直線(xiàn)的傾斜角與斜率

1、直線(xiàn)的傾斜角與斜率 儘撰稿：趙代立責(zé)編：丁會(huì)敏一、目標(biāo)認(rèn)知l-i學(xué)習(xí)目標(biāo)：商1了解直線(xiàn)傾斜角的概念，掌握直線(xiàn)傾斜角的范圍；2理解直線(xiàn)斜率的概念，理解各傾斜角是時(shí)的直線(xiàn)沒(méi)有斜率；3已知直線(xiàn)的傾斜角（或斜率），會(huì)求直線(xiàn)的斜率（或傾斜角）;4 掌握經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).和-一 _ 的直線(xiàn)的斜率公式：j 1（亠二）；5.熟練掌握兩條直線(xiàn)平行與垂直的充要條件重點(diǎn)：31 直線(xiàn)的傾斜角和斜率的概念；2.兩條直線(xiàn)平行和垂直的條件難點(diǎn)：猛1 直線(xiàn)斜率存在與不存在的分類(lèi)討論2兩直線(xiàn)的平行與垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化與兩直線(xiàn)的斜率的關(guān)系問(wèn)題二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：直線(xiàn)的傾斜角商平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與：軸相交的直線(xiàn)，如果把軸繞著交點(diǎn)按

2、逆時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)到和直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為二，則二叫做直線(xiàn)的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線(xiàn)和一軸平行或重合時(shí)，直線(xiàn)傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是5住1刖.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?要清楚定義中含有的三個(gè)條件 直線(xiàn)向上方向； 丄軸正向； 小于1 '的角2從運(yùn)動(dòng)變化觀(guān)點(diǎn)來(lái)看， 直線(xiàn)的傾斜角是由:.軸按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線(xiàn)重合時(shí)所成 的角3傾斜角二的范圍是 d - i ：'.當(dāng):$=:'時(shí)，直線(xiàn)與x軸平行或與x軸重合4直線(xiàn)的傾斜角描述了直線(xiàn)的傾斜程度，每一條直線(xiàn)都有惟一的傾斜角和它對(duì)應(yīng)5已知直線(xiàn)的傾斜角不能確定直線(xiàn)的位置，但是，直線(xiàn)上的一點(diǎn)和這條直線(xiàn)的傾斜角可以唯一確定直線(xiàn)的位置知識(shí)點(diǎn)二：直線(xiàn)

3、的斜率商傾斜角不是列的直線(xiàn)，它的傾斜角的正切叫做這條直線(xiàn)的斜率，常用表示，即: 亠要點(diǎn)詮釋?zhuān)?.當(dāng)直線(xiàn).與x軸平行或重合時(shí)，r? =0 ° , k=tanO ° =0;2直線(xiàn).與x軸垂直時(shí)，二=90 ° , k不存在.由此可知，一條直線(xiàn).的傾斜角二一定存在，但是斜率 k不一定存在.知識(shí)點(diǎn)三：斜率公式猛已知點(diǎn)、丄一 丨，且:;. 與.軸不垂直，過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率公式J '1 .要點(diǎn)詮釋?zhuān)?. 對(duì)于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：(1) 當(dāng)X!=X2時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線(xiàn)的斜率不存在，傾斜角二=90 °，直線(xiàn)與x軸垂直；(2) k與Pi、P2的順序無(wú)

4、關(guān)，即yi, y2和Xi, X2在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但 分子與分母不能交換；(3) 斜率k可以不通過(guò)傾斜角而直接由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；當(dāng)yi=y2時(shí)，斜率k=0，直線(xiàn)的傾斜角 二=0°，直線(xiàn)與x軸平行或重合；(5)求直線(xiàn)的傾斜角可以由直線(xiàn)上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到.2. 斜率公式的用途：由公式可解決下列類(lèi)型的問(wèn)題：(1)由"、二點(diǎn)的坐標(biāo)求：的值；已知:及中的三個(gè)量可求第四個(gè)量;已知及丄1、.的橫坐標(biāo)(或縱坐標(biāo))可求2?'.(4)證明三點(diǎn)共線(xiàn)知識(shí)點(diǎn)四：兩直線(xiàn)平行隘設(shè)兩條不重合的直線(xiàn)；v的斜率分別為【匸.若；，則1與V的傾斜角 J與：相等.由可得：二二一定

5、鈔，即因此，若：，則"二二.反之，若如：，則J ' - 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?公式 '|:.':=:門(mén)二廠(chǎng)成立的前提條件是兩條直線(xiàn)的斜率存在分別為':- ' J ;2當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率都不存在且不重合時(shí)，'口：的傾斜角都是耳'，則； j .知識(shí)點(diǎn)五：兩直線(xiàn)垂直蠢設(shè)兩條直線(xiàn)；1的斜率分別為匸.若一”叮：匚二-.要點(diǎn)詮釋?zhuān)?公式' = 1匚一 1成立的 前提條件是兩條直線(xiàn)的斜率都存在；2.當(dāng)一條垂直直線(xiàn)的斜率不存在，另一條直線(xiàn)的斜率為0時(shí)，兩條直線(xiàn)也垂直.三、規(guī)律方法指導(dǎo)蠱|1 由斜率的定義可知，當(dāng)二在范圍內(nèi)時(shí)，直線(xiàn)的斜率大于零；當(dāng)二在

6、:范圍內(nèi)時(shí)，直線(xiàn)的斜率小于零；當(dāng) -11時(shí)，直線(xiàn)的斜率為零；當(dāng) Q :川時(shí)，直線(xiàn)的斜率不 存在直線(xiàn)的斜率與直線(xiàn)的傾斜角（頁(yè)r除外）為對(duì)應(yīng)關(guān)系，且在°型）和（9°阿范圍內(nèi)分 別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然因此若需在°）或（90',180）范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然.2 直線(xiàn)的斜率可用于直線(xiàn)的平行 （重合）、垂直等位置關(guān)系的判斷，直線(xiàn)傾斜角的范圍、 大小的判斷、求解及直線(xiàn)方程的求解等.3我們?cè)谂袛鄡芍本€(xiàn)的平行與垂直時(shí)，往往先判斷直線(xiàn)的斜率是否存在，然后再根據(jù)具體情況進(jìn)行判斷；4判斷兩直線(xiàn)平行時(shí)，易忽略?xún)芍?/p>

7、線(xiàn)重合的情況，需特別注意；5.平行、垂直的判斷中，斜率不存在的情況易忽略致錯(cuò)，需特別注意經(jīng)典例題透析商|類(lèi)型一：傾斜角與斜率的關(guān)系 焉1.已知直線(xiàn).的傾斜角的變化范圍為二C2)，求該直線(xiàn)斜率的變化范圍； 閉思路點(diǎn)撥：已知角的范圍，通過(guò)正切函數(shù)的圖像，可以求得斜率的范圍，反之，已知斜率的范圍, 通過(guò)正切函數(shù)的圖像，可以求得角的范圍解析：tan ae總結(jié)升華：在知道斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍，或知道傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍時(shí)，可利用“二,-'1 -在一和_'和上是增函數(shù)分別求解當(dāng)“時(shí)，'"J；.、 HE (f/Ij當(dāng)'J.時(shí)，一 ；當(dāng)：.時(shí)，

8、Q I ;當(dāng)*不存在時(shí),開(kāi)df 2 反之，亦成立.舉一反三:【變式】(2010山東濰坊，模擬)直線(xiàn)II的傾斜角的范圍是開(kāi) ttY (7T 5ttB.r 5tt盯C.【答案】B解析：由直線(xiàn)II所以直線(xiàn)的斜率為COSS7T 57V設(shè)直線(xiàn)的傾斜角為又因?yàn)閠an 3 ,2 .已知 ABC為正三角形，頂點(diǎn)A在x軸上，A在邊BC的右側(cè)，/ BAC的平分線(xiàn)在x軸上，求邊AB與AC所在直線(xiàn)的斜率忘思路點(diǎn)撥:本題關(guān)鍵點(diǎn)是求出邊 解析：AB與AC所在直線(xiàn)的傾斜角，利用斜率的定義求出斜率如右圖，由題意知/BAO= / OAC=30=kAC =ta n30° =匚直線(xiàn)AB的傾斜角為180° -30

9、° =150°,直線(xiàn)AC的傾斜角為30°,二 kAB=tan150 °總結(jié)升華：在做題的過(guò)程中，要清楚傾斜角的定義中含有的三個(gè)條件直線(xiàn)向上方向：軸正向 小于'；，的角，只有這樣才能正確的求出傾斜角舉一反三：【變式1】如圖，直線(xiàn)的斜率分別為'-，則（）A. ：. - - B. D. < - 【答案】由題意,本題選題意圖：對(duì)傾斜角二變化時(shí)，T如何變化的定性分析理解選B.類(lèi)型三：斜率公式的應(yīng)用3 .求經(jīng)過(guò)點(diǎn)二匚，直線(xiàn)的斜率并判斷傾斜角 為銳角還是鈍角.審思路點(diǎn)撥：已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求斜率，直接利用斜率公式即可 解析：V ab 10 且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的

10、直線(xiàn)的斜率b-mb itan = -即一；即當(dāng).；L.時(shí)，二為銳角，當(dāng)' .II時(shí)，二為鈍角.總結(jié)升華：btan Ch* 本題求出 但一的符號(hào)不能確定，我們通過(guò)確定 丄一的符號(hào)來(lái)確定:的符號(hào)當(dāng)；II時(shí),，為銳角；當(dāng)時(shí)，二為鈍角.舉一反三：【變式1】過(guò)兩點(diǎn)上 二，川匚一.；一二；|的直線(xiàn).的傾斜角為 T,求的值.【答案】由題意得：直線(xiàn)-的斜率- 1,匕二山_片_2/ + 3AA= 1故由斜率公式-'j <-一廠(chǎng)一廠(chǎng) -,解得< -：1或二 2.經(jīng)檢驗(yàn)- -1不適合，舍去.故，I.【變式2】匸為何值時(shí)，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)（-匸,6）, （1,：）的直線(xiàn)的斜率是12.【答案】即當(dāng)二

11、 一時(shí)，J兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率是 12.4 .已知三點(diǎn)A(a , 2)、B(3 , 7)、C(-2, -9a)在一條直線(xiàn)上，求實(shí)數(shù)a的值.商思路點(diǎn)撥：如果過(guò)點(diǎn)AB , BC的斜率相等，那么 A, B, C三點(diǎn)共線(xiàn).解析:,7-2 5 ,7 + 9盤(pán) 7 + 9逢血 3-a 3-a 恥 3 + 25/ A、B、C三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，kAB = kAC .5 _7 + 9a I7!5亠、 . ? 解之有汁2或“二9總結(jié)升華：斜率公式可以證明三點(diǎn)共線(xiàn)，前提是他們有一個(gè)公共點(diǎn)且斜率相等舉一反三：【變式1】已知，這三點(diǎn)是否在同一條直線(xiàn)上，為什么?【答案】經(jīng)過(guò)，J兩點(diǎn)直線(xiàn)的斜率-經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的直線(xiàn)的斜率所以，丄，

12、三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.【變式2】已知直線(xiàn)的斜率 4 2,恥5),咚7), C(7 y)是這條直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)，求.和的值.【答案】由已知，得工-3 ；%”m -4 .因?yàn)橐粊A，三點(diǎn)都在斜率為2的直線(xiàn)上,2 =2所以J汽2，. .解得._，"二類(lèi)型四：兩直線(xiàn)平行與垂直痣05四邊形丄的頂點(diǎn)為,試判斷四邊形，二1_二的形狀 喘思路點(diǎn)撥：證明一個(gè)四邊形為矩形， 我們往往先證明這個(gè)四邊形為平行四邊形，然后再證明平行四邊形的一個(gè)角為直角解析：-，CD 邊所在直線(xiàn)的斜率-，一邊所在直線(xiàn)的斜率一二邊所在直線(xiàn)的斜率'上：-,1-二上，即四邊形 二|_二為平行四邊形.:.ABLBC ，即四邊形 AB

13、CD 為矩形.總結(jié)升華：證明不重和的的兩直線(xiàn)平行，只需要他們的斜率相等， 證明垂直，只需要他們斜率的乘積為-1.舉一反三：【變式i】已知四邊形 亠-的頂點(diǎn)為二：，-,一，二-，求證：四邊形為矩形.【答案】由題意得二1邊所在直線(xiàn)的斜率 '亠_ - 邊所在直線(xiàn)的斜率匚二一-邊所在直線(xiàn)的斜率-QM 邊所在直線(xiàn)的斜率 咕二所以四邊形-'為平行四邊形,又因?yàn)? _L即平行四邊形為矩形.【變式2】已知】1 ,丄-，八 三點(diǎn)，求點(diǎn)二，使直線(xiàn)匚，且I 【答案】設(shè)點(diǎn)丄的坐標(biāo)為：J:，由已知得直線(xiàn)J的斜率-；直線(xiàn) CD 的斜率；直線(xiàn) CB 的斜率k _+1丄：一-；直線(xiàn)丄的斜率廠(chǎng)上一.丄'

14、P+1 二 _2.由CD丄血，且CB " AD得L-i解得x二0,尸1.所以，點(diǎn)丄的坐標(biāo)是(0,1)【變式3】（2011浙江12）若直線(xiàn)-?【答案】因?yàn)橹本€(xiàn)與直線(xiàn)-1-互相垂直，所以一II，所以 '-與直線(xiàn)-：-互相垂直，則實(shí)數(shù) 匸學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：商1、下列說(shuō)法中正確的是（）A .一條直線(xiàn)和x軸的正方向所成的正角，叫做這條直線(xiàn)的傾斜角B 直線(xiàn)的傾斜角住的取值范圍是第一或第二象限角C.和x軸平行的直線(xiàn)，它的傾斜角為180° .D .每一條直線(xiàn)都存在傾斜角，但并非每一條直線(xiàn)都存在斜率2、（2011山東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校二模）已知函數(shù)）的圖象的一段圓?。ㄈ?圖所示）0 &l

15、t;1,血）念）B. '1C. '1D.前三個(gè)判斷都不正確_3、過(guò)點(diǎn)M（-2 , a）, N（a , 4）的直線(xiàn)的斜率為，則a等于（）.A . -8B. 10C. 2D. 44、（2011山東外國(guó)語(yǔ)學(xué)校二模 8）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)（10, 0）與'重 合，則與點(diǎn)重合的點(diǎn)是 （）.A.B.C.1D.5、（2010山東青島，模擬）設(shè)直線(xiàn).與丄軸的交點(diǎn)是 P,且傾斜角為二，若將此直線(xiàn)繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°,得到直線(xiàn)的傾斜角為 一、，則（）A 一”B .D.6、直線(xiàn).的傾斜角是斜率為:的直線(xiàn)的傾斜角的2倍，則.的斜率為（）B. J-：7、（ 2010遼寧

16、沈陽(yáng)，模擬）若直線(xiàn).經(jīng)過(guò)點(diǎn) :和- -1 且與經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2, 1）,_2斜率為J的直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)必的值為.8、已知點(diǎn)P（3, 2）,點(diǎn)Q在x軸上，若直線(xiàn)PQ的傾斜角為150。，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為9、經(jīng)過(guò)點(diǎn), 1）, J（-3, 4），'經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1,'）, - （-1 , 1）,當(dāng)直線(xiàn)與'平行時(shí)，求的值.10、已知 二，二，二三點(diǎn) ，試判斷_ /的形狀.能力提升：磁11、如圖，若圖中直線(xiàn)的斜率分別為k1, k2, k3，則（）A ki<k2<k3B. k3<ki<k2C. k3<k2<kiD. ki<k3<k212、 若直線(xiàn).

17、的傾斜角滿(mǎn)足-'-：，則丁的取值范圍是()23762C.0 <6 <sJS <6<n<&<7T326313、 若直線(xiàn)/的斜率k=si ng，其傾斜角的取值范圍是 .14、 若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1-t, 1+t)和點(diǎn)B(3, 2t)的直線(xiàn)的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是15、(2010北京豐臺(tái)，模擬)已知線(xiàn)段 PQ兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1 , 1)、( 2，2)，若 直線(xiàn)' '：-'1I與線(xiàn)段PQ有交點(diǎn)，求m的范圍.綜合探究：鬲16、已知函數(shù) -l - -j.-*!'，且，則1 的大小關(guān)系為()了、f©了嚴(yán)

18、鄧” f©>> <<A . 一11:B . 一:1Ab) f 張)f(a) /(c) f(b)> > <C.丨：D.£: 17、 設(shè)直線(xiàn)的斜率為函數(shù)-二的最小值，求直線(xiàn).的傾斜角“.y18、 已知實(shí)數(shù)；滿(mǎn)足-'-，當(dāng)一 H 一時(shí)，求的最大值與最小值19、在直角梯形 ABCD中，已知 A(-5 , -10), B(15, 0), C(5 , 10), AD是腰且垂直于 兩底，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)答案與解析： 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：W1、【答案】D【解析】一條直線(xiàn)向上的方向和 x軸的正方向所成的正角，叫做這條直線(xiàn)的傾斜角；直線(xiàn)的傾斜角 二的取值范

19、圍是 '工.2、【答案】C了(可)/(引【解析】因?yàn)榻?% 可視為曲線(xiàn)上兩點(diǎn) (環(huán)人砧)血館) 與原點(diǎn)連線(xiàn)的 斜率，X 作圖易得 1<3、【答案】B4-a1 【解析】由題意 Q - (-2)2，解得In.4、【答案】A【解析】由條件知以(10，0)和 二；為端點(diǎn)的線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)為；，則求與點(diǎn)重合的點(diǎn)即為求點(diǎn) (-4,2)關(guān)于直線(xiàn)“的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求得為 二5、【答案】D【解析】解答此題應(yīng)緊扣直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍，還要注意與x軸相交的直線(xiàn)的傾斜角不能為 0 °,Jo°<a<180°所以有叱時(shí)4亍<i時(shí)，.哄*13亍.6、【答案】B【解析

20、】斜率為 _的直線(xiàn)的傾斜角為，2倍為II ,則； /-：.7、【答案】23【解析】1aI 3丿2由于直線(xiàn)I與經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2, 1）且斜率為_(kāi)的直線(xiàn)垂直，可知J .2二一一5 .8、【答案】（3+2點(diǎn)0）【解析】設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（心衛(wèi)），由題意,解得'.-： -/所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為 （3+2 眛）即用一二.10、解：.邊所在直線(xiàn)的斜率丄T邊所在直線(xiàn)的斜率I-.由J上'所以上是直角三角形.能力提升：硫11、【答案】BA打 ；就譽(yù)代 0 <a. <a2 <- <a.【解析】設(shè)直線(xiàn)的傾斜角分別為'1,1 ：，則" J根據(jù)正切函數(shù)的圖像可得 'j .12、【答案】Cm _s0<5< 或 £ <0<打【解析】?jī)A斜角的范圍是一 - 1，由正切函數(shù)的圖像可知二故選C. 7VU'37113、【答案】4L 4丿【解析】由于 -1細(xì)弘1 ，所以 1<<1 ，根據(jù)正切函數(shù)的圖像,14、【答案】-2<t<1【解析】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn) A（1-t，1+t）和點(diǎn)B（3，2t）的直線(xiàn)的傾斜角為鈍角, 所以過(guò)點(diǎn)A（1-t，1+t）和點(diǎn)B（3