ZB(七章2講)全同粒子

1、光電信息學院 李小飛第第 七七章：自旋與全同粒子章：自旋與全同粒子第二講：第二講：全同粒子全同粒子引入： 前面我們主要研究的是單粒子和雙粒子體系問題，對于三體問題，我們采用微擾和變分的方法進行處理。 實際體系所含粒子數(shù)目眾多，一般應要采用統(tǒng)計物理的方法。本堂課主要目的讓大家了解多體量子體系的特點。下堂課開始學習統(tǒng)計物理為了使問題變得簡明，我們著重研究同類粒子構成的全同粒子體系 所有固有屬性都相同的粒子稱為一種全同粒子一.全同性原理例如： 所包含的粒子都是電子的體系，就是一種全同粒子體系1.全同粒子體系又如： 光場所包含的都是光子，也是一種全同粒子體系2不可區(qū)分性 經(jīng)典力學中，全同粒子體系中的粒

2、子雖然固有屬性完全相同，仍可通過位置和運動軌跡等加以區(qū)分。 軌道軌道速度速度位置位置 1212微觀粒子，具有波粒二象波粒二象性，沒有確定的運動軌道，在波函數(shù)重迭區(qū)域的兩全同粒子無法區(qū)分。 例如：在電子雙縫衍射實驗中，形成干涉條紋的電子，你無法判別是從通哪條縫過來的微觀粒子運微觀粒子運動動服從服從量子力學量子力學用用波函數(shù)描寫波函數(shù)描寫在波函數(shù)重疊在波函數(shù)重疊區(qū)區(qū)粒子粒子是不可區(qū)分的是不可區(qū)分的3全同性原理由于全同粒子的不可區(qū)分性，在全同粒子所組成的多粒子系統(tǒng)中，任意選取兩個粒子進行交換（位置等），應不引起系統(tǒng)狀態(tài)的改變。稱為全同性原理 全同性原理是量子力學中的基本原理之一，不能推導，只能用實驗

3、驗證。因此，態(tài)函數(shù)的概率分布不變： 2211()()ijNjiNqqqqtqqqqt 二全同粒子波函數(shù)的特性設體系由N個全同粒子組成以 表示第i個粒子的坐標和自旋iq),(iiisrq ( , )iU q t表示第i個粒子在外場中的勢能),(jiqqW表示第i個粒子和第j個粒子的相互作用能哈密頓量：2121( , , )( , )( ,)2NNijNiiijii jH q qqqq tU q tW q q 很明顯：兩粒子互換，哈密頓量不變1波函數(shù)要么是對稱的，要么是反對稱的方程：111( , )( , ) ( , )ijNijNijNiqqqqttH qqqqtqqqqt11( , , ) (

4、 , )ijNjiNH qqqq tqqqq t交換 與iqjq111(, )(, ) (, )jiNjiNjiNiqqqqttH qqqqtqqqqt交換前后的兩波函數(shù)是同一方程的解 1,1,( , ,)( , ,)ijNjiNqqqqtqqqqtLLLLLL 根據(jù)根據(jù)全同性原理，全同性原理，它們描述它們描述的是同的是同一個態(tài)，一個態(tài)，因此它們因此它們可能可能相差一常數(shù)因子，相差一常數(shù)因子，以以 表示表示： 現(xiàn)在現(xiàn)在把把 和和 再再交換交換一次一次iqjq()()ijjiqqqqLLLLLL2()ijqq LLL1 得證：描述全同粒子體系的波函數(shù)要么是描述全同粒子體系的波函數(shù)要么是對稱對稱的

5、的，要么是反對稱，要么是反對稱的的。當 時 11,1,( , ,)( , ,)jiNijNqqqq tqqqq t交換后交換后波函數(shù)反號，稱為波函數(shù)反號，稱為反對稱反對稱波函數(shù)波函數(shù)當 時 11,1,( , ,)( , ,)jiNijNqqqq tqqqq t交換后交換后波函數(shù)不變，稱為波函數(shù)不變，稱為對稱波對稱波函數(shù)函數(shù)2波函數(shù)的對稱性不隨時間變化 設設 時刻波函數(shù)時刻波函數(shù)對稱對稱：( )( )sttt它它滿足滿足薛定諤薛定諤方程方程： ( )( )( )ssitH ttt由于由于 對稱對稱, 也對稱也對稱( )( )sH tt( )stt 在在 時刻時刻，波函數(shù)為，波函數(shù)為 它它 是兩個

6、對稱函數(shù)之和，故也是對稱的。是兩個對稱函數(shù)之和，故也是對稱的。dtt ( )()( )ssttdttdtt同樣可證明同樣可證明反對稱函數(shù)反對稱函數(shù)在以后任何時刻都是反對稱的在以后任何時刻都是反對稱的。證明：證明：方法方法 II II ,0ijijH是守恒量，即交換對稱性不隨時間改變。),(),(),(),(),(),(),(22jijijijijiijjiijijijijij 定義交換算符：定義交換算符：1 所以， 結論：結論：描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能描寫全同粒子系統(tǒng)狀態(tài)的波函數(shù)只能是交是交換對稱換對稱的或反對稱的的或反對稱的，且這種對稱性，且這種對稱性不隨時間變化。不隨時間變化。費米

7、子：費米子：自旋為自旋為 奇數(shù)倍的粒子稱為費米子。如電子、奇數(shù)倍的粒子稱為費米子。如電子、質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為質(zhì)子、中子等粒子，自旋均為 ，它們均為費米子。，它們均為費米子。 22玻色子：玻色子：自旋為自旋為 的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、的整數(shù)倍的粒子稱為玻色子。如介子、 光子的自旋分別為光子的自旋分別為O O或或 ，它們均為玻色子。，它們均為玻色子。波函數(shù)對稱的粒子稱為波函數(shù)對稱的粒子稱為玻色子玻色子，服從玻色，服從玻色愛愛因斯坦統(tǒng)計；波函數(shù)反對稱的粒子稱為因斯坦統(tǒng)計；波函數(shù)反對稱的粒子稱為費米子費米子，服，服從費米從費米狄拉克統(tǒng)計狄拉克統(tǒng)計 3 3 費 米 子 與 玻 色 子

8、費 米 子 與 玻 色 子復雜費米子和玻色子復雜費米子和玻色子241122HHeBose例如：（氘核）和（ 粒子）是子331121HHeFermi例如：（氚核）和是子三三 全同粒子體系的波函數(shù)全同粒子體系的波函數(shù)1、兩粒子體系、兩粒子體系 以以 和和 表示表示 的單個粒子第的單個粒子第i i個個本征值和本征本征值和本征函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：函數(shù)，則單粒子的本征值方程為：ii0H01110222() ()()() ()()iiiiiiHqqqHqqq 體系哈密頓算符體系哈密頓算符的本征值方程為：的本征值方程為： 1212(,)(,)Hq qEq q010212( )()U( ,)HHqH

9、qq q哈密頓量：哈密頓量： 這時，體系的態(tài)函數(shù)可以變量分離，表示成單這時，體系的態(tài)函數(shù)可以變量分離，表示成單粒子態(tài)函數(shù)的粒子態(tài)函數(shù)的Hartree積：積：稱這樣態(tài)為稱這樣態(tài)為可分離態(tài)可分離態(tài)（separable state)，統(tǒng)計物理統(tǒng)計物理研究。研究。 反之是不可分離態(tài)，也稱為反之是不可分離態(tài)，也稱為純糾纏態(tài)純糾纏態(tài)(entangled state)。對于對于非全同粒子體系非全同粒子體系，粒子，粒子不不具相同具相同的波函的波函數(shù)，體系處于混態(tài)（數(shù)，體系處于混態(tài)（mixed state），它們的糾纏），它們的糾纏態(tài)稱為態(tài)稱為混糾纏態(tài)混糾纏態(tài)， 糾纏糾纏態(tài)態(tài)在量子計算和量子通訊理論中有重要在量

10、子計算和量子通訊理論中有重要應用應用1212( ,)( )()ijq qqq當兩粒子間的相互作用很小，可以忽略時，當兩粒子間的相互作用很小，可以忽略時，稱近獨立粒子體系，哈密頓量為：稱近獨立粒子體系，哈密頓量為：0102120102()()U( ,)()()HHqHqq qHqHq 1212( ,)( ) ()(1)ijq qqq 本本征波函數(shù)征波函數(shù) 本征能量本征能量 ijE若兩粒子交換，則若兩粒子交換，則2121(,)()()(2)ijqqqq能量值仍為能量值仍為 是簡并的是簡并的，稱為，稱為交換簡并交換簡并。 ijE12211221()()()()(,)(,)ijijqqqqqqqq 考

11、慮兩考慮兩粒子處于不同狀態(tài)粒子處于不同狀態(tài)，即：，交換前后，即：，交換前后的兩波函數(shù)：的兩波函數(shù)：ji 即交換前后按即交換前后按HartreeHartree積構成的兩波函數(shù)既積構成的兩波函數(shù)既不對稱，不對稱，也不也不反對稱。反對稱。不符合要求不符合要求 ！因此因此要改！要改！當體系處于可分離態(tài)時，當體系處于可分離態(tài)時， FOCK FOCK 發(fā)現(xiàn)：由發(fā)現(xiàn)：由HartreeHartree積的和（差）構成的兩積的和（差）構成的兩個函數(shù)，一個是對稱的，一個是反對稱的個函數(shù)，一個是對稱的，一個是反對稱的 ，因此，因此可以用這種方式構造體系波函數(shù)可以用這種方式構造體系波函數(shù)玻色玻色系統(tǒng)系統(tǒng)（對稱）（對稱）

12、 1212211( ,)( ) ()() ( )2sijijq qqqqq費米費米系統(tǒng)系統(tǒng) （反對稱）（反對稱） 1212211( ,)( ) ( )( ) ( )2Aijijq qqqqq 泡利不相容原理兩費米子不處兩費米子不處 于同于同一態(tài)！一態(tài)！對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當兩個玻對玻色子系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當兩個玻色子處于同一個狀態(tài)時色子處于同一個狀態(tài)時 ，這時這時，故幾率密度故幾率密度，允許！，允許！ 12(,)sq q1221( ,)(,)ssq qq q 12( ,)0sq q0),(221qqs1212211( ,)( ) ()() ( )2sijijq qqqqq對于費米系統(tǒng)

13、，波函數(shù)取形式對于費米系統(tǒng)，波函數(shù)取形式，當當兩費米子處于同一個狀態(tài)時兩費米子處于同一個狀態(tài)時 ，故幾率，故幾率密度密度，不允許！，不允許！),(21qqA0),(21qqA212( ,)0Aq q1212211( ,)( ) ( )( ) ( )2Aijijq qqqqq將將兩粒子體系推廣兩粒子體系推廣到到N N近獨立近獨立全同全同粒子體粒子體系（系（忽略粒子間相互作用）忽略粒子間相互作用）單粒子的本征值方程：單粒子的本征值方程：0()()()nknkknHqqq 體系的薛定格方程：體系的薛定格方程：),(),()(212110NNNinqqqEqqqqHNnnNqHqHqHqHH10020

14、10)()()()(總本總本征能量征能量12NE2、構造、構造N粒子體系的波函數(shù)粒子體系的波函數(shù)可見可見，近獨立全同粒子，近獨立全同粒子體系的能量等于各單粒子體系的能量等于各單粒子能量之和能量之和，而哈密頓算符，而哈密頓算符的的本征函數(shù)應是本征函數(shù)應是各單粒子各單粒子的的本征函數(shù)的本征函數(shù)的Hartree積按積按Fock方式構成。方式構成。下面用下面用Fock方法方法分別分別構成費米和構成費米和玻色系統(tǒng)的玻色系統(tǒng)的波函數(shù)。波函數(shù)。 由由N N個費米子組成的體系的個費米子組成的體系的本征本征函數(shù)：函數(shù)：),(21NAqqq11112121212()( )( )( )( )()( )( )()(

15、)( )()NiiiNjjjNkkkNqqqqqqCqqqqqqLLLLLLLLLLLLLLLL稱為斯萊稱為斯萊特行列式特行列式 3、費米子體系波函數(shù)費米子體系波函數(shù)費米費米系統(tǒng)系統(tǒng) （反對稱）（反對稱） 1212211( ,)( ) ()() ( )2Aijijq qqqqq121212( )()1( ,)( )()2iiAjjqqq qqq將斯萊特行列式展開，共有 項，所以歸一化常數(shù) !N1!CN 如果如果N N個粒子中，有兩個處于同一個狀態(tài)，則個粒子中，有兩個處于同一個狀態(tài)，則斯萊特斯萊特行列式行列式中有兩行完全相同中有兩行完全相同，行列式，行列式等于零，等于零，從而體系的波函數(shù)為從而體

16、系的波函數(shù)為0 0 即：不能即：不能有有兩個及兩個以上的費米子兩個及兩個以上的費米子處在同處在同一態(tài)！一態(tài)！ 交換任意兩個粒子，在斯萊特行列式中就表現(xiàn)為兩列相互交換，行列式改變符號。所以 是反對稱的。11112121212()( )( )( )( )()( )( )()( )( )()NiiiNjjjNkkkNqqqqqqqqqqqqLLLLLLLLLLLLLLLL 老愛：任何人都老愛：任何人都不會相信不會相信，這出自僅，這出自僅21 21歲的青年人之手歲的青年人之手，文，文中中顯示出來顯示出來的理解力、數(shù)學的理解力、數(shù)學推導能力推導能力、物理洞察力、物理洞察力、使問題明晰的、使問題明晰的能力

17、能力，使任何一個人都會感到羨慕使任何一個人都會感到羨慕 沃爾夫岡沃爾夫岡泡利（泡利（Wolfgang Wolfgang E.PauliE.Pauli，1900190019581958），），奧地奧地利利科學家，主要成就：科學家，主要成就：泡利泡利不相容原理，泡利矩陣，不相容原理，泡利矩陣，中中微子假說微子假說。18 18歲：不上大學直接做索末歲：不上大學直接做索末菲研究生菲研究生，發(fā)表引力場人生發(fā)表引力場人生第一篇論文第一篇論文19 19歲：指出韋耳引力理論的錯誤歲：指出韋耳引力理論的錯誤，21 21歲：博士畢業(yè)，并寫出長達歲：博士畢業(yè)，并寫出長達237237頁的相對論詞條，頁的相對論詞條，

18、2222歲：玻恩助教，玻爾助手；歲：玻恩助教，玻爾助手；2525歲，提出泡利不相容原理；歲，提出泡利不相容原理；2727歲，歲，提出泡利矩陣；提出泡利矩陣；3030歲，中微子假說；歲，中微子假說；4545歲，獲諾貝爾物理學獎歲，獲諾貝爾物理學獎4、玻色、玻色子體系波函數(shù)子體系波函數(shù)1212( ,)( )()()SNijkNPq qqCPqqqLL L 表示對所有可能的排列求和表示對所有可能的排列求和，PC C 是是歸一化歸一化常數(shù)：常數(shù)：因為N 個粒子排列共有 kllknNnnnN！121!種不相同的形式。所以歸一化因子為：1!kllCnNnk 是單粒子是單粒子態(tài)態(tài) k 上的粒子數(shù)上的粒子數(shù)玻

19、色玻色系統(tǒng)系統(tǒng)（對稱）（對稱） 1212211( ,)( ) ()() ( )2sijijq qqqqq例1 一個體系一個體系由由三個全同費米子三個全同費米子組成，粒子間無相互組成，粒子間無相互作用作用，單粒態(tài)的可能態(tài)為，單粒態(tài)的可能態(tài)為 、 、 ，對應能量為，對應能量為1.2 eV, 1.2 eV, 1.5 eV1.2 eV, 1.2 eV, 1.5 eV，求：，求：（1 1）系統(tǒng)波函數(shù)，能量的可能值及其簡并度）系統(tǒng)波函數(shù)，能量的可能值及其簡并度（2 2）若體系只有二個費米子呢若體系只有二個費米子呢？123Solve （1）111213111123212221313233( )( )( )1

20、( , , )( )( )( )3!( )( )( )Aqqqq q qqqqqqq1122331223311321321 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3!qqqqqqqqq122133112332132231( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )qqqqqqqqqE1E11.2+1.2+1.51.2+1.2+1.53.9 eV3.9 eV，簡并度，簡并度 1 1單態(tài)能量單態(tài)能量：1.2 1.2 1.51.2 1.2 1.5占據(jù)數(shù)占據(jù)數(shù)：1 1 1 1 0 01 1 0 10 10 0 1 11 11112110122122(

21、) ( )1( , )2!( ) ( )Aqqq qqq1112101123132( ) ( )1( , )2!( ) ( )Aqqq qqq2122011123132( ) ( )1( , )2!( ) ( )Aqqq qqqE E1101101.2+1.21.2+1.22.42.4E E1011011.2+1.51.2+1.52.72.7雙粒子能量：雙粒子能量：E E0110111.2+1.51.2+1.52.72.7雙粒子能級：簡并度雙粒子能級：簡并度1 1 1 1 2 2Solve （2）: 雙雙費米子費米子 一體系由一體系由三個全同玻色子三個全同玻色子組成，玻色子之間無組成，玻色子之

22、間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三相互作用。可能的單粒子態(tài)有三 ，能量能量分別分別為為1.2, 1.2 , 1.5 eV, 問問體系可能體系可能的微觀狀的微觀狀態(tài)數(shù)目？態(tài)數(shù)目？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構成波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構成？能量可能？能量可能值及簡并度？值及簡并度？321,解解：（1 1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：例例2(1)1111,2,31122331223311321321322311221331123321!1!1!()3!( )()()()()( )()( )()()()( )()( )()( )()()ssq q qqqqqqqqqqqqqqqq

23、qqq（2 2）三個粒子處于同一個單態(tài)上）三個粒子處于同一個單態(tài)上(2)300123111213(3)030123212223(4)003123313233(,)()()()(,)()()()(,)()()()ssssssq qqqqqq qqqqqq qqqqq （3 3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)(5)2102123111223111322121321(6)20131231112331113321213311!2!1( ,) ( ) ( )( )3!( ) ( )( )( ) ( )( )11( ,) ( ) ( ) ( )3( ) ( ) (

24、)( ) ( ) ( )ssssnq q qqqqqqqqqqnq q qqqqqqqqqq12n 22n 1(7)1201,2,32122132123122223113(8)0211,2,321223321233222233111()( )() ( )3( )( ) ()()( ) ( )11()( )()( )3( )( )()()( )( )ssssnq q qqqqqqqqqqnq q qqqqqqqqqq32n 1(9)1021,2,31132331231331331222(10)01212321323322313323312211() ( )()()3()( )()()( )()1

25、1()( )()()3()( )()()( )()ssssnq q qqqqqqqqqqnq q qqqqqqqqqq三三種情況共十個種情況共十個微觀態(tài)，微觀態(tài)，4種能量可能值種能量可能值(1)111ss (2)300ss (3)030ss (4)003ss (5)210ss (6)201ss (7)120ss (8)021ss (9)102ss (10)012ss E E1.2+1.2+1.51.2+1.2+1.53.9 3.9 E E3.6 3.6 E E3.6 3.6 E E4.5 4.5 E E3.6 3.6 E E3.9 3.9 E E3.6 3.6 E E3.9 3.9 E E4.

26、2 4.2 E E4.2 4.2 體系體系4個能級個能級 E13.6E23.9E34.2E44.5簡并度簡并度4321量子力學通過波粒二像性，把波（相互作量子力學通過波粒二像性，把波（相互作用）和粒子統(tǒng)一起來，用相同的方法處理用）和粒子統(tǒng)一起來，用相同的方法處理誰來統(tǒng)一費米統(tǒng)計和玻色統(tǒng)計？誰來統(tǒng)一費米統(tǒng)計和玻色統(tǒng)計？超對稱理論！超對稱理論！氫分子或氦原子含兩個氫分子或氦原子含兩個電子電子，若不，若不考慮旋軌耦合考慮旋軌耦合，全全波波函數(shù)函數(shù)可寫可寫成空間與自旋波函數(shù)的乘積：成空間與自旋波函數(shù)的乘積：1212,),)NNr rrs ss （設體系的核設體系的核不動不動，則只有兩個電子，則只有兩個

27、電子，是是Fermi Fermi 體系體系，則，則 應是反對稱化應是反對稱化的，要由的，要由空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)共同保證！空間波函數(shù)與自旋波函數(shù)共同保證！I I、 對稱對稱， 則則 反對稱；反對稱； II II、 反對稱，反對稱， 則則 對稱。對稱。、雙電子體系的自旋波函數(shù)、雙電子體系的自旋波函數(shù)121122( ,), ; ,)NNNq qqr s r sr s（結論：單就自旋波函數(shù)來說，它可以是對稱的，也可以是結論：單就自旋波函數(shù)來說，它可以是對稱的，也可以是反對稱的。反對稱的。 不考慮兩電子間自旋相互作用，兩電子體系的自旋函數(shù)應由單電子自旋函數(shù)的Hartree積來構成，由Hartree積

28、可構成四個自旋函數(shù) （三個對稱函數(shù) 和一個反對稱 )sA現(xiàn)在構造雙電子體系的波函數(shù)1212()()zzSS),(2121依據(jù)：自旋波函數(shù)可以是對稱的，也可以是反對稱的。依據(jù)：自旋波函數(shù)可以是對稱的，也可以是反對稱的。(1)111222(2)111222(3)111211122222(4)111211122222()()()()1()()()()21()()()()2SzzSzzSzzzzAzzzzSSSSSSSSSSSS現(xiàn)在求自旋大小22222143) 121(21 SS先解單電子體系.1212zzSS11122111220 1101 0012220 1011 010222xxSS 的本征值：

29、2zSS和1112211122010001222001010222yyiiiSiiiiSi 111221112222zzSS 兩電子體系的總自旋角動量:1212zzzSSSSSS22122212121212() 2xxyyzzSSSSSS SS SS S2,12,0,0SSi SSSSS( , , , )x y z 再考慮兩電子體系2(1)2(1)2(1)12111212221121112122222()()SSSxzxzyyzzSSSSS SSSSSS2(1)2(1)1112222111211122222332 ()()4422()()()()224SSzzzzzzSSiiSSSS現(xiàn)在先算四

30、個態(tài)中的第一個S2(1)111222()()SzzSS22(1)(1)1112111222223()()()()22SzzzzSSSSS2(1)2s02222)3(2)3(2)2(2)2(2)1(2)1(2 ASSSSSSSSSS 同理可得其他三個態(tài)的同理可得其他三個態(tài)的(1)(1)(2)(2)(3)00zSSzSSzSzASSSS (1)11112112122222()()()()zSzzzzzzSSSSSSS(1)(1)(1)22SSS再求Sz12zzzSSS(1)111222()()SzzSS結合在一起：結合在一起：2212(1)31(2)2313(3)20102112112100000

31、0sszsmSSSASsSm三重態(tài)單態(tài)2210,1 ;Ss ss 1, 0, 1zssSmm自旋多重態(tài)自旋多重態(tài)自 旋 三 重 態(tài) 、 單 態(tài) 和 糾 纏 態(tài)形象地記:1 2 1/2 兩電子體系自旋三重態(tài)（平行）(1)12(2)12(3)121212SSS 兩電子體系自旋獨態(tài)（反平行）121212A ) 1 (S)2(S)3(SA對稱波函數(shù)自旋平行三重態(tài)反對稱波函數(shù)自旋反平行單態(tài)例3：本征方程：52 例：一例：一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。間無相互作用。玻色子只有兩個可能的單粒子態(tài)。問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們

32、的玻函數(shù)怎樣用單問體系可能的狀態(tài)有幾個？它們的玻函數(shù)怎樣用單粒子態(tài)構成粒子態(tài)構成？解：(1)!(3 2 1)!4!(1)!3!(2 1)! 粒子數(shù) 單態(tài)數(shù)粒子數(shù) 單態(tài)數(shù)狀狀態(tài)數(shù)態(tài)數(shù) = =設兩單粒子態(tài)為設兩單粒子態(tài)為 和和 。第 一 種 情 況 ：第 一 種 情 況 ：三粒子同處于三粒子同處于 態(tài)：態(tài)：(1)1,2,3123()( )()()sq q qqqq三粒子同處于三粒子同處于 態(tài)：態(tài)： (2)123123( ,)( )()()sq q qqqq(1) (1) 三個玻色子處在同一個狀態(tài)。三個玻色子處在同一個狀態(tài)。(2) (2) 兩個玻色子處在同一個狀態(tài)，另一個玻色子兩個玻色子處在同一個狀

33、態(tài)，另一個玻色子處于另一狀態(tài)。處于另一狀態(tài)。有兩種情況：第 二 種 情 況第 二 種 情 況 ：(3)1,2,31231322312!1!()( )( )( )3!( )( )( )( )( )( )sq q qqqqqqqqqq(4)1231232133121( ,)( )()( )3()( )( )( )( )()Sq q qqqqqqqqqq兩粒子同處于兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于態(tài)，一粒子處于 態(tài)態(tài)兩粒子同處于兩粒子同處于 態(tài)，一粒子處于態(tài)，一粒子處于 態(tài)態(tài) 一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無一體系由三個全同玻色子組成，玻色子之間無相互作用?？赡艿膯瘟Ｗ討B(tài)有三相互作用?？赡艿膯瘟?/p>

34、子態(tài)有三 ，問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子問體系可能的狀態(tài)有幾個？波函數(shù)怎樣由單粒子態(tài)構成？態(tài)構成？321,解：解：(1)!(33 1)!0!(1)!3!(3 1)!粒子數(shù)單態(tài)數(shù)粒子數(shù) 單態(tài)數(shù)（1 1）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：）三個玻色子分別處于三個單態(tài)上：狀態(tài)數(shù)：狀態(tài)數(shù)：例例56(1)1,2,31122331223311321321322311221331123321!1!1!()3!( )()()()()( )()( )()()()( )()( )()( )()()sq q qqqqqqqqqqqqqqqqqqq（2 2）三個粒子處于同一個單態(tài)上）三個粒子處于同一個單態(tài)上

35、(2)123111213(3)123212223(4)123313233(,)()()()(,)()()()(,)()()()sssq qqqqqq qqqqqq qqqqq57（3 3）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)）兩粒子處在同一態(tài)，一粒子處在另一態(tài)(5)21231112231113221213211(6)31231112331113321213311!2!1( ,) ( ) ( )( )3!( ) ( )( )( ) ( )( )211( ,) ( ) ( ) ( )3( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )ssnq q qqqqqqqqqqnnq q qqqqqqqqqq5822