平面與圓錐面的截線

1、.平面與圓錐面的截線一、教學(xué)目標(biāo)：1. 知識與內(nèi)容：（1 ）通過觀察平面截圓錐面的情境，體會定理2（2 ）利用 Dandelin雙球證明定理 2 中情況（ 1）（3 ）通過探究，得出橢圓的準(zhǔn)線和離心率，加深對橢圓結(jié)構(gòu)的理解2. 過程與方法：利用現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)，動態(tài)地展現(xiàn)Dandelin兩球的方法，幫助學(xué)生利用幾何直觀進(jìn)行思維，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，重視直覺的培養(yǎng)和訓(xùn)練，直覺用于發(fā)現(xiàn)，邏輯用于證明。3. 情感態(tài)度價值觀：通過親歷發(fā)現(xiàn)的過程，提高對圖形認(rèn)識能力，重視合情推理和演繹推理的啟發(fā)、應(yīng)用和培養(yǎng)，讓學(xué)生辯證地觀察、分析問題。二、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：（1 ）定理 2 的證明（2 ）橢圓準(zhǔn)線和離

2、心率的探究難點(diǎn)：橢圓準(zhǔn)線和離心率的探究三、教學(xué)過程橢圓是生活中常見的圖形， 是圓錐曲線中重要的一種。 生成橢圓的方法有許多， 例如：可編輯.（ 1 ）圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓，如圖1；（ 2 ）橢圓的定義（ 3 ）平面內(nèi)到定點(diǎn)和定直線的距離之比等于常數(shù) (0<e<1) 的點(diǎn)的軌跡（ 4 ）一動點(diǎn)到兩個定點(diǎn)連線的斜率之積是一個負(fù)常數(shù)生成軌跡是橢圓；（ 5 ）圓柱形物體的斜截口是橢圓，如圖 2yPDOx圖 1如果用一平面去截一個正圓錐， 所得截口曲線是橢圓嗎？還有其他情況嗎？讓我們共A同來探究平面與圓錐面的截線。思考： 如圖 39 1 , AD是等腰三角形 ABC 底邊上的

3、高 ,lBAD直線與相交于點(diǎn)P,且與的夾角.lADAD為 (0).試探究 : 當(dāng) 與滿足什么關(guān)系 ?利P用幾何畫板實(shí)驗(yàn)探索 .21 l與 AB 或AB的延長線 、 AC都相交 ;2 l與不相交;CABB3 l與的延長線、都相交DBAAC圖391G如圖 39 2 ,可以有如下結(jié)論 :A1 當(dāng) l與 AB 或 AB的延長線 、 AC都相交時 ,設(shè) l與 AB(或 AB的延長線 )交于 E,與 AC交于 F .l因?yàn)?是 AEP 的外角 , 所以必然有;F反之 ,當(dāng)時,l 與 AB (或 AB的延長線 )、AC 都相交 .EP可編輯BCD.2當(dāng)與不相交時則l / / AB,這時有;lAB,反之當(dāng)時,

4、 l / / AB,那么l與不相交.,AB3 當(dāng)l與 BA的延長線、 AC都相交時 ,設(shè) l 與 BA的延長線交于 G,因?yàn)槭?APG的外角 ,所以;如果, 那么 l 與 BA的延長線、 AC都相交思考： 將圖 39中的等腰三角形拓廣為圓錐,直線拓廣為平面 , 則得到圖 310.如果用一平面去截一個正圓錐， 而且這個平面不通過圓錐的頂點(diǎn)， 會出現(xiàn)哪些情況呢？如果平面與一條母線平行(相當(dāng)于圖 39 2 中的), 那么（ 1）平面就只與正圓錐的一半相交 ,這時的交線是一條拋物線 ; 如果平面不與母線平行 , 那么會出現(xiàn)兩種情形 :（ 2）平面只與圓錐的一半相交 ,這時的交線為橢圓 ;（ 3）平面與

5、圓錐的兩部分都相交 , 這時的交線叫做雙曲線 .歸納提升：定理在空間中，取直線l 為軸，直線 l ' 與 l 相交于 O 點(diǎn)，其夾角為， l ' 圍繞 l 旋轉(zhuǎn)得到以O(shè) 為頂點(diǎn)，l' 為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸l 交角為（與 l 平行，記住 0 ），則：可編輯.（ 1 ），平面與圓錐的交線為橢圓；（ 2 ），平面與圓錐的交線為拋物線；（ 3 ），平面與圓錐的交線為雙曲線。思考 : 你能仿照定理 1的證明方法證明定理2 的結(jié)論 1 嗎 ?問題：利用 Dandelin雙球（這兩個球位于圓錐的內(nèi)部，一個位于平面的上方，一個位于平面的下方， 并且與平面 及圓錐均相切）

6、證明：，平面 與圓錐的交線為橢圓 .討論：點(diǎn) A 到點(diǎn) F 的距離與點(diǎn) A 到直線 m 的距離比小于 1）.證明 1 ：利用橢圓第一定義，證明FA+AE=BA+AC=定值，詳見課本 .證明 2 ：上面一個 Dandelin球與圓錐面的交線為一個圓，并與圓錐的底面平行， 記這個圓所在平面為 /；如果平面 與平面 /的交線為 m ，在圖中橢圓上任取一點(diǎn)A ，該 Dandelin球與平面 的切點(diǎn)為 F，則點(diǎn) A 到點(diǎn) F 的距離與點(diǎn) A 到直線 m 的距離比是（小于1）.（稱點(diǎn) F 為這個橢圓的焦點(diǎn)，直線m 為橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)為離心率e.）可編輯.點(diǎn)評：利用可以證明截線為拋物線，雙曲線的情況，以離心

7、率的范圍為準(zhǔn).探究 :如圖 3 12,1 找出橢圓的準(zhǔn)線 ;2 探討 P到焦點(diǎn) F1 的距離與到兩平面交線m的距離之比 .mSQ1ABF1P圖 312如圖 312, 上面一個 Dandelin 球與圓錐的交線為圓S,記圓 S，所在的平面為.設(shè) 與的交線為 m.在橢圓上任取一點(diǎn) P, 連接 PF1.在 中過 P作 m的垂線 , 垂足為 A.過 P作 的垂線 , 垂足為 B,連接 AB,則 AB是 PA在平面 上的射影 .容易證明 , m AB.故PAB是平面與平面 交成的二面角的平面角 .在Rt ABP中, APB,所以 PBPA cos .1設(shè)過 的母線與圓交于點(diǎn)Q1,則在Rt PQ1 B中,

8、PSQ1 PB,所以PBPQ1 cos .2由 12得PF1cos.因?yàn)?02, 故 coscos ,則 PF1cos1.PAcosPAcos可編輯.由上所述可知 , 橢圓的準(zhǔn)線為 m,橢圓上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之比為常數(shù) cos ,因此橢圓的離心率為 e cos ,coscos即橢圓的離心率等于截面和圓錐的軸的交角的余弦與圓錐的母線和軸所成角的余弦之比.討論：我們延用討論橢圓結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的思路,討論一下雙曲線的結(jié) 構(gòu)特點(diǎn) .Q1F1S1OS2Q2F2P圖313如圖 3 13,當(dāng)時, 平面與圓錐的兩部分相交在.圓錐的兩部分分別嵌入Dandelin球,與平面的兩個切點(diǎn)分別是 F1、 F2

9、 ,與圓錐兩部分截得的圓分別為S1、 S2 .在截口上任取一點(diǎn)P, 連接 PF1、 PF2 .過 P和圓錐的頂點(diǎn)O作母線 ,分別與兩個球切于Q1、 Q2 , 則PF1PQ1, PF2PQ2 .所以 | PF1PF2 | | PQ1PQ2 |Q1Q2 .由于 Q1Q2為兩圓 S1、S2所在平行平面之間的母線段長,因此 Q1Q2的長為定值 .可編輯.由上所述可知,雙曲線的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是:雙曲上任意一點(diǎn)到兩個定點(diǎn)即雙曲線的兩個焦點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù).拓展： 1. 請證明定理 2 中的結(jié)論（ 2 ）2. 探究雙曲線的準(zhǔn)線和離心率3. 探索定理中（ 3 ）的證明，體會當(dāng)無限接近時平面的極限結(jié)果四、自我

10、檢測練習(xí)1.平面截球面和圓柱面所產(chǎn)生的截線形狀是.分析：聯(lián)想立體幾何及上節(jié)所學(xué)，可得結(jié)論，要注意平面截圓柱面所得的截線的不同情況.答案：平面截球面所得的截線為圓；平面截圓柱面所得的截線為圓或橢圓；2.判斷橢圓、雙曲線、拋物線內(nèi)一點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離之比與1 的關(guān)系？分析：首先通過畫圖尋找規(guī)律，然后加以證明.答案：略 .五、課外研究材料材料 1. 閱讀，和你的同學(xué)一起探討文后的問題：運(yùn)動的天體受向心力和離心力的作用，天體運(yùn)行的速度不同， 它所獲得的合力也不同， 這樣就導(dǎo)致形成不同的運(yùn)行軌道，如人造衛(wèi)星發(fā)射的速度等于或大于7.9km/s （第一宇宙速度即環(huán)繞速度） 時，它就在空中沿圓或橢圓軌道

11、運(yùn)行；當(dāng)發(fā)射的速度等于或大于11.2 km/s （第二宇宙速度即脫離速度）時，物體可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運(yùn)動的人造行星或飛到其它行星上去；當(dāng)速度等于或大于16.7 km/s （第三宇宙速度即逃逸速度）時，物體將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的宇宙空間去。例如：人造衛(wèi)星、行星、慧星等由于可編輯.運(yùn)動的速度的不同，它們的軌道是圓、橢圓、拋物線或雙曲線。（1）從天體運(yùn)行的軌跡看，圓錐曲線也存在著統(tǒng)一，難道在冥冥宇宙中，有什么神奇的力量，使天體運(yùn)行也遵循著一種統(tǒng)一的規(guī)律嗎？（2）邀請你們的物理老師、地理老師，請他們上一節(jié)天體運(yùn)行課，更深入的理解圓錐曲線材料 2. 圓錐截線，是一個平面截

12、正圓錐面而得到的曲線設(shè)圓錐軸截面母線與軸的夾角為，截面和圓錐的軸的夾角為當(dāng)截面不過頂點(diǎn)時，（ 1 ）當(dāng)時，即截面和一條母線平行時，交線是拋物線；（ 2 ）當(dāng)時，即截面不和母線平行， 且只和圓錐面的一葉相交時， 交線是橢圓特2別地，當(dāng)，即截面和圓錐面的軸垂直時，交線是圓2（ 3 ）當(dāng) 0 時，即截面不與母線平行， 且和圓錐面的兩葉都相交時， 交線是雙曲線當(dāng)截面過頂點(diǎn)時，（ 1 ）當(dāng) 時，截面和圓錐面相切，交線退化為兩條重合直線（ 2 ）當(dāng) 時，截面和圓錐面只相交于頂點(diǎn)，交線退化為一個點(diǎn)2（ 3 ）當(dāng) 0 時，截面和圓錐面相交于兩條母線，交線退化為兩條相交直線前一類情況中， 拋物線、橢圓（包含圓）和雙