秩方法(fngf)二0D D =211112121033112000A111111111000 ,111000A2(1) (2)A所以(suy)012A 1、當(dāng) ，即 且 時(shí)，R(A) = 3;112、當(dāng) 時(shí)，把 代入矩陣 A ，得則 R(A) = 1；22 3、當(dāng) 時(shí)，把 代入矩陣 A ，得， 則 R(A) = 2 .因?yàn)榈?7頁/共80頁第六十八頁，共80頁。第 三 章 矩 陣三、矩陣(j zhn)

56、秩的性質(zhì)Property 1 若 ，則R(A) = R(B)，即等價(jià)矩陣有相同的秩 .ABmax( ), ( )( )( ).R A R BR A BR AR B但反之(fnzh)不然 .Property 2Property 3什么條件(tiojin)成立？ 設(shè) A 為 mn 矩陣，P 為 m 階可逆矩陣，Q 為 n 階可逆矩陣，則 R(PAQ) = R(PA) = R(AQ) = R(A) .設(shè) A 為 ms 矩陣，B 為 mt 矩陣，則( )( )1R AR AR A特別地， , 其中 為 m1 矩陣 .第68頁/共80頁第六十九頁，共80頁。5 矩陣(j zhn)的秩Property 4

57、Property 5 設(shè) A，B 均為 mn 矩陣，則()( )( ).R ABR AA B()min( ), ( ) .R ABR A R B設(shè) A 為 ms 矩陣(j zhn)，B 為 sn 矩陣(j zhn)，則Property 6設(shè) A 為 ms 矩陣(j zhn)，B 為 sn 矩陣(j zhn)，且( )( )R AR BsAB = 0，則Property 7*( )()1( )10( )1nR AnR AR AnR An若若若設(shè) A 為 n (n2) 階矩陣，則第69頁/共80頁第七十頁，共80頁。第 三 章 矩 陣24設(shè) A 為 n 階矩陣(j zhn)，滿足 A2 3A 4E

58、 = 0證明(zhngmng)：R(A + E) + R(A 4E) = n .Proof :R(A + E) + R(A 4E)= R(A + E) + R(4E A) R(A + E) + (4E A)= R(5E)= R(E) = n .即 R(A + E) + R(A 4E) n .又 (A + E)(A 4E) = A2 3A 4E = 0即 R(A + E) + R(A 4E) n .綜上，得 R(A + E) + R(A 4E) = n .Prop 4: 設(shè) A，B 均為 mn 矩陣(j zhn)，則()( )( ).R ABR AA BProp 6: 設(shè) A 為 ms 矩陣，B

59、 為 sn 矩陣，且AB = 0，則( )( )R AR Bs第70頁/共80頁第七十一頁，共80頁。第 三 章 矩 陣6 線性方程組解的理論(lln)11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb 含有(hn yu) m 個(gè)方程，n 個(gè)未知量的線性方程組的一般形式為可簡記(jin j)為1(1,2,.,)nijjija xbim1212,() ,TTijnmm nAaxxxxbbbb記 A ，B = (A，b) 分別為線性方程組的系數(shù)矩陣、增廣矩陣 .其矩陣形式為 Ax = b (2)如果 b0，則稱 (2)為非齊次線性方程組；如果 b = 0 ，則稱(2)為齊次線性方程組 .第71頁/共80頁第七十二頁，共80頁。6 線性方程