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文檔簡介
1、定義定義 設(shè)兩向量組設(shè)兩向量組 1212:,:,.,rsAB 假設(shè)向量組中每一個(gè)向量皆可由向量組假設(shè)向量組中每一個(gè)向量皆可由向量組B B線性表示,線性表示,那么稱向量組可以由向量組那么稱向量組可以由向量組B B線性表示線性表示. .假設(shè)兩個(gè)向量組可以相互線性表示,那么稱這兩向量組等價(jià)假設(shè)兩個(gè)向量組可以相互線性表示,那么稱這兩向量組等價(jià). .向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有自反性、對稱性、傳送性向量組之間的等價(jià)關(guān)系具有自反性、對稱性、傳送性. .即存在矩陣即存在矩陣,.s rrss rKAB K即對恣意的即對恣意的 1212,有, ,iiiissikkAk 自反性自反性: A: A等價(jià)于等價(jià)于A A對稱
2、性對稱性: : 假設(shè)假設(shè)A A等價(jià)于等價(jià)于B B,那么,那么B B等價(jià)于等價(jià)于A A傳送性傳送性: : 假設(shè)假設(shè)A A等價(jià)于等價(jià)于B B,B B等價(jià)于等價(jià)于C C,那么,那么A A等價(jià)于等價(jià)于C C如何證明兩個(gè)向量組等價(jià)?如何證明兩個(gè)向量組等價(jià)?證明:向量組證明:向量組A A與與B B等價(jià)等價(jià)假設(shè)假設(shè)A A可由可由B B線性表示,且線性表示,且rsrs,那么向量組,那么向量組A A線性相關(guān)線性相關(guān)(Page82)(Page82)由定義:證明兩向量組能相互表示由定義:證明兩向量組能相互表示定理:設(shè)定理:設(shè)RnRn中的兩個(gè)向量組中的兩個(gè)向量組例如:假設(shè)例如:假設(shè) 為為R2R2中的根本向量組,中的根
3、本向量組,即即12: ,Ae e1= 1,0Te , ,向量組向量組2= 0,1Te1212:,iTBe ee,其中1212rs:,:,AB AB推論推論1 1:假設(shè)向量組:假設(shè)向量組A A可由向量組可由向量組B B線性表示,且線性表示,且A A線性無關(guān),線性無關(guān),那么必有那么必有r s推論推論2 2:假設(shè)向量組:假設(shè)向量組A A與與B B均線性無關(guān)且等價(jià),那么它們所含均線性無關(guān)且等價(jià),那么它們所含向量的個(gè)數(shù)一樣向量的個(gè)數(shù)一樣12 ,r 假設(shè)向量組假設(shè)向量組A中的一個(gè)部分中的一個(gè)部分組組滿足滿足(1)(1)12 ,r 線性無關(guān)線性無關(guān)12 ,r (2)(2) 向量組向量組A中的每個(gè)向量均可由中
4、的每個(gè)向量均可由線性表示線性表示12 ,r 那么那么稱稱為為A的一個(gè)極大線性無關(guān)組的一個(gè)極大線性無關(guān)組注:注: 向量組向量組A A的極大線性無關(guān)組與它本身等價(jià)的極大線性無關(guān)組與它本身等價(jià)極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組12 ,r 與與A中的另外的向量中的另外的向量所組成的新的向量組必線性相關(guān)所組成的新的向量組必線性相關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組通常不獨(dú)一向量組的極大線性無關(guān)組通常不獨(dú)一定理:一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)定理:一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)是獨(dú)一的是獨(dú)一的例:求向量組例:求向量組A A的一個(gè)極大線性無關(guān)組的一個(gè)極大線性無關(guān)組 123123: ,1,1,1 ,2,1,
5、0 ,3,2,1TTTA 提示:提示: 11,1,10T 線性無關(guān)線性無關(guān) 121323,、 均線性無關(guān)均線性無關(guān)312 又因又因 121323,、 均均A A的極大線性無關(guān)組的極大線性無關(guān)組故故例:例:RnRn中的根本向量組中的根本向量組12 , ,ne ee是是Rn的一個(gè)的一個(gè)極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組1、定義:一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù),、定義:一個(gè)向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù), 稱為向量組的秩稱為向量組的秩定理:等價(jià)的向量組秩相等定理:等價(jià)的向量組秩相等注:注: 秩相等的向量組不一定等價(jià)秩相等的向量組不一定等價(jià)恣意恣意n+1個(gè)個(gè)n維向量一定線性相關(guān)維向量一定線性
6、相關(guān) Rn的秩為的秩為n 矩陣與向量組之間有一一對應(yīng)的關(guān)系,矩陣與向量組之間有一一對應(yīng)的關(guān)系,那么秩之間又有什么關(guān)系?那么秩之間又有什么關(guān)系?定理定理有一樣的線性相關(guān)性與線性組合系數(shù)有一樣的線性相關(guān)性與線性組合系數(shù). .一樣的線性相關(guān)性是指:一樣的線性相關(guān)性是指:知知n n維列向量組維列向量組12,s 12,sn sA 假設(shè)對施行行初等變換把化為假設(shè)對施行行初等變換把化為 12,sn sB 那么那么向量組向量組1212,ppiiiiii 與與 121piiis 1212,.ppiiiiiiRR 12,piii線性表示,且表達(dá)式的系數(shù)對應(yīng)一樣線性表示,且表達(dá)式的系數(shù)對應(yīng)一樣. .12,piiii
7、 可可以以由由線性表示,對應(yīng)的線性表示,對應(yīng)的i 可可以以由由1212,ss 與與極大無關(guān)組相對應(yīng)極大無關(guān)組相對應(yīng). . 12,s 12,s 線性相關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)線性相關(guān)1122112200sssskkkkkk 作用:為判別向量組線性相關(guān)或無關(guān)以及求極大線性無作用:為判別向量組線性相關(guān)或無關(guān)以及求極大線性無關(guān)組提供了一種簡單的關(guān)組提供了一種簡單的 方法方法.,ERTif ABP is I MPAB 證明證明 1212,ssn sn sAB 12sPAP iiP 即即 12sPPP 12s 設(shè)的某些列設(shè)的某些列12,piii 有關(guān)系有關(guān)系12120piipilll那么相應(yīng)的那么相應(yīng)的1212
8、piipilll 1212piipil Pl Pl P 1212piipiP lll 0 具有一樣的線性相關(guān)性具有一樣的線性相關(guān)性. .12,piii 即即B中列向量組中列向量組12,piii與中列向量組與中列向量組21112112144622436979A 求向量組的列向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組,求向量組的列向量組的秩及一個(gè)極大線性無關(guān)組,例例 設(shè)矩陣設(shè)矩陣并將其他向量用該極大線性無關(guān)組線性表示并將其他向量用該極大線性無關(guān)組線性表示. .21112112144622436979A 11214011100001300000RET 所以的列向量組的秩為所以的列向量組的秩為. .故極大線性無關(guān)
9、組所含向量的個(gè)數(shù)為個(gè)故極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)為個(gè).解解11214011100001300000A 顯然極大線性無關(guān)組為顯然極大線性無關(guān)組為124, 10104011030001300000ERT 31240, 5124433. 所以可得所以可得定義定義矩陣矩陣111212122211,nnmmmnaaaaaaAaaa 的列向量組的秩稱為列秩,記為:的列向量組的秩稱為列秩,記為:的行向量組的秩稱為行秩,記為:的行向量組的秩稱為行秩,記為: .r A .c A定理定理 11TTm nnmR Acr 當(dāng)當(dāng)r=mr=m時(shí),那么時(shí),那么A A的行向量組線性無關(guān);當(dāng)?shù)男邢蛄拷M線性無關(guān);當(dāng)rmrm時(shí),
10、那時(shí),那么么A A的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān). .結(jié)論結(jié)論m nA ,且,且 R Ar 當(dāng)當(dāng)r=nr=n時(shí),那么時(shí),那么A A的列向量組線性無關(guān);當(dāng)?shù)牧邢蛄拷M線性無關(guān);當(dāng)rnrn時(shí),那時(shí),那么么A A的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān). .假設(shè)假設(shè)m=nm=n時(shí),那么時(shí),那么A A的列行向量組線性無關(guān)的充的列行向量組線性無關(guān)的充要條件是要條件是| A | 0.| A | 0.1 1、向量組線性無關(guān),證明:、向量組線性無關(guān),證明:12,r 11, 212,12rr線性無關(guān)線性無關(guān). .2 2、設(shè)、設(shè) 1111T , 3247 ,T 2025T , 123102124157 102 011000所以所以 2R A 12:,A 線性無關(guān)線性無關(guān) 2R B 試討論試討論 及及 秩及線性相關(guān)性秩及線性相關(guān)性. . 123:,B 12:,A 123:,B 線性相關(guān)線性相關(guān)解解3122 且且3 3、知、知123:, 1234:, 1235:,
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