高二理科數學《3..2立體幾何中的向量方法（四）——求二面角》

1、3.2立體幾何中的向量方法（四）求二面角復習舊知1. 二面角、二面角的平面角的有關概念二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面組成的空間圖形.二面角的平面角：在二面角的棱l上任取一點O，以O的垂足，在半平面a和b內分別作垂直于棱l 的射線OA和OB，則射線OA和OB構成的角AOB叫做二面角的平面角 特別地，平面角是直角的二面角叫直二面角注意：二面角的大小是通過其平面角的大小來度量；二面角的取值范圍是0, p.2.平面的法向量如果表示向量 的有向線段所在直線垂直于平面a則稱這個向量垂直于平面，記作 a；如果a，那么向量叫做平面的法向量注意：給定一點A和一個向量 ，那么過點A，以向量為法向量的平面是完全

2、確定的;法向量一定是非零向量；一個平面的所有法向量都相互平行；向量是平面的法向量，向量 是與平面平行或在平面內，則有3.用空間向量解決立體幾何問題的“三步曲” 建立立體圖形與空間向量的聯系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉化為向量問題； 通過向量運算，研究點、直線、平面之間的位置關系以及它們之間距離和夾角等問題；把向量的運算結果“翻譯”成相應的幾何意義探究1：方法提煉：求二面角大小的向量方法. 法向量法：將二面角轉化為二面角的兩個面的法向量的夾角 探究2：方法提煉：求二面角大小的向量方法.方向向量法：將二面角轉化為二面角的兩個面的方向向量 (在二面角的面內且垂直 于二

3、面角的棱)的夾角.【點評】若圖中存在（或易找到）三條互相垂直的直線，通過建系，利用法向量求二面角比較方便.例2. 如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處，從A、B到直線l (庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，AB的長為d，求庫底與水壩所成二面角的余弦值.【點評】若二面角的二個面內都有(或易作)棱的垂線, 常用方向向量法求解.課堂練習1. 如圖，在二面角a-AB-b內，線段AC、BD分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于AB.已知AB4，AC6，BD8，求此二面角的大小.2. 如圖，在四棱錐 S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側棱SA底面ABCD，且SAABBC1，AD0.5.(1)求證：平面SAB平面ABCD；(2)求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值.3. 正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中點，當AB1BC1時，求二面角D-BC1-C的余弦值.課堂小結1.二面角的有關概念；2.二面角的向量求法： 法一：法向量法，法二：方向向量法.注意：(1)用法向量法求二面角時，注意結合圖形確定二面角是鈍二面角還有銳二面角（或利用“同進同出，二面角等于法向量的夾角的補角，一進一出，二面角等于法向量的夾角”）(2) 用方向向量法求二面角時，應先在二面角的二個半平面內分別