三點抗彎強度

1、材料力學講義 i 第18講 教學方案 -彎曲切應力、彎曲強度條件 基 本 內 容 梁橫力彎曲時橫截面上的切應力 教 學 目 的 1、 掌握各種形狀截面梁（矩形、圓形、圓環(huán)形、工字形）橫截面上 切應力的分布和計算。 2、 熟練彎曲正應力和剪應力強度條件的建立和相應的計算。 3、了解什么情況下需要對梁的彎曲切應力進行強度校核。 重 點 、 難 占 八、 本節(jié)重點：矩形截面梁的切應力、彎曲強度條件及計算。 本節(jié)難點：掌握需要對梁彎曲切應力進行強度校核的各種情況。 第十八講 2 7-3 彎曲切應力 梁受橫彎曲時，雖然橫截面上既有正 應力 ，又有剪應力 。但一般情況下，剪應力對 因此對由剪力引起的剪應力

2、， 不再用變形、物理和靜力關 6 6- -2 2）仍然適用的基礎上，假定剪應力在橫截面上的分布 規(guī)律，然后根據(jù)平衡條件導出剪應力的計算公式。 1 1 矩形截面梁 對于圖6 6- -5 5所示的矩形截面梁， 橫截面上作用 剪力Q Q。現(xiàn)分析距中性軸 z z 為 y y 的橫線aa,上的剪 應力分布情況。根據(jù)剪應力成對定理，橫線 aa,兩 端的剪應力必與截面兩側邊相切，即與剪力 Q Q 的 方向一致。由于對稱的關系，橫線 aa,中點處的剪 應力也必與 Q Q 的方向相同。根據(jù)這三點剪應力的 方向，可以設想aa,線上各點剪應力的方向皆平行 于剪力 Q Q。又因截面高度h h 大于寬度 b b,剪應力

3、的 數(shù)值沿橫線aa,不可能有太大變化，可以認為是均 勻分布的?；谏鲜龇治觯勺魅缦录僭O： , ,）橫截面上任一點處的剪應力方向均平行于剪力 2 2 ）剪應力沿截面寬度均勻分布。 基于上述假定得到的解，與精確解相 比有足夠的精確度。從圖 6 6- -6a6a 的橫彎梁中 截出 dxdx微段，其左右截面上的內力如圖 6 6- -6b6b 所示。梁的橫截面尺寸如圖 6 6- -6c6c 所 示，現(xiàn)欲求距中性軸 z z 為 y y 的橫線aa,處 的剪應力 過aa,用平行于中性層的縱 截面aa,cc,自 dxdx微段中截出一微塊（圖 6 6- -6d6d） 根據(jù)剪應力成對定理，微塊的縱截 面上存在均

4、勻分布的剪應力 。微塊左 右側面上正應力的合力分別為 N,和N2, 其中 N, idA 坐dA MS； A* A* I； I； (a(a) 梁的強度和變形的影響屬于次要因素， 系進行推導，而是在承認正應力公式（ as0-5浴觀而寬度剪度力的奇帶 （c） （ 囲根堆鍬塊平罰永勇應力 材料力學講義 2 3 式中，A*為微塊的側面面積, I （ II ）為面積A*中距中性 N2 II dA A* (M dM)% (M dM) * - dA - Sz A* Iz Iz (b(b) ) 軸為 y1處的正應力，S； y1dA。 由微塊沿 x x 方向的平衡條件 x 0,得 N1 N2 bdx 0 (c)

5、將式（a a）和式（b b）代入式 (c),得 如 S； bdx 0 I z ffi 6-矩劈厳囲萌曲力的分布 dM Sz dx bIz ，故求得橫截面上距中性軸為 y y 處橫線上各點的剪應力 為 * QSz br (6(6- -3 3) 式（6 6- -3 3）也適用于其它截面形式的梁。式中， Q Q 為截面上的剪力；Iz為整個截面對中 性軸 z z 的慣性矩；b b 為橫截面在所求應力點處的寬度； Sy為面積A*對中性軸的靜矩。 對于矩形截面梁（圖 * Sz yidA A 6 6- -7 7),可取dA bdy1，于是 一 :by1 dy1 這樣，式（6 6- -3 3）可寫成 _Q(h

6、l 2Iz( 4 y2) max 上式表明，沿截面高度剪應力 6 6- -7b7b） o在截面上、下邊緣處， y= y= 一，=0 =0 ；在中性軸上，z=0z=0, 按拋物線規(guī)律變化（圖 剪應力值最大，其值為 出序踐薪揃直力桶介* 第十八講 4 式中 A=bhA=bh，即矩形截面梁的最大剪應力是其平均剪應力的 32倍 2 .圓形截面梁 在圓形截面上（圖 6 6- -8 8）,任一平行于中性軸的橫線 aaaa1兩端處，剪應力的方向必切于圓周， 并相交于 y y 軸上的 c c 點。因此，橫線上各點剪應力方向是變化的。 但在中性軸上各點剪應力的方 Q Q,設為均勻分布，其值為最大。由式（ 6 6

7、- -3 3）求得 式中A d2，即圓截面的最大剪應力為其平均剪應力 4 的43倍。 3 .工字形截面梁 工字形截面梁由腹板和翼緣組成。式（ 6 6- -3 3 ）的計算結果表明，在翼緣上剪應力很小，在腹 板上剪應力沿腹板高度按拋物線規(guī)律變化，如圖 6 6- -9 9 所示。最大剪應力在中性軸上，其值為 Q(Sz)max max dl Z 式中（S Sz）max為中性軸一側截面面積對中性軸的靜 計算結果表明，腹板承擔的剪力約為 （0.950.950.970.97） Q Q,因此也可用下式計算 max的近似 值 式中 h h 1為腹板的高度，d d 為腹板的寬度。max 3Q 2 A (6(6-

8、 -4 4) max 4Q 3 A (6(6- -5 5) 向皆平行于剪力 矩。對于軋制的工字鋼，式中的 鋼表中查得。 max Q h1d 可以從型 材料力學講義 5 7-4 彎曲強度計算 根據(jù)前節(jié)的分析，對細長梁進行強度計算時 ，主要考慮彎矩的影響，因截面上的最大正應力 作用點處，彎曲剪應力為零，故該點為單向應力狀態(tài)。為保證梁的安全，梁的最大正應力點應滿 足強度條件 式中為材料的許用應力。對于等截面直梁，若材料的拉、壓強度相等，則最大彎矩的所在面 稱為危險面，危險面上距中性軸最遠的點稱為危險點。此時強度條件（ 6 6- -6 6 ）可表達為 式中 (6(6- -8 8) ymax 稱為抗彎截

9、面系數(shù)（或抗彎截面模量），其量綱為長度3。國際單位用 m m3或 mmmm3 直徑為d的圓截面，抗彎截面系數(shù)為 軋制型鋼（工字鋼、槽鋼等）的 Wz可從型鋼表中查得。 對于由脆性材料制成的梁， 由于其抗拉強度和抗壓強度相差甚大，所以要對最大拉應力 點和最大壓應力點分別進行校核。 max M maxy max (6(6- -6 6) max max (6(6- -7 7) Wz 對于寬度為 b、高度為h的矩形截面，抗彎截面系數(shù)為 bh3/ 12 h 2 Wz bh2 6 (6(6- -9 9) Wz d4 64 d 2 d3 32 (6(6- -1010) 內徑為d，外徑為D Wz 的空心圓截面, 抗彎截面系數(shù)為 (6(6- -1111) 第十八講 6 根據(jù)式（6 6- -7 7），可以解決三類強度問題，即強度校核，截面設計和許用載荷計算材料力學講義 7 需要指出的是，對于某些特殊情形，如梁的跨度較小或載荷靠近支座時，焊接或鉚接的 壁薄截面梁，或梁沿某一方向的抗剪能力較差（木梁的順紋方向，膠合梁的膠合層）等，還 需進行彎曲剪應力強度