2020高考理數(shù)總復(fù)習(xí)課后限時(shí)集訓(xùn)36直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法

1、1課后限時(shí)集訓(xùn)（三十六）直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法（建議用時(shí)：60 分鐘）A 組基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1 用反證法證明命題：“三角形三個(gè)內(nèi)角至少有一個(gè)不大于60時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）（）A三個(gè)內(nèi)角都不大于 60B三個(gè)內(nèi)角都大于 60C 三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于 60D三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)大于 60B 至少有一個(gè)包含 一個(gè)、兩個(gè)和三個(gè)”，故其對(duì)立面三個(gè)內(nèi)角都大于 60故 選 B.2. (2019 西安模擬) )若 P= .a+ ,a+ 7, Q= .a+ 3+ a+ 4(a0),貝 U P, Q 的 大小關(guān)系是( () )A. PQB. P= QC. PvQD .由 a 的取值決定C 假設(shè) PQ,貝卜 a+

2、；：；：.：a + 7、a+ 3 + a+ 4,即 2 a a+ 7 + 2a + 72a+ 3 a + 4 + 2a + 7,即aa+ 7 a + 3 a+ 4 ,即 a(a+ 7)(a+ 3)(a + 4),即 a2+ 7aa2+ 7a +12,顯然不成立,故 PvQ.故選 C.11 13 . (2019 哈爾濱模擬) )用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“ 1 + - + 3 + 2! 2)”時(shí)，由 n= k(k2)時(shí)不等式成立，推證 n = k+1 時(shí)，左邊應(yīng)增 加的項(xiàng)數(shù)是( () )2k1kA. 2B. 2 1C. 2kD. 2k+ 11 1 111 1C n= k+1時(shí)，左邊=1+虧+&

3、;+k+孑+k+ +k 1,增加2 32k122k+1 2k+1 1111k 1kk了 0+7+-,共(2+ 1)(21)=2項(xiàng)，故選C.4.設(shè) f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)單調(diào)遞減，若 X1+ X20, 則 f(X1) )+ f(X2) )的值( () )A.恒為負(fù)值B.恒等于零C.恒為正值D .無(wú)法確定正負(fù)A 由 f(x)是定義在 R 上的奇函數(shù),且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)單調(diào)遞減,可知 f(x)是 R 上的單調(diào)遞減函數(shù)，由 X1+ X2 0，可知 X1 X2，f (Xi)Vf( X2)= f( X2)，則 f( Xi) + f (X2)V0，故選 A.5.設(shè)

4、f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且 f(x)滿(mǎn)足：“當(dāng) f(k) k2成立時(shí)，總可推出 f(k+1) (k+ 1)2成立”.那么，下列命題總成立的是( () )A. 若 f(1)1 成立，則 f(10)100 成立B. 若 f(2) 1 成立C. 若 f(3)9 成立，則當(dāng) k 1 時(shí)，均有 f(k)k2成立D. 若 f(4) 16 成立，則當(dāng) k4 時(shí)，均有 f(k)k2成立D 由條件可知不等式的性質(zhì)只對(duì)大于等于號(hào)成立，所以 A 錯(cuò)誤；若 f(1) 1成立，則得到 f4，與 f(2) 9 成立，無(wú)法推 導(dǎo)出 f(1)，f(2)，所以 C 錯(cuò)誤；若 f(4) 16 成立，則當(dāng) k 4 時(shí)，均

5、有 f(k) k2成立，所以 D 正確.二、填空題6.下列條件：ab0,ab0，b0,a0，b2,只需 a0 成立，即 a, b 不為 0 且同號(hào)即可，故 能使b+ b23成立.47 .設(shè)數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn，且對(duì)任意的自然數(shù) n 都有：（Sn1）2= anSn，通 過(guò)計(jì)算 Si, S2, S3,猜想 Sn=_.n221222市 由(Si1) )2=s2,得 si=2；由(S21) )2=( (S2Si) )S2,得 S2=3；由i)2=(S3 S2) )S3,得 S3= 3.猜想 Sn=.4n + i8.在不等邊三角形 ABC 中，a 為最大邊，要想得到/ A 為鈍角的結(jié)論，三邊

6、a, b, c應(yīng)滿(mǎn)足_ .b?+C Ca?a2b2+ c2由余弦定理 cosA= :a0,得 b2+ c2 a2b2+ c2.三、解答題9.若 a, b, c 是不全相等的正數(shù)，求證：a+ bb+ cc+ aIg-+ Ig-+ Ig- lg a+ lg b+ lg c.證明Ta,b,c(0, +x),又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立上式兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，a+ bb+ cc+ a-lg-+ lg-+ lg- lg a+ lg b+ lg c.10 .在數(shù)列an , bn中，ai= 2, bi= 4,且 an, bn, an+1成等差數(shù)列，bn, an+1,*bn+1成等比數(shù)列( (n N )

7、.(1)求 a2, a3, a4及 b2, b3, b4,由此猜想an, bn的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)a+ bb+ c廠 .bc0,a+ c ac 0.a+ b b+ c c+ a abc 成立.得 lga+ b b+ c c+ a lg abc,5論.一 1115證明：a+1+a+2+a+nV石解(1)由條件得 2bn= an+ an+1, aj?+1= bnbn+1.6由此可得a a2= 6 6, b b2= 9 9, a a3= 1212, b b3=16, a4= 20, b4= 25.猜測(cè) an= n(n+1), bn= (n+1)2.用數(shù)學(xué)歸納法證明:1當(dāng) n= 1 時(shí)，由上可得結(jié)

8、論成立.*2假設(shè)當(dāng) n= k(k N , k 1)時(shí)，結(jié)論成立,即 ak= k(k+ 1), bk= (k+1)2.那么當(dāng) n= k+ 1 時(shí)，2ak+1= 2bk-ak= 2(k+ 1)2 k(k+1) = (k+ 1)(k+ 2),2ak+12bk+1= 訂=(k+ 2)2.所以當(dāng) n= k+ 1 時(shí)，結(jié)論也成立.由，可知 an= n(n+1), bn= (n+ 1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立1a1+ b1當(dāng) n2 時(shí)，由(1)知an+ bn= (n+ 1)(2n+1)2(n+1) n.1+ +a2+ b211 亠+丄+.+11V6+3 3X4 n(n+1)1a1+ b11an+ bn1 1=

9、-6+21111 1 12 1+11n-不71 1 _5_ 0,則三個(gè)數(shù)y+Z，x+ y，:+ y()A.都大于 2B.至少有一個(gè)大于 2C .至少有一個(gè)不小于 2D .至少有一個(gè)不大于 2C因?yàn)?g+少侏 yh 俳 a+x+ (Z+沁+丿 6,83.設(shè)平面內(nèi)有 n 條直線(xiàn)(n3),其中有且僅有兩條直線(xiàn)互相平行，任意三條直 線(xiàn)不過(guò)同一點(diǎn).若用 f(n)表示這 n 條直線(xiàn)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則 f(4) =_ 當(dāng) n4 時(shí)，f(n) =_ 用 n 表示).152(n + 1)(n 2)由題意知 f(3)= 2, f(4)= 5, f(5)= 9,可以歸納出每增加一條直線(xiàn)，交點(diǎn)增加的個(gè)數(shù)為原有直線(xiàn)的條數(shù),

10、所以 f(4) f(3) = 3, f(5) f(4)= 4,猜測(cè)得出 f(n) f(n 1)= n 1(n4).有 f(n) f(3) = 3+ 4+ + (n 1),所以 f(n)1二 2( (n+ 1)(n 2).*4 .等比數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn.已知對(duì)任意的 n N，點(diǎn)(n, Sn)均在函數(shù) y= bx+r(b0,且 1, b, r 均為常數(shù)) )的圖象上.(1) 求 r 的值；*(2) 當(dāng) b= 2 時(shí)，記 bn= 2(logan+ 1)(n N ).+ 1 b2+ 1bn+ 1-證明：對(duì)任意的 n N ,不等式廠bb n+ 1 成立.解(1 )由題意,Sn= bn+ r,

11、當(dāng) n 2 時(shí)，Sn1= b1+ r,所以 an= Sn Sn1= b-1(b 1),由于 b0,且 1,所以 n2 時(shí)，an是以 b 為公比的等比數(shù)列，又 a1= b+ r,當(dāng)且僅當(dāng) x=y= z 時(shí)等號(hào)成立.所以三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于 2,故選 C.x2 已知函數(shù) f(x) = 2，a, b 是正實(shí)數(shù),則 A, B, C 的大小關(guān)系為( () )a+ b2T,B=f(. ab), C=f2aba+b ,A.AWBCB. AC BC. B C AD. C Bab,又 f(x)= 2 在 R 上是減函數(shù).2a+ b2fa+ bWf( (ab) )Wf；+t ,即 AWBn+1.當(dāng) n= 1 時(shí)，左式二 2,右式二 2,左式右式，所以結(jié)論成立假設(shè) n= k 時(shí)結(jié)論成立，即弓弓 菩不,要證當(dāng) n= k+ 1 時(shí)結(jié)論成立，2k+3,-即證一21k+1 k+ 2 ,由基本不等式可得*根據(jù)可知，n N 時(shí),不等式b1+ 1 b2+1b1 b2bn