2010-2019高考數(shù)學真題分類匯編第15講等差數(shù)列

1、專題六數(shù)列第十五講等差數(shù)列2019 年1. （2019 全國 1 理 9）記 Sn為等差數(shù)列aj的前 n 項和.已知S40,a5，貝U212A.an=2n-5B.an=3n-10C.Sn 2n8nD.Snn 2n22. （2019 全國 3 理 14）記 S 為等差數(shù)列an的前 n 項和，0, a?=3aj，貝US0 _S一- .3. （ 2019 江蘇 8 ）已知數(shù)列an（ n N*）是等差數(shù)列，Sn是其前 n 項和.若a2a5- a8=0, =27，則S8的值是_ .4. （2019 北京理 10）設等差數(shù)列 曲 的前 n 項和為Sn，若a?二-3,&二-10,則a =_. Sn的

2、最小值為 _ .2010-2018 年一、選擇題1. （2018 全國卷I）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S= S2S4,a 2，則二A.-12B.-10C.10D.122.（2017 新課標I）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和.若a4a 24,民=48，則務的公差為A . 1B . 2C. 4D. 83.（2017 新課標川）等差數(shù)列an的首項為 1,公差不為 0 .若a2,a3,a6成等比數(shù)列，則an前 6 項的和為A.-24B . -3C. 3D . 84. （2017 浙江）已知等差數(shù)列 訂的公差為d，前n項和為Sn，則“d 0”是12 .“S4+S62S5”的A .充分不必要條件

3、B .必要不充分條件5.6.C.充分必要條件（2016 年全國A. 100（2015重慶）D.既不充分也不必要條件I）已知等差數(shù)列an前 9 項的和為 27,B . 99C. 98在等差數(shù)列 N .中，若a4,a2,aio=8，貝V a。二D. 97（2015 浙江）已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn.若a3,a4,S8成等比數(shù)列，則A .d 0, dS40B .d : 0, dS4: 0C .0, dS4: 0D .a1d : 0, dS40（2014 遼寧）設等差數(shù)列an的公差為d,若數(shù)列2aian為遞減數(shù)列,（2014 福建）B .d 0C .a1d : 0D .a1d0等

4、差數(shù)列an的前n項和Sn,若a2,S12，則a6B . 10C . 12D . 1410.（2014 重慶）在等差數(shù)列an中，ai= 2,a3a5=10，則a7=11.（2013 新課標I）設等差數(shù)列C .10D .14an的前 n 項和為Sn,SmJ=2，Sm= 0,Sm 1=3，（2013 遼寧）下面是關于公差0的等差數(shù)列an的四個命題:Pl :數(shù)列Sn f是遞增數(shù)列;P2:數(shù)列:nan；是遞增數(shù)列;P3:數(shù)列 亞 是遞增數(shù)列;P4:數(shù)列an 3ndf 是遞增數(shù)列;其中的真命題為A .P1, P2B .P3, P4C .P2,P3D .P1, P4時Sn取最大值，則d的取值范圍13. （2

5、012 福建）等差數(shù)列 faj 中，aia10,a7，則數(shù)列曲的公差為A . 1B . 2C. 3D . 414.（2012 遼寧）在等差數(shù)列:an/中，已知a4+a8=16，則該數(shù)列前 11 項和Sn =A. 58 B. 88C. 143 D. 17615 .（2011 江西）設an為等差數(shù)列，公差d - -2,Sn為其前n項和，若S1=S1,則a1二A. 18B. 20C. 22D. 2416 . （2011 安徽）若數(shù)列 al 的通項公式是an=（-1）n（3n-2）,則a1 a 1 a =A . 15B . 12C .-二D . -T17 . （ 2011 天津）已知n /為等差數(shù)列，

6、其公差為-2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an?的前n項和，n N*，則編的值為A . 110B. 90C . 90D . 110218 . （2010 安徽）設數(shù)列an的前n項和Sn二n，則a8的值為A . 15B . 16C . 49D . 64二、填空題19 . （2018 北京）設an是等差數(shù)列，且a1=3,a0,a? +ag 0，則當n=_時的前n項和最大.玄沖，印=7,公差為d，前n項和為Sn，當且僅當n =822 . （2015 廣東）在等差數(shù)列23 . （2014 北京）若等差數(shù)列24 . （2014 江西）在等差數(shù)列25.（2013 新課標 2）等差數(shù)列 也門的前n項

7、和為Sn,已知So=O,S15=25，貝U nS.的最小值為_.26._ （ 2013 廣東）在等差數(shù)列taj中，已知a3+a8=10,則3a +a_.127.（2012 北京） 已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項和若a1,S2二a?,2貝V a2 =；Sn=_.28 . （ 2012 江西）設數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列，若a1b7,a3 b3=21,則a5+匕5 =_.229.（2012 廣東）已知遞增的等差數(shù)列_an滿足印=1,a3 =a2-4，則a.=.30.（2011 廣東）等差數(shù)列an前 9 項的和等于前 4 項的和.若 6=1,aa4=0,則k=_ .三、解答題31.（ 2018

8、 全國卷n）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，已知a -7,S =-15.（1）求an的通項公式；求Sn,并求Sn的最小值.32.（ 2017 北京）設an和bn是兩個等差數(shù)列，記Cn=maxb!-印n,b2- a?n,bn- a.n （n =1,2,3,）,其中max x-i,x2,xs表示，,xs這s個數(shù)中最大的數(shù).（I）若a.= n,bn =2n-1，求心，的值，并證明Cn是等差數(shù)列；（n）證明：或者對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，當n m時，CnM；或者存在n正整數(shù)m，使得Cm,Cm彳，Cm 2,是等差數(shù)列.33.（2016 年山東高考）已知數(shù)列：a的前 n 項和S 3n2 8n,心是等差數(shù)

9、列，且an -bn S 1.（I）求數(shù)列的通項公式；(a +1)r(n)令 c-廠 求數(shù)列 d 的前 n 項和 Tn.(b+2)n34.(2016 年天津高考)已知(an?是各項均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d,對任意的nN*,bn是an和an,的等差中項.(I)設Cn=b；.i.-b；, nN，求證：數(shù)列：cnf是等差數(shù)列；2n(n)設ai= d,Tn-1k 435.(2015 四川)設數(shù)列an的前n項和Sn=2an-ai，且ai,a21成等差數(shù)列(1) 求數(shù)列an的通項公式；11(2) 記數(shù)列的前n項和Tn,求得|Tn-1|成立的n的最小值。an100036. (2015 湖北)設等差數(shù)列an

10、的公差為d，前n項和為 Sn,等比數(shù)列g的公比為q.已 知 =a1,b2=2 , q = d , 00=100 .(I)求數(shù)列an , bn的通項公式；(n)當d .1時，記 Cn=也，求數(shù)列Cn的前n項和 Tn.bn37.(2014 新課標 1)已知 玄是遞增的等差數(shù)列，a2,a4是方程X2-5X，6 = 0的根.(I)求的通項公式；a 1(n)求數(shù)列 -n 的前n項和.12 J38. (2014 新課標 1)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a1=1,a- 0,a.an計-1，其 中為常數(shù).(I)證明：an 2 -a ；ibN*，求證:計沽.(n)是否存在 使得an為等差數(shù)列？并說明理由.39

11、.(2014 浙江)已知等差數(shù)列an的公差d 0，設an的前 n 項和為Sn,a1,S2S3=36.(I)求d及Sn；*(n)求m, k(m,k：=N)的值，使得am am 1 am J11 am k=65.40.( 2013 新課標 1)已知等差數(shù)列an的前n項和Sn滿足2=0,S5= -5.(I)求an的通項公式；1(n)求數(shù)列的前n項和.a2na2n 141.(2013 福建)已知等差數(shù)列an的公差d=1，前n項和為Sn.(I)若1,a1,a3成等比數(shù)列，求a1；(n)若S5- a1a9，求&的取值范圍.42.(2013 新課標 2)已知等差數(shù)列an的公差不為零，a1= 25，且

12、a1,a11,a13成等比數(shù)列.(I)求an的通項公式；(n)求a1 a4+a7 .43.(2013 山東)設等差數(shù)列fan?的前n項和為Sn,且S4=4S2,a2n=2a1.(I)求數(shù)列的通項公式；(n)設數(shù)列:bn的前n項和,且Tn旦J心(入為常數(shù))，令c b2n(nN*)求2數(shù)列 的前n項和R,.44.(2011 福建)已知等差數(shù)列fan?中，a1=1,a3- -3.(I)求數(shù)列春的通項公式；(n)若數(shù)列春的前k項和Sk=35，求k的值.45.(2010 浙江)設a1,d為實數(shù)， 首項為a1， 公差為d的等差數(shù)列a*的前n項和為Sn, 滿足S5S6+15=0.(I)若S5=5，求S6及a

13、1；(n)求d的取值范圍.專題六數(shù)列第十五講等差數(shù)列答案部分2019 年1解析：設等差數(shù)列.an的公差為d，由S4= 0, a5= 5，4a!6d = 0ai= -3得1，解得1，a145d =22所以an=2n-5, Sn=n -4n，故選 A.2解析設等差數(shù)列a*的公差為d，則由a1 0,a2 3a1可得，d 2a1,So10(a1a10)2(2a19d)2(2a118a1),Ss5(a1a5)2a14d 2a18a13解析 設等差數(shù)列a*的首項為印，公差為d,佝d)(a14d) a17d =0a_5則98，解得1.9a1d =27d= 28 7d所以Q =86 (-5) 15 2 =16

14、.2工a2二ai d - -3a4解析：由題意得，解得 =5+10d = 10Id =1所以a a14d = 0因為a：是- -個遞增數(shù)列，且a5=0.4乂3所以Sn的最小值為S4或S5,S4二S5= -4 41=-1022010-2018 年1. B【解析】通解設等差數(shù)列an的公差為d , 3S3二S2S4324匯33 3(3qd) =2q d 4印d，解得da1,222 a =2 , d一3,- a54d =2 4 (3) - -10.故選 B.優(yōu)解設等差數(shù)列an的公差為d , 3S3二S2S4,3S3- S3- a3S3a4,Tai= 2, d = -3, a5= a14 = 2 4(一

15、3) = -10.故選 B .2.C【解析】解法一 由-3(a1aeH3(a3a4)=48，得a?a16,由(a4a5)一心3a4)=8，得a a 8，設公差為d，即2d =8，所以d =4.選 C.X2a17d =24解法二設公差為d，則有1,解得d =4，故選 C.16印+15d =483. A【解析】設an的公差為d(d式0)，由a；=玄2比，得(1+2d)2= (1+ d)(1 + 5d),6漢5所以d = -2,S6-6 1(-2) = -24.選A.4.C【解析】T(& - S5) -(S5- S4) = a6-a5二d,當d 0，可得S4+S62S;當S4+S62S5,可

16、得d 0.所以“d 0”是“S4+S62Ss”充分必要條件，選 C.5.C【解析】設等差數(shù)列an的公差為d，因為an為等差數(shù)列，且S9二9a 27，所以a5= 3.又a10= 8，解得5d = a10- a5= 5，所以d = 1，所以a100二a5 95d = 98, 選C.6. B【解析】由等差數(shù)列的性質得a2aa 2 2 - 4 = 0,選 Ba 2.S3 =a4 -a3,3ai3 2d二d,227. B【解析】由a3,a4,a8成等比數(shù)列可得：(a“+3d)=佝+2小)？佝7d),即3ai+5d = 0,所以3! =-5d，所以aid 0.3又+a4)?4d =2(2a1+3d)d =

17、-2d20.23& C【解析】數(shù)列2為遞減數(shù)列，a1aa1a1(n- 1)da1dnadaj-d)，等式右邊為關于n的一次函數(shù)，a1d : 0.9.C【解析】 設等差數(shù)列an的公差為d，則3ai3d，所以12 = 3 2 3d，解得d =2，所以a6=12.10. B【解析】由等差數(shù)列的性質得a1a7=a3a5，因為a1=2,a3a= 10,所以a7= 8,選 B.11 . C【解析】有題意知Sm=ma? a”)=0a=- am= - (Sm- Smj)= -2,am +=Sm十一Sm=3，公差d=amH1 am=1，3=amH= 2 + m,m=5，故選 C.12. D【解析】設aa

18、1- (n -1)d =dn - m,所以正確；如果a 3n-12則滿足已知，但na.=3n2-12n并非遞增所以p?錯；如果若a nT，則滿足已知，但an1-，是遞減數(shù)列，所以P3錯；an3n4dn m，所以是遞增數(shù)列，P4正nn確.13. B【解析】由題意有a1a 2a3= 10,a3= 5,又Ta4= 7, a4- a3= 2, d = 2.11 a1+a11)14.B【解析】a4+a8=2a6=16 a6=8，而S11=-=11a6=88，故選 B.215. B【解析】由Sg =01，得印1二Sn-00 =0,a1=a11- (1 11)d =0(一10) (2) = 20.16. A

19、【解析】a1a?內(nèi)。=-1 4 -7 10(T)10(3 10-2)n1 1 1 1 1 1所以心亍2(17(廠1廠七22.10 【解析】由a3a4a5a6a25得5a5= 25，所以a= 5, 故a2+ a8= 2a5=10.23.8【解析】數(shù)列：anf是等差數(shù)列，且a7a$ a? 3as0,a80.又=(-1 4) (-7 10)( -1)9(3 9 -2) (1)10(3 10-2) =15.17. D【解析】因為ay是as與a9的等比中項，所以a；二asa?，又數(shù)列：an/的公差為-2,所以(a一12)2=佝-4)(印-16)，解得a20,故a.=20 (n-1) (2) =22_2n

20、,所以S0=10佝2a10)=5 (20 2)=110.18.A【解析】a$= Sg S7= 64 49 =15.19.14【解析】解法設an的公差為d，首項為a1，貝y B2d=0,5d a16d =14l a*i - - 47; :6解得d=2，所以A7(一4)-T 14.解法二2a37d =14，所以d = 2.故a4= a3d=2，故S7=7a4=7 2=14.20.an=6n-3【解=a1d a14d = 6 5d = 36,21. d =6，二an=3 (n1) 6=6n _3.2【解析】設等差數(shù)列的首項為a1，公差為n 1a123，貝V4 3，4a1+ d =10 L2解得a1=

21、1,d =1,3 d=4，所以丄22Sn占2（汁），)=2(1-丄)二2na7 a =a$ag：:0, ag：:0當n=8 時，其前n項和最大.即a5b5221，解得a5b35.數(shù)列.故由等差中項的性質，得a5b5& b = 2 aaba,d cO7I& /口24.(-1,-)【解析】由題意可知，當且僅當n=8時Sn取最大值，可得0，解得8a? 025 49【解析】設CaJ的首項為印，公差d，由So= 0,S5= 25，得2a19d =03印+21d =5213 2解得可-3,d,nSnn3-10n23313 2 220設fn n10n,fn=n n,3313當n = 6時，f

22、 66 10 36二-481當n = 7時，f n7s-10 72二-49-n= 7 時，nSn取得最小值-49.26. 20【解析】 依題意2a19d =10,所以3a5a? =3Q 4d & 6d = 4 18d二20.或：3&5a7- 2 a3a8- 20【解析】設公差為 d,則2a1a12d，把a,二丄代入得d二丄,2 2a2=1,Sn=4 n(n 1)4”：20時f n .0，當n320亍f n 0，由n N*,27. 1,n(n 1)428. 35【解析】(解法一)因為數(shù)列an, bn都是等差數(shù)列，所以數(shù)列（解法二）設數(shù)列an,bn的公差分別為di,d2,因為a3b

23、 (a12d1)(b12d2) = (a1bi)2(d1d2 72(d1d2 21所以d1d2= 7所以a5b5= (a3b3)2(d1d2 35.2 229.an =2n -1【解析】ai=1耳 二a?-4：= 1 2d = (1 d) -4：=d = 2：=an= 2 n 130.10【解析】設an的公差為d，由S9-S4及a1,/口9漢84漢31得9 1 d=41 d，所以d.又aka4= 0,2 2 611所以1 (k -1) () 1 (4 -1) () =0,66即k =10.31.【解析】(1)設an的公差為 d，由題意得3a13 -15.由 a 7得 d=2.所以an的通項公式

24、為an=2n-9.2 2由(1)得S =n -8n=(n-4) -16.所以當n =4時，Sn取得最小值，最小值為-16.32.【解析】(I)易知a1,a2,a3且 d=1,b?=3,b5所以c b1- a1= 1 -1 = 0,q = maxt1-262-2a2 = max1-2 1,3-2 2 = T,C3二maxg-3 印 4-3a2, d-3a3 = max1 -3 1,3-3 2,5 -3 3 =-2.下面證明：對任意n N*且n 2，都有Cn = d - a1n.當N*且2 k n時，(bk-akn) _(d_印n)= (2k -1)-nk -1 n= (2k一2)一n(k -1)

25、= (k-1)(2 - n)/ k -10且2 _n(bk- akn).因此對任意n N*且n2,cbi-ain =1 - n，則Cn 1一Cn =一1. 又.C?_ C二_1,故Cm -Cn- -1對nN*均成立，從而Cn是等差數(shù)列(n)設數(shù)列an和bn的公差分別為da,db，下面我們考慮Cn的取值.對D - a1n,b2- a2n,bn- ann,考慮其中任意項b- ai-n (i N*且1wiwn),b -ain珂b (i 1 (i 1)da n=(d-印n) (i -1)(db-dan)下面分da =0,da0,da m時，-dan db：0則當n m時，(bi-ain) -(bi_a

26、in)二(i -1)(-dan db) 0 (iN,1 i m時，cn= 0-印 n.此時Cn 1- Cn二-ai，故Cn從第m項開始為等差數(shù)列，命題成立.(3)da: 0，則此時-dan db為一個關于n的一次項系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù).故必存在s N,使得當n s時，-dan db0則當n s時，(b -ajn) -(bn-ann) = (i -n)( -dan db) 0 (i N ,1 i s時，cn= bn-bn- annbn- db此時 _an_ - -dan （da_印db）-n nnn令-da=AO,d_a-d=B,b- db=CcC下面證明=An B對任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，使

27、得當n m時,nnCnM.n若C 0,則取m珂型 旦 1(x表示不等于x的最大整數(shù))A當n m時，CnAn BAm B二A（|M色1） B AB = MnAA此時命題成立.若C：0,則取|M -C -B|Cn An B C Am B C 二 A(|MB| 1) B C n A M -C-B B C=M此時命題成立.因此，對任意正數(shù)M，使得當n m時， .M.n綜合以上三種情況，命題得證.33.【解析】(I)因為數(shù)列 玄 f 的前n項和Sn=3n? 8n,所以a11，當n_2時，an二Sn_ &=3n28n _ 3( n _ 1)2_8(n _1) =6n 5,又an=6n 5對n =1也成立，所以an=