第十章10.1.3古典概型

1、10-1.3古典概型1理解古典概型的概念及特點(diǎn)2掌握利用古典概型概率公式解決簡(jiǎn)單的概率il算問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)一隨機(jī)事件的概率對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量（數(shù)值）稱為事件的概率,事件A的概率用PG4）表示.知識(shí)點(diǎn)二古典概型一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：（1）有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有有限個(gè);（2）等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性相等.稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型.知識(shí)點(diǎn)三古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Q包含個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本 點(diǎn)，則泄義事件A的概率P（A）=f=縉.思考辨析思考辨析 判斷正誤判斷正誤-1.古典概型中每個(gè)事

2、件發(fā)生的可能性相同.（X）2.古典概型有兩個(gè)重要條件：樣本空間中樣本點(diǎn)總數(shù)是有限的，每次試臉只出現(xiàn)其中的一 個(gè)結(jié)果；各個(gè)樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的.（V）3.用古典概型的概率公式可求在線段0,5上任取一點(diǎn)，此點(diǎn)小于2的概率.（X ）4.從甲地到乙地共條線路，且這”條線路長(zhǎng)短各不相同，求菜人任選一條路線正好選中最 短路線的概率是古典槪型問(wèn)題.（V）一古典概型的判斷例1下列概率模型是古典概型嗎？為什么？(1)從區(qū)間1,10內(nèi)任意取出一個(gè)實(shí)數(shù)，求取到實(shí)數(shù)2的概率：向上拋擲一枚不均勻的舊硬幣，求正面朝上的概率；從1,2,3,100這100個(gè)整數(shù)中任意取出一個(gè)整數(shù)，求取到偶數(shù)的概率.解(1)不是古典概型，因

3、為區(qū)間1,10中有無(wú)限多個(gè)實(shí)數(shù)，取出的實(shí)數(shù)有無(wú)限多種結(jié)果，與 古典概型定義中“所有可能結(jié)果只有有限個(gè)”矛盾.(2)不是古典概型，因?yàn)橛矌挪痪鶆驅(qū)е隆罢娉稀迸c“反面朝上”的概率不相等，與古 典概型定義中每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同”矛盾.(3)是古典概型，因?yàn)樵谠囼?yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限的，而且每個(gè)整數(shù)被抽到的可能 性相等.反思感悟古典概型需滿足兩個(gè)條件(1)樣本點(diǎn)總數(shù)有限.(2)各個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.跟蹤訓(xùn)練1下列問(wèn)題中是古典概型的是()A.種下一粒楊樹(shù)種子，求其能長(zhǎng)成大樹(shù)的概率B.擲一顆質(zhì)地不均勻的骰子，求擲出1點(diǎn)的概率C.在區(qū)間2,4上任取一數(shù)，求這個(gè)數(shù)大于1.5的概率D.

4、同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，求向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的槪率答案D解析A, B兩項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的出現(xiàn)不是等可能的；C項(xiàng)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú)限多個(gè)；D項(xiàng) 中樣本點(diǎn)的出現(xiàn)是等可能的，且是有限個(gè)故選D.二、古典概型概率的計(jì)算例2一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相等的1個(gè)白球和已編有不同號(hào)碼的3個(gè)黑球，從中摸岀2個(gè)球. 求：(1)樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)“：(2)事件“摸出2個(gè)黑球”包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)：(3)摸出2個(gè)黑球的概率.解由于4個(gè)球的大小相等，摸出每個(gè)球的可能性是均等的，所以是古典概型.(1)將黑球編號(hào)為黑I，黑2,黑3,從裝有4個(gè)球的口袋內(nèi)摸出2個(gè)球，樣本空間Q=(黑1,黑2),(黑I,黑3),(黑1,白)，(黑2,黑

5、3),(黑2,白)，(黑3,白), 其中共有6個(gè)樣本點(diǎn).(2)事件“摸出2個(gè)黑球” =(黑I，黑2)，(黑2，黑3)，(黑I，黑3)，共3個(gè)樣本點(diǎn).31(3)樣本點(diǎn)總數(shù)”=6,事件“摸出兩個(gè)黑球”包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)加=3,故即摸出2個(gè)黑球的概率為*.反思感悟求古典概型槪率的步驟(1)確定樣本空間的樣本點(diǎn)的總數(shù)“ (2)確定所求事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)加.P(A)=牛.跟蹤訓(xùn)練2為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中， 余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是_準(zhǔn)案-口3解析 從4種顏色的花中任選2種顏色的花種在一個(gè)花壇中，余下2種顏色的花種在

6、另一花 壇的種數(shù)有：紅黃一白紫、紅白一黃紫、紅紫一白黃、黃白一紅紫、黃紫一紅白、白紫一紅 黃，共6種，其中紅色和紫色的花不在同一花壇的種數(shù)有紅黃一白紫、紅白一黃紫、黃紫一42紅白、白紫一紅黃，共4種，故所求概率為P=|.三、較復(fù)雜的古典概型的概率計(jì)算例3先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子.(1)求點(diǎn)數(shù)之和為7的概率：(2)求擲出兩個(gè)4點(diǎn)的概率：(3)求點(diǎn)數(shù)之和能被3整除的槪率.解 如圖所示，從圖中容易看出樣本點(diǎn)與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，共36種.記“點(diǎn)數(shù)之和為7”為事件兒 從圖中可以看出，事件A包含的樣本點(diǎn)共有6個(gè)：(6J),(5,2). (4,3), (3.4), (2,5). (1.6).故PS)需(2)

7、記擲出兩個(gè)4點(diǎn)”為事件B,從圖中可以看出，事件B包含的樣本點(diǎn)只有1個(gè)，即(4,4).故P(B)=(3)記點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C,則事件C包含的樣本點(diǎn)共12個(gè):(1,2), (2,1), (1,5).(5,1) , (2,4), (4,2). (3,3), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6,6).12 1故P(G=j=亍反思感悟 在求概率時(shí)，若事件可以表示成有序數(shù)對(duì)的形式，則可以把全體樣本點(diǎn)用平面直 角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示，即釆用圖表的形式可以準(zhǔn)確地找出樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)故釆用數(shù)形結(jié)合法 求槪率可以使解決問(wèn)題的過(guò)程變得形象、直觀，更方便.跟蹤訓(xùn)練3某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞

8、洲國(guó)家Ai,出，如和3個(gè)歐洲國(guó)家Bi, B2,厲中 選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率：(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括AM旦不包括B的概率.解(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果有(A】，A2),(AHA3),(Au Bi), (Au B2), (Au B, (Ait A3), (A2, Bi), (A2, B2), (Ait B (A3, Bi), (A3,(A3, B3), (B, B?), (Bj, B3), (B29 B3),共15個(gè).所選2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的基本事件有(Ai

9、, A2), (Ai, A3), (A2,缶)，共3個(gè)，3則所求事件的概率為P=s=i(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)， 其一切可能的結(jié)果有(A“ Bi), (A, B(AHBj, (Ai. b), (Ai. B)(A2, B3),，Bi),，B,(AS9B3),共9個(gè).包括川但不包括Bi的事件所包含的基本事件有(AHB2),(AHBJ)9共2個(gè)，2則所求事件的概率為P=1下列不是古典概型的是()A.從6名同學(xué)中，選岀4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小B.同時(shí)擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率C.近三天中有一天降雨的概率D. 10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的槪率答案C解析A

10、, B, D為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性，而C不滿足等可能性，故不為古典概型.2甲.乙、丙三名同學(xué)站成一排，甲站在中間的概率是()答案C解析樣本點(diǎn)有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六個(gè)甲站在中間21的事件包括：乙甲丙.丙甲乙，共2個(gè)，所以甲站在中間的概率P= = y3已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的 概率為()A.0.4B.0.6C.0.8D答案B解析 記3件合格品分別為和，出，缶,2件次品分別為5,血，從5件產(chǎn)品中任取2件， 有(A|,加)，(A】，人3)，(Ai, BJ, (A,2)，(人2，)，

11、(人2, BJ, (A? Bj, (A3, BJ, (A3,血)，(b, BJ,共10種可能，其中恰有一件次品有6種可能，由古典概型得所求事件概率,6:勺花=0.6.4.用1,2,3組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)能被2整除的概率是()答案C解析 用1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)共6個(gè)，分別為123,132,213,231,312,321,其中能被2整除的有132,312這2個(gè)數(shù)，故能被2整除的概率為扌5._從1,2,345中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，則其和為5的概率是_答案0.2解析兩數(shù)之和等于5有兩種情況(14)和(2,3),總的樣本點(diǎn)有：(1,2), (L3), (1.4), (1,5),

12、7(2,3), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5), (45),共10種,所以P=Q.2.課堂小結(jié)-1知識(shí)清單：(1)古典概型.(2)古典概型的概率公式.2方法歸納：常用列舉法(列表法、樹(shù)狀圖)求樣本點(diǎn)的總數(shù).3常見(jiàn)誤區(qū)：列舉樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)時(shí)，要按照一定順序，做到不重.不漏.1.下列是古典概型的是（）A.任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為樣本點(diǎn)B.求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取岀的正整數(shù)作為樣本點(diǎn)C.在甲、乙、丙、丁4劃志愿者中，任選一名志愿者去參加跳髙項(xiàng)目，求甲被選中的概率D.拋擲一枚均勻硬幣首次岀現(xiàn)正而為止，拋擲的次數(shù)作為樣本點(diǎn)答案C解析A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和

13、出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是無(wú) 限的，故B不是；C項(xiàng)中滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；D項(xiàng)中樣 本點(diǎn)既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是.2.4張卡片上分別寫有數(shù)字123,4,從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的 數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為（）答案C解析 試驗(yàn)的樣本空間。=(1,2), (13), (14), (23), (2,4), (3,4),共6個(gè)樣本點(diǎn)，且每2個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，數(shù)字之和為奇數(shù)的有4個(gè)樣本點(diǎn)，所以所求概率為名3從1,234中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是()答案B解析樣本點(diǎn)的總數(shù)為6,構(gòu)成

14、取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2”這個(gè)事件的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2,2 1所以所求概率故選B.4.小敏打開(kāi)計(jì)算機(jī)時(shí)，忘記了開(kāi)機(jī)密碼的前兩位，只記得第一位是M, /, N中的一個(gè)字母, 第二位是123,4,5中的一個(gè)數(shù)字，則小敏輸入一次密碼能夠成功開(kāi)機(jī)的概率是()答案C解析Q=(M,1), (M2), (M3), (M4), (M,5), (Al). (A2), (/,3), (A4), (Z,5), (N,l), (M2), (M3), (N,4), (N,5),基本事件總數(shù)為15.正確的開(kāi)機(jī)密碼只有1種，P=吉.5.從123,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為“，從1,2,3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b,則ha的概率是

15、()答案D解析 設(shè)“所取的數(shù)中為事件A,如果把選出的數(shù)心b寫成數(shù)對(duì)(心b)的形式， 則樣 本空間。 =(1,1),(1,2), (13), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (4,1), (42), (4,3),(5,1) . (5,2). (5,3),共15個(gè)，事件A包含的樣本點(diǎn)有(1,2), (1,3), (2,3).共3個(gè)，因此所31求的概率P(A)=肓=6._從三男三女共6統(tǒng)學(xué)生中任選2統(tǒng)(每名同學(xué)被選中的概率均相等)， 則2名都是女同學(xué)的 概率為.效克-口涼5解析 用A, B, C分別表示三名男同學(xué)，用心b, c分別表示三名女同學(xué)，則

16、從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為AB, AC, Aa9Ab, Ac BC9Ba9Bb9Be、Cg Cb9Cc, ab9ac9be.共15種其中2名都是女同學(xué)包括“，uc, be,共3種故所求的概率為古=7.在123,4四個(gè)數(shù)中，可重復(fù)地選取兩個(gè)數(shù)，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的概率是1-6D1 -4C1 -31-23答案I解析 用列舉法知，可重復(fù)地選取兩個(gè)數(shù)共有16種可能，其中一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的2倍的41有（1,2）, （2,1）, （2,4）, （42）共4種，故所求的概率為南=孝8袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個(gè)，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球“個(gè).已知從袋子

17、中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)是2的小球的概率是*, 則”的值為_(kāi).答案2解析 由題意可知匸;+=解得=2.9.某學(xué)校有初級(jí)教師21人，中級(jí)教師14人，高級(jí)教師7人，現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從 這些教師中抽取6人對(duì)績(jī)效工資情況進(jìn)行調(diào)查.（1）求應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)教師中分別抽取的人數(shù)；（2）若從分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中隨機(jī)抽取2名教師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析， 求抽取的2名教師均為初級(jí)教師的概率.解（1）共抽取6人，又21：14：7=3：2：1,所以應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)教師中 抽取的人數(shù)分別為3, 2,1.（2）在分層隨機(jī)抽樣抽取的6名教師中，3名初級(jí)教師分別記為兒，A2, A3.2

18、名中級(jí)教師分別 記為出，高級(jí)教師記為缶，則從中抽取2名教師的樣本空間為P=（Ai, A2）,（Ai, A3）, G4, A4）,（AHA5），（Al，人6），（人2人3）,（人2，人4）,（人2，人5），人6），（人3人4），缶）， （心慫），（心As）, （An A6）,（AS,A6）,即樣本點(diǎn)的總數(shù)為15抽取的2名教師均為初級(jí) 教師（記為事件B）包含的樣本點(diǎn)為（川，出），（Ai,如），（如，如），共3個(gè).31所以P（B）=厲=亍10某小組共有A，B, C, D, E五位同學(xué)，他們的身高（單位：米）及體重指標(biāo)（單位：千克/ 米2）如下表所示：ABCDE身髙1.691.731.751.79L8

19、2體重指標(biāo)19.225.11&523320.9（1）從該小組身高低于1.80米的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身髙都在1.78米以下的槪率;(2)從該小組同學(xué)中任選2人， 求選到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中的槪率.解(1)由題意知，從該小組身高低于1.80米的同學(xué)中任選2人這一試驗(yàn)&的樣本空間O =AB, AC,AD, BC, BD, CD,共6個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同，故屬 于古典概型.設(shè)事件M表示“選到的2人身高都在1.78米以下”，則M=AB, AC, BC,共含有3個(gè)樣本點(diǎn)，31所以P(M)=&=7(2)從該小組

20、同學(xué)中任選2人， 這一試驗(yàn) Q 的樣本空間Qi=AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE,共10個(gè)樣本點(diǎn)，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等.設(shè)事件N表示“選 到的2人的身高都在1.70米以上且體重指標(biāo)都在18.5,23.9)中”，則N=C0 CE, DE),3共含有3個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(N)=11如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)， 則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)， 從123,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A R丄C D 宀10 5e10u20答案A解析 從123,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)的樣本空間Q=(123), (1,2,

21、4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5),(2,3,4), (2,3,5), (2,4,5), (3,4,5),共10個(gè),其中勾股數(shù)有(3,4,5),所以概 率為哈.12.先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子(它們的六個(gè)而分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)12345,6),骰子朝上的而 的點(diǎn)數(shù)分別為x, y,則log2ty= 1的概率為()A6B36C-12D2答案C或或f /滿足log=l，故事件loglvy=l包含3個(gè)樣本點(diǎn)，所以所求的）=4 ty=631概率為卩=召=7513.次擲兩枚均勻的骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為川和”，則關(guān)于x的方程*+伽+小+4=0無(wú)實(shí)數(shù)根的概率是_ .答案解析總的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為36.因?yàn)榉匠虩o(wú)實(shí)根，所以=伽+對(duì)2160.即用+” 12,3,4,6,所以fx= 1 lv=2任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A丄