2-1導數(shù)的概念ppt課件

1、第二章 一元函數(shù)微分學及其應用第一節(jié) 導數(shù)的概念作業(yè)作業(yè) 習題習題2.1(A)2.1(A)1(4),2(3)(4),7,8,9,11,16,171(4),2(3)(4),7,8,9,11,16,17(B)1,2,3(B)1,2,31導數(shù)與微分第二章微積分學的創(chuàng)始人微積分學的創(chuàng)始人: 德國數(shù)學家德國數(shù)學家 Leibniz 微分學微分學導數(shù)導數(shù)描述函數(shù)變化快慢描述函數(shù)變化快慢微分微分描述函數(shù)變化程度描述函數(shù)變化程度都是描述物質(zhì)運動的工具都是描述物質(zhì)運動的工具 (從微觀上研究函數(shù)從微觀上研究函數(shù))一元函數(shù)微分學及其應用導數(shù)思想最早由法導數(shù)思想最早由法國數(shù)學家國數(shù)學家 Ferma 在在研究極值問題中提

2、研究極值問題中提出出.英國數(shù)學家英國數(shù)學家 Newton2導數(shù)與微分一、引例一、引例二、導數(shù)的定義二、導數(shù)的定義三、導數(shù)的幾何意義三、導數(shù)的幾何意義四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系四、函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關(guān)系第一節(jié)第一節(jié)導數(shù)的概念導數(shù)的概念 五、導數(shù)在其它學科中的含義五、導數(shù)在其它學科中的含義3導數(shù)與微分一、 引例1. 變速直線運動的瞬時速度變速直線運動的瞬時速度設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為設(shè)描述質(zhì)點運動位置的函數(shù)為)(tfs 0t則則 到到 的平均速度為的平均速度為0tt v)()(0tftf 0tt 而在而在 時刻的瞬時速度為時刻的瞬時速度為0t lim0ttv )()(0tftf 0tt

3、221tgs so)(0tf)(tft自由落體運動自由落體運動機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4導數(shù)與微分 T0 xxoxy)(xfy CNM).,(),(00yxNyxM設(shè)設(shè)的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 曲線曲線)(:xfyC 在在 M 點處的切線點處的切線割線割線 M N 的極限位置的極限位置 M T)(時時當當MN 2. 平面曲線切線平面曲線切線的的斜率斜率5導數(shù)與微分兩個問題的共性:瞬時速度瞬時速度 lim

4、0ttv )()(0tftf 0tt 切線斜率切線斜率 lim0 xxk )()(0 xfxf 0 xx 所求量為函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限所求量為函數(shù)改變量與自變量改變量之比的極限 .類似問題還有類似問題還有:加速度加速度角速度角速度線密度線密度電流強度電流強度是速度改變量與時間改變量之比的極限是速度改變量與時間改變量之比的極限是轉(zhuǎn)角改變量與時間改變量之比的極限是轉(zhuǎn)角改變量與時間改變量之比的極限是質(zhì)量改變量與長度改變量之比的極限是質(zhì)量改變量與長度改變量之比的極限是電量改變量與時間改變量之比的極限是電量改變量與時間改變量之比的極限變化率問題變化率問題機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束

5、6導數(shù)與微分二、導數(shù)的定義定義定義1.1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點在點0 x0limxx 00)()(xxxfxf xyx 0lim存在存在,)(xf并稱此極限為并稱此極限為)(xfy 記作記作:;0 xxy ;)(0 xf ;dd0 xxxy 0d)(dxxxxf 即即0 xxy )(0 xf xyx 0limxxfxxfx )()(lim000hxfhxfh)()(lim000 則稱函數(shù)則稱函數(shù)若若的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義 , 在點在點0 x處可導處可導, 在點在點0 x的導數(shù)的導數(shù). xxfxxfx )()(lim0007導數(shù)與微分例例1 1.0,0, 00,1sin)(2處

6、的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解xxxx01sinlim20 xxx1sinlim0 0)0()(lim0 xfxfx0)0(,0)( fxxf且且處可導處可導在在0 可導，可導，在在設(shè)設(shè)0 xfhhxfhxfh)3()2(lim000 求求極極限限) 3(3)()3(22)()2(lim00000 hxfhxfhxfhxfh)(50 xf 例例2 28導數(shù)與微分例例3 3.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(l

7、im. 1 .0)(點不可導點不可導在在函數(shù)函數(shù) xxfy不不存存在在，hfhfh)0()0(lim0 9導數(shù)與微分2.右導數(shù)右導數(shù):單側(cè)導數(shù)單側(cè)導數(shù)1.左導數(shù)左導數(shù):;)()(lim)()(lim000000 xxfxxfxxxfxfxxx ;)()(lim)()(lim000000 xxfxxfxxxfxfxxx 定理定理左導數(shù)左導數(shù))(0 xf 和右導數(shù)和右導數(shù))(0 xf 都存在且相等都存在且相等. )(0 xf )(0 xf一般地，分段函數(shù)分段點處的可導性要利用左右導數(shù)來判定。一般地，分段函數(shù)分段點處的可導性要利用左右導數(shù)來判定。10導數(shù)與微分若若)(xf在在開開區(qū)區(qū)間間 ba,內(nèi)內(nèi)

8、可可導導，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就說說)(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間 ba,上上可可導導. . 0limxx00)()(xxxfxf xyx 0lim若上述極限不存在若上述極限不存在 ,在點在點 不可導不可導. 0 x若若,lim0 xyx也稱也稱)(xf在在0 x若函數(shù)在開區(qū)間若函數(shù)在開區(qū)間 I 內(nèi)每點都可導內(nèi)每點都可導,此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù)此時導數(shù)值構(gòu)成的新函數(shù)稱為導函數(shù).記作記作:;y ;)(xf ;ddxy.d)(dxxf就說函數(shù)就說函數(shù)就稱函數(shù)在就稱函數(shù)在 I 內(nèi)可導內(nèi)可導. 的導數(shù)為無窮大的導數(shù)為無窮大 .)(0 xf 0)(xxxf 11導數(shù)與微分例例

9、5 5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 44cos)(sin xxxx.22 例例4 4.)()(的導數(shù)的導數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即.sin)(cosxx . 0)( C12導數(shù)與微分例例6 6.)(的的導導數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhx

10、nnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 13導數(shù)與微分例例7 7.)1, 0()(的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx .)(xxee 例例8 8.)1, 0(log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa axln1axxaln1)(l

11、og14導數(shù)與微分oxy)(xfy T0 xM1、幾何意義、幾何意義)(,tan)(,)(,()()(0000為傾角為傾角即即切線的斜率切線的斜率處的處的在點在點表示曲線表示曲線 xfxfxMxfyxf切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 三、導數(shù)的幾何意義、物理意義15導數(shù)與微分2.物理意義物理意義非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.變速直線運動變速直線運動: :路程對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度路程對時間的導數(shù)為物體的瞬時速度.lim)(0dtdststvt 交流電路交流電路: :電量對時間的導數(shù)為電流強度電量對

12、時間的導數(shù)為電流強度.lim)(0dtdqtqtit 非均勻的物體非均勻的物體: :質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導數(shù)為物體的線的導數(shù)為物體的線(面面,體體)密度密度.16導數(shù)與微分四、可導與連續(xù)的關(guān)系定理定理1.11.1證證,)(0可可導導在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)0(0 x.)(0連連續(xù)續(xù)在在點點函函數(shù)數(shù)xxf)0(0 x ,)(0可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)xxf.0處處一一定定連連續(xù)續(xù)則則它它在在 x注意注意: : 該定理的逆定理不成立，即連續(xù)不一定可導。該定理的逆定理不成立，即連續(xù)不一定可導。處處在在例

13、例如如0)( xxxf17導數(shù)與微分五、導數(shù)在其它學科中的含義變化率,)()(limlim)(00000 xxfxxfxyxfxx 平均變化率平均變化率,)()(00 xxfxxfxy 變化率變化率例例1: 直流電路中，電量直流電路中，電量q= q(t) 對對t 的變化率為的變化率為)(tq 它表示它表示t 時刻的電流強度時刻的電流強度18導數(shù)與微分例2：設(shè)N=N(t)表示某生物種群在t時刻個體的數(shù)目,)()(lim)(0000ttfttNtNt 則則例例: 經(jīng)濟學中的邊際成本經(jīng)濟學中的邊際成本設(shè)設(shè)p=p(x)它表示生產(chǎn)它表示生產(chǎn)x個某種產(chǎn)品的總成本個某種產(chǎn)品的總成本表示表示t時刻種群的增長率

14、時刻種群的增長率0t平均成本平均成本,)()(00 xxpxxpxp ,)()(limlim0000 xxpxxpxpxx 邊際成本邊際成本19導數(shù)與微分內(nèi)容小結(jié).sin)(cosxx . 0)( C.cos)(sinxx 1. 導數(shù)的實質(zhì)導數(shù)的實質(zhì):3. 導數(shù)的幾何意義導數(shù)的幾何意義:4. 可導必連續(xù)可導必連續(xù), 但連續(xù)不一定可導但連續(xù)不一定可導;5. 已學求導公式已學求導公式 :6. 判斷可導性判斷可導性不連續(xù)不連續(xù), 一定不可導一定不可導.直接用導數(shù)定義直接用導數(shù)定義;看左右導數(shù)是否存在且相等看左右導數(shù)是否存在且相等.axf )(02. axfxf )()(00改變量之比的極限改變量之比

15、的極限;切線的斜率切線的斜率;.ln)(aaaxx .)(xxee axxaln1)(log)(.)(1Rxx .1)(lnxx 20導數(shù)與微分思考與練習1. 已知已知,)0(,0)0(0kff 則則._)(lim0 xxfx0k2. 若若),( x時時, 恒有恒有,)(2xxf 問問)(xf是否在是否在0 x可導可導?解解:由題設(shè)由題設(shè) )0(f00)0()( xfxfx 0由夾逼準則由夾逼準則0)0()(lim0 xfxfx0 故故)(xf在在0 x可導可導, 且且0)0( f21導數(shù)與微分3. 設(shè) 0,0,sin)(xxaxxxf, 問問 a 取何值時取何值時,)(xf 在在),( 都存在都存在 , 并求出并求出.)(xf 解解: )0(f00sinlim0 xxx1 )0(f00lim0 xxaxa 故故1 a時時,1)0( f此時此時)(xf 在在),( 都存在都存在, )(xf0,cos xx0,1 x顯然該函數(shù)在顯然該函數(shù)在 x = 0 連續(xù)連續(xù) .22導數(shù)與微分解解: 因為因為4. 設(shè)設(shè))(xf 存在存在, 且且, 12)1()1(lim0 xxffx求求).1(f xxffx2)1()1(lim0 所以所以