解排列組合應用題的策略

1、解排列組合應用題的策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應用題的解題策略.1. 相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當作一個大元素參與排列.例1. 五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A60種 B48種 C36種 D24種【答案】D【解析】把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當于4人的全排列，種. 【變式1】7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.【解析】可先將甲乙兩元素捆綁成整體

2、并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進行自排。由分步計數(shù)原理可得共有種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.【變式2】某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數(shù)為 20 【解析】沒命中的4槍有5個空，連續(xù)的命中的3槍捆綁到一起，和單獨命中的一槍插空，共有種方法.【解析2】用列舉法列舉出來1231231231231231232. 相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排

3、列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2. 七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A1440種 B3600種 C4820種 D4800種【解析】除甲乙外，其余5個排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個空位有種，不同的排法種數(shù)是種，選.【變式1】一個晚會的節(jié)目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場,則節(jié)目的出場順序有多少種？【解析】分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數(shù)原理,節(jié)目的不同順序共有 種【變式2】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又

4、增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為 30。【解析】3. 定序問題縮倍（空位插入）法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3. 五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A24種 B60種 C90種 D120種【解析】在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半，即種，選.【變式1】7人排隊，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法？【解析】(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之

5、間的全排列數(shù),則共有不同排法種數(shù)是： (空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。 思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎？ （插入法)先排甲乙丙三個人,共有種排法,再把其余4四人依次插入共有種方法，所以共有種排法.定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插空模型處理【變式2】10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？【答案】（10人中選5人，排到前排，選出來之后身高確定，因此位置確定，后排的5人位置也就確定了）4. 標號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素

6、，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4. 將數(shù)字1，2，3，4填入標號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標號與所填數(shù)字均不相同的填法有A6種 B9種 C11種 D23種【解析】先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3×3×1=9種填法，選.5. 有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5. 有甲乙丙三項任務，甲需2人承擔，乙丙各需一人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，不同的選法種數(shù)是A1260種 B2025種 C2

7、520種 D5040種【解析】先從10人中選出2人承擔甲項任務，再從剩下的8人中選1人承擔乙項任務，第三步從另外的7人中選1人承擔丙項任務，不同的選法共有種，選.【解析2】【變式1】12名同學分別到三個不同的路口進行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有 A種 B種 C種 D種【答案】A6. 全員分配問題分組法:例6. 4名優(yōu)秀學生全部保送到3所學校去，每所學校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？【解析】把四名學生分成3組有種方法，再把三組學生分配到三所學校有種，故共有種方法.說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.【變式1】5本不同的書，全部分給4個學生，

8、每個學生至少一本，不同的分法種數(shù)為 A480種 B240種 C120種 D96種【答案】B【解析】（5人分3組較難，后期有試題加入）7. 名額分配問題隔板法:例7. 10個三好學生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？【解析】10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應著一種分配方案，故共有不同的分配方案為種.將n個相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個元素,可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為8. 限制條件的分配問題分類法:例8

9、. 某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設，其中甲同學不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？【解析】因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：若甲乙都不參加，則有派遣方案種；若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，然后安排其余學生有方法，所以共有；若乙參加而甲不參加同理也有種；若甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有種，共有方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為種. 【分解】甲乙都不選甲乙都選，第一步（其他8人選2人）第二步甲去西寧：，甲不去西寧所以甲參加乙不參加乙參加甲不參加所以不同派遣方法總

10、數(shù)為1680+392+1008+1008=40889. 多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計.例9. 由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有 A210種 B300種 C464種 D600種【解析】按題意，個位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別有個，個，合并總計300個,選.【變式1】從1，2，3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？【解析】被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能被7整除，將這100個數(shù)組成的集

11、合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做共有14個元素,不能被7整除的數(shù)組成的集合記做共有86個元素；由此可知，從中任取2個元素的取法有，從中任取一個，又從中任取一個共有，兩種情形共符合要求的取法有種.【變式2】從1，2，3，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？【解析】將分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集；能被4除余1的數(shù)集，能被4除余2的數(shù)集，能被4除余3的數(shù)集，易見這四個集合中每一個有25個元素；從中任取兩個數(shù)符合要；從中各取一個數(shù)也符合要求；從中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有種.10. 定位問題優(yōu)先法：某個

12、或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例10. 1名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？【解析】老師在中間三個位置上選一個有種，4名同學在其余4個位置上有種方法；所以共有種。.11. 多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。例11. 6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是 A36種 B120種 C720種 D1440種【解析】前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共種，選C.【變式1】8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法【解析

13、】8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結(jié)為一排考慮,再分段研究. 【變式2】有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346 【解析】兩人都在后排：（空座位10人，11個空，兩人坐椅子插入空位）都在前排：都在左或者都在右一左一右：前后兩排：所以不同排法的種數(shù)是110+12+32+192=34612. 圓排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列

14、，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列個普通排列：在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故認為相同，個元素的圓排列數(shù)有種.因此可將某個元素固定展成單排，其它的元素全排列.例12. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?【解析】圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！ 一般地,n個不同元素作圓形排列,共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有【變式1】6顆顏色不同的鉆石，可穿成

15、幾種鉆石圈 【解析】【變式2】5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？【解析】首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位均可插入其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式種不同站法.說明：從個不同元素中取出個元素作圓形排列共有種不同排法.13. “至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:例13. 從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有A140種 B80種 C70種 D35種【解析1】逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有種,選. 【解析2】至少要甲型和乙

16、型電視機各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有臺,選.14. 選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14. 四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？【解析】先取四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有種.【變式1】9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進行混合雙打訓練，有多少種不同的分組方法？【解析】先取男女運動員各2名，有種，這四名運動員混和雙打練習有中排法，故共有種.15. 部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一

17、部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15. 以正方體的頂點為頂點的四面體共有A70種 B64種 C58種 D52種【解析】正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成四面體，但6個表面和6個對角面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有個.【變式1】四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有 A150種 B147種 C144種 D141種【解析】10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情況：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情況為，四個面共有個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不

18、共面的情況的種數(shù)是種.16. 可重復的排列求冪法:允許重復排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地個不同元素排在個不同位置的排列數(shù)有種方法.例16. 把6名實習生分配到7個車間實習共有多少種不同方法？【解析】完成此事共分6步，第一步；將第一名實習生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有種不同方案.【變式1】某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 42 【變式2】某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自

19、的一層下電梯,下電梯的方法17. 復雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例17. 馬路上有編號為1，2，3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？【解析】把此問題當作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.【說明】一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決【變式1】某排共有10個座位，若4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么

20、不同的坐法有多少種？（120）18. 元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例18. 設有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？【解析】從5個球中取出2個與盒子對號有種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應，利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為種.3號盒 4號盒 5號盒 對于條件

21、比較復雜的排列組合問題，不易用公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果19. 復雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例19. 30030能被多少個不同偶數(shù)整除？【解析】先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2×3×5×7×11×13；依題意偶因數(shù)2必取，3，5，7，11，13這5個因數(shù)中任取若干個組成成積，所有的偶因數(shù)為個.【變式1】正方體8個頂點可連成多少隊異面直線？【解析】因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個頂點可構(gòu)成多少個不同的四面體，從正方體8個頂點中任取四個頂點構(gòu)成的四面體有個，所以8個

22、頂點可連成的異面直線有3×58=174對.20. 利用對應思想轉(zhuǎn)化法:對應思想是教材中滲透的一種重要的解題方法，它可以將復雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處理.例20. 圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有多少個？【解析】因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點可以確定多少個不同的四邊形，顯然有個，所以圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有個.【變式1】某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從到的最短路徑有多少種？【解析】可將圖中矩形的一邊叫一小段，從到

23、最短路線必須走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要確定向東走過4段的走法，便能確定路徑，因此不同走法有種.【變式2】25人排成5×5方陣,現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？【解析】將這個問題退化成9人排成3×3方陣，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法這樣每行必有1人，從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3×3方隊中選3人的方法有種。再從5×5方陣選出3×3方陣便可解決問題.從5×5方隊中選取3行3列有選法所以從5

24、15;5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有選法。處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題21. 平均分組問題除法策略例21. 6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？【解析】分三步取書得種方法,但這里出現(xiàn)重復計數(shù)的現(xiàn)象,不妨記6本書為ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),則中還有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有種取法 ,而這些分法僅是(AB,CD,EF)一種分法,故共有種

25、分法。平均分成的組,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后要一定要除以(為均分的組數(shù))避免重復計數(shù)?！咀兪?】將13個球隊分成3組,一組5個隊,其它兩組4個隊, 有多少分法？（）【變式2】10名學生分成3組,其中一組4人, 另兩組3人但正副班長不能分在同一組,有多少種不同的分組方法 （1540）【變式3】某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn) 入4名學生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為_（）22. 合理分類與分步策略例22. 在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌，5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方法【解析】10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標準進行研究 只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種,只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員種,只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有種，由分類計數(shù)原理共有 種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標準明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標準一旦確定要貫穿于解題過程的始終。23. 數(shù)字排序問題查字典策略例23. 由0，1，2，3，4，