【微積分】極限運算法則ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 極限運算法那么極限運算法那么定理定理1. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中則則設(shè)設(shè)證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其其中中BxgAxf由無窮小運算法那么由無窮小運算法那么, 得得)()()(BAxgxf . 0.)1( 成立成立)()()(BAxgxf ABBA )( )(BA. 0.)2(成立成立BAxgxf )()(BABA )( BBAB. 0 AB, 0, 0 B又又, 0 ,00時時當(dāng)當(dāng) xx,2B BBBB21 B

2、21 推論推論1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 則則為為常常數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果常數(shù)因子可以提到極限記號外面常數(shù)因子可以提到極限記號外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 則則是是正正整整數(shù)數(shù)而而存存在在如如果果推論推論2 2,21)(2BBB ,2)(12BBB 故故有界，有界，.)3(成立成立求極限方法舉例求極限方法舉例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim

3、1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小結(jié)小結(jié): :則則有有多多項項式式設(shè)設(shè),)(. 1110nnnaxaxaxP nnxxnxxxxaxaxaxP 110)lim()lim()(lim000nnnaxaxa 10100).(0 xP 則則有有且且有有理理函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè), 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf 闡明闡明: 假設(shè)假設(shè),0)(0 xQ不能直接用商的運算法那么不能直接用商的運算法那么 .解解)32(lim21 xxx, 0 商的法那么不能用商的法那么不能用)

4、14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由無窮小與無窮大的關(guān)系由無窮小與無窮大的關(guān)系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時時x.1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的極限都是無窮大分母的

5、極限都是無窮大分子分子時時 x)(型型 .,3再再求求極極限限分分出出無無窮窮小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (無窮小因子分出法無窮小因子分出法)小結(jié)小結(jié): :為為非非負(fù)負(fù)整整數(shù)數(shù)時時有有和和當(dāng)當(dāng)nmba, 0, 000 , 0,lim00110110mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)無窮小分出法無窮小分出法: :以分母中自變量的最高次冪除分以分母中自變量的最高次冪除分子子, ,分母分母, ,以分出無窮小以分出無窮小, ,然后再求極限然后再求極限. .例例5 5).21(lim222

6、nnnnn 求求解解是是無無限限多多個個無無窮窮小小之之和和時時, n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.例例6 6).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx 求求設(shè)設(shè)yox1xy 112 xy解解兩兩個個單單側(cè)側(cè)極極限限為為是是函函數(shù)數(shù)的的分分段段點點,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右極限存在且相等左右極限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故.)(lim)(lim)()()(lim)(lim0000

7、0000AufxufxxxufuxuxuxuAufuuxxxxuu 時時的的極極限限存存在在，且且當(dāng)當(dāng)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)某某去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的，且且在在點點，設(shè)設(shè))(lim0 xufxx)(lim0ufuu)(xuu 令令0)(lim0uxuxx 意義：意義：定理定理2復(fù)合函數(shù)的極限運算法那么復(fù)合函數(shù)的極限運算法那么Aufuu )(lim00)(lim0uxuxx .)(lim0Axfxx 證證.)(,0, 0, 00 Aufuu有有時時當(dāng)當(dāng).)(,0, 0, 00101 uxuxx有有時時當(dāng)當(dāng)對對上上述述，時時當(dāng)當(dāng)0202)(0,0uxuxx 由知條件，由知條件，取取 ,min21

8、 那么那么當(dāng)當(dāng) 00 xx時，時，0)(uxu 0, 從而有從而有Axuf )(. 這就證明了這就證明了解解: 令令.93lim23 xxx932 xxu那么那么 ux3lim61 原式原式 =uu61lim61 66 例例7. 求求 93lim23xxx 31lim3xx. )1(lim2xxxx 解法解法 1 原式原式 =xxxx 1lim21111lim2 xx21 解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim20 21 那么那么原式原式 =22011limttt 111lim20 tt 0t例例8. 求求?)1(lim2 xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx 1lim211

9、11lim2 xx21 解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim20 21 那么那么原式原式 =22011limttt 111lim20 tt 0t思索思索: .0)1(lim33 xaxx解解 : 令令,1xt 那么那么 tatt 33011lim001 atatt 3301lim 01lim330 att故故1 a因此因此例例9. 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 使使小結(jié)小結(jié)1、極限的四那么運算法那么及其推論、極限的四那么運算法那么及其推論;2、極限求法、極限求法;a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出

10、法求極限無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運算性質(zhì)求極限利用無窮小運算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限利用左右極限求分段函數(shù)極限.3、復(fù)合函數(shù)的極限運算法那么、復(fù)合函數(shù)的極限運算法那么思索題解答思索題解答沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) 有極限，有極限，)()(xgxf )(xf有極限，有極限，由極限運算法那么可知：由極限運算法那么可知： )()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與知矛盾，與知矛盾，故假設(shè)錯誤故假設(shè)錯誤思索題思索題 在某個過程中，假設(shè)在某個過程中，假設(shè) 有極限，有極限， 無極限，那么無極限，那么 能否有極限？為能否有極限？為什么？什么？)(xf)(xg)()

11、(xgxf )(xf解解:利用前一極限式可令利用前一極限式可令bxaxxxf 2322)(再利用后一極限式再利用后一極限式 , 得得xxfx)(lim30 可見可見0,3 ba是多項式是多項式 , 且且,22)(lim23 xxxfx,3)(lim0 xxfx求求. )(xf)2(lim0 xbaxx 故故xxxxf322)(23 備用題備用題 設(shè)設(shè)._1sinlim520 xxx、._33lim132 xxx、一、填空題一、填空題:._11lim231 xxx、._)112)(11(lim32 xxxx、._5)3)(2)(1(lim43 nnnnn、._coslim6 xxxeex、練練 習(xí)習(xí) 題題._2324lim72240 xxxxxx、._)12()23()32(lim8503020 xxxx、二、求以下各極限二、求以下各極限:)21.41211(lim1nn 、hxhxh220)(lim2 、)1311(lim331xxx 、38231lim4xxx 、)(lim5xxxxx 、1412lim6 xx