2018版高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-3學(xué)案：第一章5.1二項(xiàng)式定理

1、5.1二項(xiàng)式定理學(xué)習(xí)目標(biāo)11能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理2 掌握二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式.3會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.|f問(wèn)題導(dǎo)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)二項(xiàng)式定理思考 1 我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(a+ b)2= a2+ 2ab+ b2,試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo) (a + b)3, (a+ b)4的展開式.思考 2 上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)?思考 3 能用類比方法寫出(a + b)n(n N+)的展開式嗎?梳理二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理公式(a+ b)n=，稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)展開式等號(hào)右邊的式子叫作(a + b)n的二項(xiàng)展開式二項(xiàng)式系數(shù)各項(xiàng)的系數(shù)叫作二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式通項(xiàng)式中叫作二項(xiàng)展開式的第 r+1

2、 項(xiàng)，又叫作二項(xiàng)式通項(xiàng)在二項(xiàng)式定理中，若a= 1, b= x,則(1 + x)n= 1 + Cx+ Vx2+ cnxr+ + xn.C IIAH I R計(jì)數(shù)原理5二項(xiàng)式定理題型探究類型一 二項(xiàng)式定理的正用、逆用1例 1 (1)求(3 .x+)4的展開式.引申探究15將本例(1)改為求(2x-孑)的展開式.化簡(jiǎn)：c0(x+ 1)n-cn(x+ 1)n-1+ C2(x+ 1)n-2+ ( 1)kcS(x+ 1)n-+ ( 1)nCn反思與感悟 (1)(a + b)n的二項(xiàng)展開式有 n + 1 項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的幕指數(shù)規(guī)律是：各項(xiàng)的次數(shù)和等于 n.字母 a 按降幕排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由 n 逐

3、項(xiàng)減 1 直到 0 ；字母 b 按 升幕排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由 0 逐項(xiàng)加 1 直到 n.(2)逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向 二項(xiàng)展開式的形式靠攏.跟蹤訓(xùn)練 1 化簡(jiǎn)(2x + 1)5- 5(2x+ 1)4+ 10(2x+ 1)3- 10(2x+ 1)2+ 5(2x+ 1) 1.類型二二項(xiàng)展開式通項(xiàng)的應(yīng)用 命題角度 1 二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù) 例 2 已知二項(xiàng)式(3 X-鈔(1) 求展開式第 4 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)；(2) 求展開式第 4 項(xiàng)的系數(shù)；求第 4 項(xiàng).反思與感悟二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)Cn(r 0,1,2 ,，n),它與二項(xiàng)展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)

4、不一定相等，要注意區(qū)分“二項(xiàng)式系數(shù)”與二項(xiàng)式展開式中 “項(xiàng)的系數(shù)”這兩個(gè)概念.(2)第 r + 1 項(xiàng)的系數(shù)是此項(xiàng)字母前的數(shù)連同符號(hào)， 而此項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為 Cn.例如，在(1 + 2x)7的展開式中，第四項(xiàng)是 T4= C717-3(2x)3，其二項(xiàng)式系數(shù)是 C?= 35,而第四項(xiàng)的系數(shù)是 C323=280.跟蹤訓(xùn)練 2 已知 x- 2n展開式中第三項(xiàng)的系數(shù)比第二項(xiàng)的系數(shù)大162.(1)求 n 的值；求展開式中含 x3的項(xiàng)，并指出該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù).命題角度 2 展開式中的特定項(xiàng)已知在6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(1)求 n;求含 x2的項(xiàng)的系數(shù)；(3)求展開式中所有的有理項(xiàng).反思與感悟(1)求二項(xiàng)展開式的

5、特定項(xiàng)的常見題型1求第 r 項(xiàng)，Tr= Cl-1an-r+1br-1.2求含 xr的項(xiàng)(或 xpyq的項(xiàng)).3求常數(shù)項(xiàng).4求有理項(xiàng).(2)求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)的常用方法1對(duì)于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為2對(duì)于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式,題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，0(即 0 次項(xiàng)).其所有的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng).解這類問(wèn)根據(jù)具體要求，令其屬于整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來(lái)求解.3對(duì)于二項(xiàng)展開式中的整式項(xiàng)， 其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù),求解方式與求有理項(xiàng)一致.2已知 n 為等差數(shù)列一 4, -2,0，的第六項(xiàng)，則（x + ）n的二項(xiàng)展開式的常數(shù)項(xiàng)是 _入當(dāng)堂訓(xùn)練1. （x

6、 + 2）8的展開式中 X6的系數(shù)是（）A. 28B. 56D. 224A . 6 B . 3 C . 3 D . 64 . 1 2C1+ 4C2 8C3+ 16C4+-+ ( 2)nC 的值為()亠nnA . 1 B . 1 C . ( 1)D. 35 . ( x +2)n展開式第 9 項(xiàng)與第 10 項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)相等，求 x 的一次項(xiàng)系數(shù).規(guī)律與方法-求展開式的一些特殊項(xiàng)，通常都是由題意列方程求出 計(jì)算時(shí)要注意 n 和 r 的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練 3（i）若卜一 a9的展開式中 x3的系數(shù)是一 84,則 a=C. 1122.212二項(xiàng)式（x+ X）的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是A .

7、第 6 項(xiàng)B .第 7 項(xiàng)C.第 8 項(xiàng)D .第 9 項(xiàng)3的展開式中含X至的項(xiàng)的系數(shù)為 30，則 a 等于（r，再求所需的某項(xiàng)；有時(shí)需先求3.已知問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)思考 1 (a + b)3= a3+ 3a2b+ 3ab2+ b3, (a + b)4= a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+ b4.思考 2 (a + b)3的展開式有 4 項(xiàng)，每項(xiàng)的次數(shù)是 3; (a + b)4的展開式有 5 項(xiàng)，每一項(xiàng)的次數(shù) 為 4.思考 3 能,(a + b)n= can+ C?)an 1b+ cSan kbk+ C：bn(n N+).梳理cSan+ can 1b + Cnan rbr+ + C；bn

8、C；(r = 0,1,2,n)r nr. rCna b題型探究C；&)4= 81x2+ 108x+ 54 +12+ X2.141122334412341-2(1 + 3x) = -21 + C43x+ C4(3x) + C4(3x) + C4(3x) = -2(1 + 12x + 54x + 108x + 81x ) = 2 + xxxx122+ 54 + 108x+ 81x .x0n1n12n22knkk(2)解 原式=Cn(x+ 1) + Cn(x+ 1)( 1) + Cn(x+ 1)( 1) + + Cn(X + 1)( 1) + + Cn( 1)= (x + 1) + ( 1)

9、 = X.引申探究解 方法一(2x負(fù))5= C0(2x)5- C5(2x)4X2+ C2(2X)3(頁(yè))2-C5(2x)2(負(fù))3+ C；(2x)(支)45= 32x5 80 x2+8040+10入.X X X X方法二(2x 2)5= X2(2x3 1)5=-10(1 2x3)5=爲(wèi) 1 C5(2X3)+CX3)2C5(2x3)3+ c5XXXX跟蹤訓(xùn)練 1 解 原式=C0(2x+ 1)5 C1(2x+ 1)4+ C5(2x + 1)3 C5(2x+ 1)2+ C4(2x+ 1) C50555(2x+ 1)0= (2x+ 1) 15= (2x)5= 32x5.答案精析例 1(1)解方法1(3

10、.X+ x)4=(3迄)4+ (3近)3(卡)+ C4(3VX)2()2+ C；(3VX)(卡)3+方法143x+14(3 X)=(2x3)4- C5(2x3)5=十+ 乎40卩+802580 x + 32x .x例 2 解(3：jx 3X)10的展開式的通項(xiàng)是Tr+1= Clo(3r.Jx)10-r( 3X)r=10r_ r 10 r2r2Cio3( 3) 2(r = 0,1,2,，10).(1)展開式的第 4 項(xiàng)(r = 3)的二項(xiàng)式系數(shù)為Clo= 120.展開式的第 4 項(xiàng)的系數(shù)為C3o37( |)3= 77 760.展開式的第 4 項(xiàng)為 T4= T3+1= 77 760,x. 跟蹤訓(xùn)練

11、 2 解(1)因?yàn)?T3=C2(血n-2(-X；= 4C*X2,T2=cn(.x)1 2=2Cnx2,依題意得 4cn+ 2C= 162，所以 2cn+ c= 81,所以 n2= 81, n = 9.(2)設(shè)第 r + 1 項(xiàng)含 x3項(xiàng)，則 Tr +1=/ 、9_J3rc9(jx)9-r x；=(Drc9x丁 ,93r所以七產(chǎn)=3, r = 1,所以第二項(xiàng)為含 x3的項(xiàng)，T2= 2CX3=18x3.二項(xiàng)式系數(shù)為 C1= 9.例 3 解通項(xiàng)公式為Tr+1= Cnx3( 3)xn -2r=cn( 3)rx3.n 2r(1) 第 6 項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，.當(dāng) r = 5 時(shí)，有= ，即卩 n = 10.n 2rzo1 令=2,得 r = 2(n 6) = 2,所求的系數(shù)為 C?0( 3)2= 405.3則 10 2r = 3t，即 k= 5 空上. r Z,. t 應(yīng)為偶數(shù).令 t = 2,0, 2，即 k= 2,5,8.第 3 項(xiàng)，第 6 項(xiàng)與第 9 項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為405X2, 61 236,295 245x跟蹤訓(xùn)練