同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式知識講解

1、精品文檔同角三角函數(shù)基本關(guān)系【學(xué)習(xí)目標】1. 借助單位圓，理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin 2cos21, sintan，掌握已知一個cos角的三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的方法；2會運用同角三角函數(shù)之間的關(guān)系求三角函數(shù)值、化簡三角式或證明三角恒等式?！疽c梳理】要點一：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系： sin 2cos21(2)商數(shù)關(guān)系： sintancos(3)倒數(shù)關(guān)系： tancot1， sin csc1 ， cos sec 1要點詮釋：(1) 這里“同角”有兩層含義，一是“角相同”，二是對“任意”一個角 ( 使得函數(shù)有意義的前提下 ) 關(guān)系式都成立；(2) sin 2是 (s

2、in) 2 的簡寫；(3) 在應(yīng)用平方關(guān)系時，常用到平方根，算術(shù)平方根和絕對值的概念，應(yīng)注意“”的選取。要點二：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的變形1平方關(guān)系式的變形：sin 21 cos2，cos21sin 2， 1 2sincos(sincos )22商數(shù)關(guān)系式的變形sincos tan ，cossin。tan【典型例題】類型一：已知某個三角函數(shù)值求其余的三角函數(shù)值例 1已知 tan= 2，求 sin， cos的值。【思路點撥】先利用 "tansin2" , 求出 sin=2cos，然后結(jié)合22sin+cos =1，求cos出 sin ， cos 。【解析】解法一： tan=

3、2， sin = 2cos。又 sin 2+cos2=1，由消去 sin得 ( 2cos) 2+cos 2=1，即 cos21。5當 為第二象限角時，cos525，代入得 sin。55。精品文檔當為第四象限角時，cos525，代入得 sin。55解法二： tan= 2 0，為第二或第四象限角。又由 tansin，平方得 tan2sin 2。coscos22sin21，即21。tan1cos21cos2cos1tan2當為第二象限角時，cos112112)25 。tan(5sintancos( 2)525 。55當為第四象限角時，cos1115 。1 tan2( 2)25sintancos( 2

4、)525。55【總結(jié)升華】解答此類題目的關(guān)鍵在于充分借助已知角的三角函數(shù)值，縮小角的范圍。在解答過程中如果角所在象限已知，則另兩個三角函數(shù)值結(jié)果唯一；若角所在象限不確定，則應(yīng)分類討論，有兩種結(jié)果，需特別注意：若已知三角函數(shù)值以字母a 給出，應(yīng)就所在象限討論。舉一反三：【變式 1】已知 A 是 ABC 的一個內(nèi)角，且tan A5，求 sin A,cos A.4【思路點撥】根據(jù)tan A 0可得 A 的范圍：2A再結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系式求解.5【解析】tan A0,A 為鈍角，sin A0, cos A0.4由 tan Asin A , 平方整理得 cos2 A11,cos A14 41,cos

5、 Atan2 A1 tan2 A41sin Atan Acos A541.41例 2已知 cos=m（ 1 m1），求 sin的值?！窘馕觥浚?1）當 m=0時，角的終邊在 y 軸上，當角的終邊在 y 軸的正半軸上時，sin=1；當角的終邊在 y 軸的負半軸上時， sin= 1。（ 2）當 m=± 1 時，角的終邊在 x 軸上，此時， sin=0。（ 3）當 |m| 1 且 m 0 時， sin222=1 cos =1 m，當角為第一象限角或第二象限角時， sin1 m2 ，。精品文檔當角為第三象限角或第四象限角時，sin1 m2 ?！究偨Y(jié)升華】 當角的范圍不確定時，要對角的范圍進行

6、討論，切記不要遺漏終邊落在坐標軸上的情況。類型二：利用同角關(guān)系求值例 3已知： tancot2, 求：（ 1） sincos的值；（ 2） sincos的值；（ 3） sincos的值；（4） sin及 cos的值【思路點撥】同角三角函數(shù)基本關(guān)系是反映了各種三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，為三角函數(shù)式的恒等變形提供了工具與方法?！敬鸢浮浚?） 1 （ 2）2 （ 3）0（4）2,2 或2 ,222222【解析】（1）由已知 sincos2cossinsin 2cos22sincossin cos12（ 2）sincos22sincos1121sincos2（ 3）sincos22sincos1101s

7、incos0sin2sin2（ 4）由 sincos2 ，解得22或sincos0cos2cos222【總結(jié)升華】 本題給出了 sincos,sincos及 sincos 三者之間的關(guān)系， 三者知一求二， 在求解的過程中關(guān)鍵是利用了sin2cos21這個隱含條件。舉一反三：【變式 1】已知 sincos1，求下列各式的值：2（ 1） tan21；（ 2） sin3+cos3。tan2【解析】因為 sincos1，2121 ，所以 (sincos ) 222。精品文檔所以 sincos1。422（ 1） tan21tan12sin 2cos22tan2tansincos221214sin2cos

8、2116（ 2） sin 3cos3(sincos )(sin 2sincoscos2)11152 。248【總結(jié)升華】對于已知sin± cos=m 型的問題，常有兩種解法：一是兩邊平方，得±2，cos的值，從而使問題得以解決；二是對所求式子2sin cos =m1，聯(lián)立以上兩個式子解出 sin進行變形，化為sin± cos，sin· cos的形式代入求解，解題時注意正、負號的討論與確定。例 4已知 tan=3，求下列各式的值。（ 1） 4sincos；（ 2） sin 22sincoscos2；（ 3） 3 sin21 cos2。3sin5cos4co

9、s 23sin 242【思路點撥】由已知可以求出sin,cos，進而代入得解，但過程繁瑣。在關(guān)于sin,cos“齊次”式中可以使用“弦化切” ，轉(zhuǎn)化成關(guān)于tan的式子，然后利用已知求解 .【解析】（ 1）原式的分子分母同除以cos（ cos 0）得，原式4 tan143111 。3tan533514（ 2）原式的分子分母同除以cos 2（ cos2 0）得，原式tan22 tan192312。4 3tan 2433223（ 3）用“ 1”來代換，3 sin21 cos23 tan2139129 。原式4242412sin2cos2tan21940【總結(jié)升華】已知 tan的值，求關(guān)于sin、 c

10、os的齊次式的值問題如（1）、（ 2）題，cos 0，所以可用cos n（ n N*）除之，將被求式轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表示式，可整體代入tan =m的值，從而完成被求式的求值；在（3）題中，求形如 a sin2+b sincos+c cos2的值，注意將分母的 1 化為 1=sin 2+cos2代入，轉(zhuǎn)化為關(guān)于tan的表達式后再求值。舉一反三：【變式1】（ 1）已知 tan=3，求 sin 2 3sincos+1 的值；（ 2）已知 4sin2cos6 ，求 cos4sin 4的值。5cos3sin11【解析】（ 1） tan=3， 1=sin 2+cos2，原式sin23sincos(sin

11、 2cos2)2sin 23sincoscos22 tan23tan11 。sin 2cos21tan 2。精品文檔（ 2）由 4sin2cos6 ，得 4 tan26 ，解得： tan25cos3sin115 3tan11 cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin 2 )cos2sin2cos2sin 21tan2143 。cos2sin 21tan2145類型三：利用同角關(guān)系化簡三角函數(shù)式例 5化簡： 1cos4sin 4。1cos6sin 6【解析】解法一：原式(cos2sin 2)cos4sin 4(cos2sin2)3cos6sin62cos 2sin223cos 2si

12、n 2(cos2sin2)。3解法二：原式1(cos4sin4)1(cos6sin6)1(cos 2sin 2)2cos 2sin21(cos2sin2)(cos 4cos2sin2sin 4)1 12cos 2sin 22cos 2sin 22。1(cos2sin 2) 23cos 2sin23cos2sin23解法三：原式(1 cos2)(1 cos2)sin 4(1cos2)(1cos2cos4)sin 6sin 2(1cos2sin 2)sin 2 (1cos2cos4sin 4)2cos 21cos2(cos 2sin 2)(cos 2sin 2)2cos 22cos 22。1cos

13、2cos2sin23cos 23【總結(jié)升華】以上三種解法雖然思路不同，但是主要都是應(yīng)用公式sin 2+cos2=1，解法二和解法三都是順用公式，而解法一則是逆用公式，三種解法中，解法一最為簡單。這里，所謂逆用公式sin 2+cos2=1，實質(zhì)上就是“ 1”的一種三角代換： “ 1=sin2+cos2”，1 的三角代換在三角函數(shù)式的恒等變形過程中有著廣泛的應(yīng)用。舉一反三：【變式 1】化簡。精品文檔（ 1） 1 2sincos,2k,2 k k Z ；sincos2（ 2） 1 sin 22 1cos2 2 ；（ 3）cos1cos2；1sin 2sin（4） 1sin1sin1sin1sin【答

14、案】（1） 1（2） cos2sin 2 （ 3）略（ 4）略【解析】（1）原式 =(sincos) 2| sincos |1sincossincos（ 2）原式 =cos2 2sin2 2| cos2| sin 2|cos2sin 2cos| sin|0,(在第一象限或第三象限)（ 3）原式 =|2，（在第二象限）| cossin2，（ 在第四象限）1sin21sin2（ 4）原式 =1sin21sin2=1 sin1sin| cos| cos|2 tan (2 k22k2)， kz=32 tan(2 k2k2)2類型四：利用同角關(guān)系證明三角恒等式例 6求證： tansintansin。ta

15、nsintansin【思路點撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式對式子的左邊或右邊進行化簡，使之與式子的另一邊相同?！窘馕觥孔C法一：右邊(tansin)(tansin)tan 2sin 2tansin(tansin)(tansin) tansintan2tan2cos2tan2(1 cos2)(tansin) tansin(tansin) tansintan2sin 2tansin=左邊。(tansin) tansintansin證法二：左邊tansinsin，tantancos1cos右邊tantancos1cos1 cos2sin 2sin，tansinsinsin(1cos)sin(1 cos)

16、1cos。精品文檔所以左邊 =右邊，原等式成立。sinsinsin21 cos21 cos ，證法三：左邊cossincossinsinsinsin(1 cos )sincossinsinsinsincos1 cos右邊 cos，sinsinsin 2sincos所以左邊 =右邊，原等式成立?！究偨Y(jié)升華】 本題主要考查三角恒等式的證明方法。就一般情況而言，證明三角恒等式時，可以從左邊推到右邊，也可以從右邊推到左邊，本著化繁就簡的原則，即從較繁的一邊推向較簡的一邊；還可以將左、右兩邊同時推向一個中間結(jié)果；有時候改證其等價命題更為方便。但是，不管采取哪一種方式，證明時都要“盯住目標，據(jù)果變形” 。

17、化簡證明過程中常用的技巧有：弦切互化，運用分式的基本性質(zhì)變形，分解因式，回歸定義等。舉一反三：【變式1】求證：1cos x1sin x .sin xcos x【解析】證法一：由題意知cosx 0 ，所以1sin x 0,1sin x 0 .左邊 =cos x(1sin x)cos x(1sin x)1sin x右邊 .sin x)(1 sin x)cos2 xcos x(1原式成立 .證法二：由題意知cosx0，所以 1sin x0,1sin x0.又 (1 sin x)(1sin x)1sin2 xcos2 xcos x cos x ，cos x1sin x .1sin xcos x證法三：由題意知cosx0，所以 1sin x0,1sin x0 .cos x1 sin xcosx cosx(1 sinx)(1sinx)cos2 x1 sin2 x，1 sin xcos x(1sinx)cosx0(1 s