歐式空間中線性變換和正交變換的關系(共5頁)

1、歐氏空間中線性變換和正交變換的關系摘要 對歐式空間中的線性變換與正交變換之間的關系進行討論關鍵詞：歐式空間 線性變換 正交變換線性變換和正交變換是歐氏空間的兩種重要變換。本文首先引入線性變換和正交變換在歐氏空間中的定義，然后討論兩者之間的關系。為了閱讀方便，本文從最基本的概念談起，即先定義線性空間、內積、歐氏空間、線性變換和正交變換。定義1 設不是空集，為一個數域，在中定義加法和數量乘法（簡稱數乘），若對，滿足：（1），（關于加法封閉）（2），（交換律）（3），（結合律）（4），（零元）（5），（負元）（6）（關于數乘封閉）（7）（8）（9）（10）則稱為數域上的線性空間。定義2 設是上的一個

2、線性空間，在上定義了一個二元實函數，稱為內積，記為，它具有以下性質（）：（1）（2）（3）（4），當且僅當時，。定義3 定義2中的線性空間就稱為歐幾里得空間，簡稱歐氏空間。定義4 設是一個線性空間，為一個數域，對于，有（1）（2）則稱為上的線性變換。 定義5 設是歐氏空間V的一個變換，如果對于任意的即保持內積不變，都有：。則稱是正交變換。 由上述定義可以得到如下命題：命題1 正交變換保持向量的長度不變。因為歐氏空間V的向量的長度是，所以就有。但是，歐氏空間中保持向量長度不變的變換不一定是一個正交變換。例如，在歐氏空間R2中，令向量在直角坐標系下的表示為，有。顯然A是R2的一個變換。且因為，?？?/p>

3、知A保持向量的長度不變。但A不是正交變換，因為對于任意的則有：，。二者未必相等。命題2 正交變換保持任意兩個向量的夾角不變。因為歐氏空間V的向量、的夾角的余弦可以表示為：，那么、的夾角的余弦是：，故。但是，歐氏空間中保持任意兩個向量夾角不變的變換不一定是一個正交變換。例如，設是歐氏空間的一個變換，對于任意的,有，其中。因為對于任意的、的夾角的余弦為：，所以變換保持了向量夾角。但是不是正交變換，因為對于任意的有：，這未必與相等。這樣就容易得到一個可以判定正交變換的命題：命題3 歐氏空間V的保持向量長度不變和任意兩個向量的夾角不變的變換是一個正交變換。下面我們首先討論歐氏空間的正交變換和線性變換的

4、關系。命題4 歐氏空間V的正交變換一定是一個線性變換。證明 任取，由于=故 即 同理可證 即 故是線性變換。命題5 歐氏空間V的保持向量長度不變的線性變換一定是一個正交變換。證明 任取，由于是保持向量長度不變的變換，即有,。又因為是一個線性變換，故有：,故 。所以一定是一個正交變換。例如，在歐氏空間R2中，關于橫軸的對稱變換是一個正交變換。設任意向量在坐標系下的表示為，A為關于橫軸的對稱變換，這樣就有：下面證明這是一個線性變換。因為：，所以 。又因為：，其中。所以 。故A為線性變換。顯然對稱變換A又是保持長度的，因此根據命題5，它是一個正交變換。同樣，我們常見的歐氏空間R2的旋轉變換也是一個正交變換。設任意向量在坐標系下的表示為，A為逆時針方向旋轉的變換，這樣就有：。顯然這是一個線性變換。因為： 所以 又因為：下面我們證明這個旋轉變換是一個保持長度的變換。因為：=所以，歐氏空間R2的旋轉變換是一個正交變換。命題6 歐氏空間V的保持任意兩個向量夾角不變的線性變換不一定是一個正交變換。前面我們舉的例子：是歐氏空間的一個變換，對于任意的,有，其中。說明了盡管保持了任意兩個向量夾角不變，但并不是一個正交變換。事實上，這個變換還是一個線性變換。因為：，參 考 文 獻1 張禾瑞，郝鈵新. 高等代數（第三版）M. 北京：高等教育出版