線性代數(shù)綜合練習(xí)題(修改)

1、線性代數(shù)綜合練習(xí)題第一章 行列式一、單項(xiàng)選擇題1下列排列是5階偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512如果階排列的逆序數(shù)是, 則排列的逆序數(shù)是( ). (A) (B) (C) (D)3. ( ).(A) 0 (B) (C) (D) 24在函數(shù)中項(xiàng)的系數(shù)是( ). (A) 0 (B) (C) (D) 25 已知4階行列式中第1行元依次是, 第3行元的余子式依次為, 則( ).(A) 0 (B) (C) (D) 26. 若，則中第一行元的代數(shù)余子式的和為( ).(A) (B) (C) (D)7. 若，則中第四行元的余子式的和為( ).(A)

2、 (B) (C) (D)8. 等于何值時(shí)，齊次線性方程組有非零解. ( ) (A) (B) (C) (D)二、填空題1. 階排列的逆序數(shù)是.2在六階行列式中項(xiàng)所帶的符號是.3. 行列式.4如果，則5齊次線性方程組僅有零解的充要條件是.6若齊次線性方程組有非零解，則=.三、計(jì)算題1. ; 2；3. ； .四、證明題1設(shè)，證明：.2.第二章 矩陣一、單項(xiàng)選擇題1. A、B為n階方陣，則下列各式中成立的是( )。(a) (b) (c) (d) 2.設(shè)方陣A、B、C滿足AB=AC,當(dāng)A滿足( )時(shí)，B=C。(a) AB =BA (b) (c) 方程組AX=0有非零解 (d) B、C可逆 3.若為n階方

3、陣，為非零常數(shù)，則( )。(a) (b) (c) (d) 4.設(shè)為n階方陣，且，則( )。 (a) 中兩行(列)對應(yīng)元素成比例 (b) 中任意一行為其它行的線性組合(c) 中至少有一行元素全為零 (d) 中必有一行為其它行的線性組合 5.設(shè)，為n階可逆矩陣,下面各式恒正確的是( )。(a) (b) (c) (d) 6.設(shè)為n階方陣,為的伴隨矩陣,則( )。(a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)為3階方陣,行列式,為的伴隨矩陣,則行列式( )。(a) (b) (c) (d) 8. 設(shè)，為n階方矩陣,則下列各式成立的是( )。(a) (b) (c) (d) 9. 設(shè)，均為n階方矩陣,則必有( )

4、。(a) (b) (c) (d) 10.設(shè)為階可逆矩陣，則下面各式恒正確的是（ ）。（a） (b) (c) (d) 11.設(shè)為階方陣，且，則（ ）。（a）經(jīng)列初等變換可變?yōu)閱挝魂嚕╞）由，可得（c）當(dāng)經(jīng)有限次初等變換變?yōu)闀r(shí)，有（d）以上（a）、（b）、（c）都不對 二、填空題1.設(shè)為n階方陣,為n階單位陣,且,則行列式_ 2.設(shè)2，則行列式的值為_ _ 三、計(jì)算題1.解下列矩陣方程(X為未知矩陣).1) ； 2) ,其中；2.已知,求. 3設(shè)，且滿足，求。 4. 設(shè)n階方陣滿足，已知，求矩陣. 四、證明題1. 設(shè)、均為階非奇異陣,求證可逆.2. 設(shè)n階矩陣滿足，證明：；3. 證明可逆的對稱矩陣

5、的逆也是對稱矩陣.4. 證明每一個(gè)方陣均可表示為一個(gè)對稱矩陣和一個(gè)反對稱矩陣的和。第三章 矩陣的初等變換與線性方程組一、單項(xiàng)選擇題1設(shè)元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則有非零解的充分必要條件是（ ）(A) (B) (C) (D) 2設(shè)是矩陣，則線性方程組有無窮解的充要條件是（ ） (A) (B) (C) (D) 3.設(shè)為階矩陣，秩，則（ ）。（a）中階子式不全為零 （b）中階數(shù)小于的子式全為零（c）經(jīng)行初等變換可化為 （d）為滿秩矩陣 4.設(shè)為矩陣，為階可逆矩陣，則( )。(a) 秩()> 秩() (b) 秩()= 秩()(c) 秩()< 秩() (d) 秩()與秩()的關(guān)系依而

6、定 5.，為n階非零矩陣，且，則秩()和秩()( )。(a)有一個(gè)等于零 (b)都為n (c)都小于n (d)一個(gè)小于n，一個(gè)等于n 6.n階方陣可逆的充分必要條件是( )。(a) (b) 的列秩為n(c) 的每一個(gè)行向量都是非零向量 (d) 伴隨矩陣存在 7. n階矩陣可逆的充要條件是( )。(a) 的每個(gè)行向量都是非零向量(b) 中任意兩個(gè)行向量都不成比例(c) 的行向量中有一個(gè)向量可由其它向量線性表示(d) 對任何n維非零向量，均有 8設(shè)是矩陣，非齊次線性方程組的導(dǎo)出組為，若，則（ ） (A) 必有無窮多解 (B) 必有唯一解 (C) 必有非零解 (D) 必有唯一解9設(shè)為n階非零矩陣，且

7、，則 （ ） (A) (B) (C) (D) 10設(shè)為矩陣，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) 若僅有零解 ，則有唯一解 (B) 若有非零解 ，則有無窮多解 (C) 若有無窮多解 ，則僅有零解 (D) 若有無窮多解 ，則有非零解11線性方程組 （ ）(A) 無解 (B) 有唯一解 (C) 有無窮多解 (D) 其導(dǎo)出組只有零解二、填空題1.設(shè)4階方陣的秩為2，則其伴隨矩陣的秩為_ _2.非零矩陣的秩為_ _ 3. 若線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則其增廣矩陣的秩為 .4. 設(shè)，若齊次線性方程組只有零解，則 .5. 設(shè)，若線性方程組無解，則 .6. 線性方程組僅有零解的充分必要條件是 .7. 設(shè)和均為非

8、齊次線性方程組的解（為常數(shù)），則 .8. 設(shè)矩陣的秩為，是非齊次線性方程組的三個(gè)不同的解向量，若，則的通解為 .9. 設(shè)矩陣，則的秩為 。三、計(jì)算題1.，求的秩。 2. 已知是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，問是否是該方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系？為什么？3. 問為何值時(shí)，下列方程組無解？有唯一解？有無窮解？在有解時(shí)求出全部解（用基礎(chǔ)解系表示全部解）。1） 2）6當(dāng)為何值時(shí)，方程組無解、有唯一解或有無窮多組解？在有無窮多組解時(shí)，用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解.四、證明題1. 證明兩個(gè)矩陣和的秩小于這兩個(gè)矩陣秩的和.2. 證明可逆矩陣的伴隨矩陣也可逆，且伴隨矩陣的逆等于該矩陣的逆矩陣的伴隨矩陣.第四章 向量

9、組的線性相關(guān)性一、單項(xiàng)選擇題1. ， 都是四維列向量，且四階行列式, , 則行列式 2. 設(shè)為階方陣，且, 則（ ）。 3. 設(shè)為階方陣，則在的個(gè)行向量中（ ）。 4. 階方陣可逆的充分必要條件是（ ） 5. 維向量組線性無關(guān)的充分條件是( )都不是零向量中任一向量均不能由其它向量線性表示中任意兩個(gè)向量都不成比例中有一個(gè)部分組線性無關(guān)6. 維向量組線性相關(guān)的充要條件是( ) 中至少有一個(gè)零向量中至少有兩個(gè)向量成比例中任意兩個(gè)向量不成比例中至少有一向量可由其它向量線性表示7. 維向量組線性無關(guān)的充要條件是( )使得中任意兩個(gè)向量都線性無關(guān)中存在一個(gè)向量,它不能被其余向量線性表示中任一部分組線性無

10、關(guān)8. 設(shè)向量組的秩為, 則( ) 中至少有一個(gè)由個(gè)向量組成的部分組線性無關(guān)中存在由個(gè)向量組成的部分組線性無關(guān)中由個(gè)向量組成的部分組都線性無關(guān)中個(gè)數(shù)小于的任意部分組都線性無關(guān)9. 設(shè)均為維向量, 那么下列結(jié)論正確的是( )若, 則線性相關(guān)若對于任意一組不全為零的數(shù), 都有, 則線性無關(guān)若線性相關(guān),則對任意不全為零的數(shù), 都有若, 則線性無關(guān)10. 已知向量組線性無關(guān)，則向量組（ ）線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)線性無關(guān)11. 若向量可被向量組線性表示，則（ ）存在一組不全為零的數(shù)使得存在一組全為零的數(shù)使得存在一組數(shù)使得對的表達(dá)式唯一12. 下列說法正確的是（ ）若有不全為零的數(shù)，使得，則線性無關(guān)若有

11、不全為零的數(shù)，使得，則線性無關(guān)若線性相關(guān)，則其中每個(gè)向量均可由其余向量線性表示任何個(gè)維向量必線性相關(guān)13. 設(shè)是向量組，的線性組合，則=（ ） 14. 設(shè)有向量組，則該向量組的極大線性無關(guān)組為（ ） 15. 設(shè)，下列正確的是（ ） 二、填空題1. 若，線性相關(guān)，則t= 。2. n維零向量一定線性 關(guān)。3. 向量線性無關(guān)的充要條件是 。4. 若線性相關(guān)，則線性 關(guān)。5. n維單位向量組一定線性 。6. 設(shè)向量組的秩為r,則 中任意r個(gè) 的向量都是它的極大線性無關(guān)組。7. 設(shè)向量與正交，則 。8. 正交向量組一定線性 。9. 若向量組與等價(jià)，則的秩與的秩 。10. 若向量組可由向量組線性表示，則

12、。11，三維列向量，已知線性相關(guān)，則= 。三、計(jì)算題1. 設(shè)，問（1）為何值時(shí)，能由唯一地線性表示？（2）為何值時(shí)，能由線性表示，但表達(dá)式不唯一？（3）為何值時(shí)，不能由線性表示？2. 設(shè)，問： （1）為何值時(shí)，不能表示為的線性組合？（2）為何值時(shí)，能唯一地表示為的線性組合？3. 求向量組，的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大無關(guān)組線性表示。4. 設(shè)，t為何值時(shí)線性相關(guān)，t為何值時(shí)線性無關(guān)？5.向量，判斷向量能否由向量組線性表示，若能，寫出它的一般表示方式；若不能，請說明理由。四、證明題1. 設(shè)，試證線性相關(guān)。2. 設(shè)線性相關(guān)，而線性無關(guān)，證明能由線性表示且表示式唯一。3. 設(shè)線性相關(guān)，線

13、性無關(guān)，求證不能由線性表示。4. 設(shè)是線性無關(guān)向量組，證明向量組 也線性無關(guān)。5設(shè)n階方陣有不同的特征值，相應(yīng)的特征向量分別是，證明：當(dāng)全不為零時(shí)，線性組合不是的特征向量。6. 設(shè)n維列向量組線性相關(guān)，為n階方陣，證明：向量組線性相關(guān)。 第五章 特征值與特征向量一、單項(xiàng)選擇題1. 設(shè),則的特征值是( )。(a) -1,1,1 (b) 0,1,1 (c) -1,1,2 (d) 1,1,22. 設(shè),則的特征值是( )。(a) 0,1,1 (b) 1,1,2 (c) -1,1,2 (d) -1,1,13. 設(shè)為階方陣, ,則( )。(a) (b) 的特征根都是1 (c) (d) 一定是對稱陣4. 若

14、分別是方陣的兩個(gè)不同的特征值對應(yīng)的特征向量,則也是的特征向量的充分條件是( )。(a) (b) (c) (d) 5. 若階方陣的特征值相同,則( )。(a) (b) (c) 與相似 (d) 與合同6. 設(shè)為階可逆矩陣, 是的特征值,則的特征根之一是( )。(a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)2是非奇異陣的一個(gè)特征值,則至少有一個(gè)特征值等于( )。(a) 4/3 (b) 3/4 (c) 1/2 (d) 1/48. 設(shè)階方陣的每一行元素之和均為,則有一特征值為( )。(a)a (b)2a (c)2a+1 (d) +19. 矩陣A的屬于不同特征值的特征向量（ ）。(a)線性相關(guān) (b)線性無關(guān)

15、(c)兩兩相交 (d)其和仍是特征向量10. 是階矩陣與相似的( )。(a)充要條件 (b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件 (d)既不充分也不必要條件11. 階方陣有個(gè)不同的特征根是與對角陣相似的( )。(a)充要條件 (b)充分而非必要條件(c)必要而非充分條件 (d)既不充分也不必要條件12. 設(shè)為相似的階方陣,則( )。(a)存在非奇異陣,使 (b)存在對角陣,使與都相似于(c)存在非奇異陣,使 (d)與有相同的特征向量13. 若階方陣與某對角陣相似,則( )。(a) (b) 有個(gè)不同的特征值(c) 有個(gè)線性無關(guān)的特征向量 (d) 必為對稱陣14. 若相似于,則( )。(a) (

16、b) (c) 及與同一對角陣相似 (d) 和有相同的伴隨矩陣二、填空題1. n階零矩陣的全部特征值為_。2. 設(shè)為n階方陣，且，則的全部特征值為_。3. 設(shè)為n階方陣，且(m是自然數(shù))，則的特征值為_。4. 若，則的全部特征值為_。5. 若方陣與相似，則_。6. 若n階矩陣有n個(gè)相應(yīng)于特征值的線性無關(guān)的特征向量，則_。7. 設(shè)三階矩陣的特征值分別為-1,0,2,則行列式 。8. 設(shè)二階矩陣滿足，則的特征值為 。9. 特征值全為1的正交陣必是 陣。10. 若四階矩陣相似，的特征值為，則= 。三、計(jì)算題1. 求非奇異矩陣,使為對角陣. 1) 2) 2. 已知三階方陣的三個(gè)特征根為1,1,2,其相應(yīng)

17、的特征向量依次為,求矩陣.3. 求正交陣，使為對角陣，其中。四、證明題1. 設(shè)是非奇異陣, 是的任一特征根,求證是的一個(gè)特征根,并且關(guān)于的特征向量也是關(guān)于的特征向量.2. 設(shè),求證的特征根只能是.3. 證明:相似矩陣具有相同的特征值.4. 設(shè)n階矩陣，如果，證明：-1是的特征值。5. 設(shè)是n階矩陣分別屬于的特征向量，且，證明不是的特征向量。第六章 二次型一、單項(xiàng)選擇題1階對稱矩陣正定的充分必要條件是（ ）。 存在階陣C，使負(fù)慣性指數(shù)為零 各階順序主子式為正3設(shè)A為正定矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（ ）。A可逆 正定A的所有元素為正 任給4方陣A正定的充要條件是（ ）。A 的各階順序主子式為正；

18、是正定陣；A的所有特征值均大于零； 是正定陣。5下列為二次型的是（ ）。 6 設(shè)A、B為n階方陣，且則A=B的充要條件是（ ）。 ，7 正定二次型的矩陣為A，則( )必成立. A的所有順序主子式為非負(fù)數(shù) A的所有特征值為非負(fù)數(shù) A的所有順序主子式大于零 A的所有特征值互不相同8設(shè)A，B為n階矩陣，若( )，則A與B合同. 存在n階可逆矩陣且 存在n階可逆矩陣，且 存在n階正交矩陣，且 存在n階方陣，且9下列矩陣中，不是二次型矩陣的為（ ）. 10下列矩陣中是正定矩陣的為（ ） 11已知A是一個(gè)三階實(shí)對稱且正定的矩陣，那么A的特征值可能是（ ） 3，i, 1; 2, 1, 3; 2, i, 4; 1, 3, 4二、填空題1. 二次型的秩為 。 2二次型的矩陣為 。3 設(shè)，則二次型的矩陣為 。4若正定，則t的取值范圍是 。5設(shè)A為n階負(fù)定矩陣，則對任何均有 。6任何一個(gè)二次型的矩陣都能與一個(gè)對角陣 。7設(shè)是正定矩陣，則滿足條件 。 8設(shè)實(shí)二次型則當(dāng)?shù)娜≈禐開 時(shí)，二次型是正定的。9二次型的秩為 。三、計(jì)算題1.