步步高高中數(shù)學(xué)必修1第一章1.3.1第1課時(shí)

1、集合與函數(shù)概念函數(shù)的基本性質(zhì)151.3.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性【學(xué)習(xí)目標(biāo)：1理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念2會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性3會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性ET問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性思考畫(huà)出函數(shù)f(x) = x、f(x) = x2的圖象，并指出f(x) = X、f(x) = x2的圖象的升降情況如何？答案兩函數(shù)的圖象如下：函數(shù)f(x)= x的圖象由左到右是上升的；函數(shù)f(x)= x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的， 在y軸右側(cè)是上升的.梳理一般地，單調(diào)性是相對(duì)于區(qū)間來(lái)說(shuō)的，函數(shù)圖象在某區(qū)間上上升，則函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)，該區(qū)間稱(chēng)為增區(qū)間反之則為減函數(shù)，相應(yīng)區(qū)間稱(chēng)

2、為減區(qū)間因?yàn)楹芏鄷r(shí)候我們不知道函數(shù)圖象是什么樣的，而且用上升下降來(lái)刻畫(huà)單調(diào)性很粗糙所以有以下定義：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:(1)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值xi,x2,當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(xi)<f(X2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值X1,X2,當(dāng)xi<x2時(shí)，都有f(Xi)>f(X2),那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)區(qū)間思考 我們已經(jīng)知道f(x)= x2的減區(qū)間為(一a, 0, f(x) =1的減區(qū)間為(8, 0)，這兩個(gè)減x區(qū)間能不能交換？答案 f(

3、x) = x2的減區(qū)間可以寫(xiě)成(一8,0)，而f(x)= -的減區(qū)間(一8, 0)不能寫(xiě)成(一8,x10,因?yàn)?不屬于f(x)=-的定義域x梳理一般地，有下列常識(shí)：(1)函數(shù)單調(diào)性關(guān)注的是整個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單獨(dú)一點(diǎn)不存在單調(diào)性問(wèn)題，所以單調(diào)區(qū)間的端點(diǎn)若屬于定義域，則該點(diǎn)處區(qū)間可開(kāi)可閉，若區(qū)間端點(diǎn)不屬于定義域則只能開(kāi) 單調(diào)區(qū)間D?定義域I.(3)遵循最簡(jiǎn)原則，單調(diào)區(qū)間應(yīng)盡可能大類(lèi)型一 求單調(diào)區(qū)間并判斷單調(diào)性 例1如圖是定義在區(qū)間5,5上的函數(shù)y= f(x),根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)?y= f(x)的單調(diào)區(qū)間有5, 2, 2,1, 1,3 , 3,5，其

4、中 y= f(x)在區(qū)間5, 2,1,3上是減函數(shù)，在區(qū)間2,1, 3,5上是增函數(shù).反思與感悟函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；當(dāng)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)以上單調(diào)區(qū)間時(shí)，單調(diào)區(qū)間之間可用“，”分開(kāi)，不能用“U” ，可以用“和來(lái)表示；在單調(diào)區(qū)間 D上函數(shù)要么是增函數(shù)，要么是減函數(shù)，不能二者兼有跟蹤訓(xùn)練1寫(xiě)出函數(shù)ylx2 2x 3|的單調(diào)區(qū)間，并指出單調(diào)性.x 2x 3, x< 1 或 x>3,解先畫(huà)出f(x)=2的圖象，如圖(x2所以y=|x1 1=(X1 X2)+ ( 一 $) = (X1 x2) + 2x 3|的單調(diào)區(qū)間有(一a, 1, 1,1, 1,3

5、, 3 ,+)，其中單調(diào)減區(qū)間 是(， 1, 1,3;單調(diào)增區(qū)間是1,1, 3 ,+).類(lèi)型二證明單調(diào)性命題角度1證明具體函數(shù)的單調(diào)性例2證明f(x) = , x在其定義域上是增函數(shù).證明f(x)= x的定義域?yàn)?，+ a).設(shè)x1 , x2是定義域0，+ a )上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1 <x2 ,X2 X1X1X2=(X1 X2)(1 1X1X2 * 1忘=(X1 一 X2)(盂廠)則 f(X1) f(x2) = ,X1 X2 1 W X1<X2,- X1 X2<0,1<X1X2,.X1X2 1X1X2>0，故(X1 x2)(X1X2 1X1X2)<0 ,

6、即 f(X1) f(X2)<0 ,即卩 f(X1)<f(X2).1 f(x)= x+ 答案 aw 1或a> 2解析由于二次函數(shù)開(kāi)口向上，故其增區(qū)間為a,+g)，減區(qū)間為(一g, a，而f(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)，所以1,2 ? a, + g)或1,2? (g, a，即 a< 1 或 a> 2.命題角度2用單調(diào)性解不等式例5已知y= f(x)在定義域(1,1)上是減函數(shù)，且f(1 a)<f(2a 1)，求a的取值范圍.解 f(1 a)<f(2a 1)等價(jià)于1<1a<1,1<2a 1<1, 解得 0<a<2,31 a&g

7、t;2a 1,在區(qū)間1 , + 8)上是增函數(shù).x命題角度2證明抽象函數(shù)的單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x+ y) = f(x) + f(y) 1，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1.求證：函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).證明 方法一 設(shè)Xi, X2是實(shí)數(shù)集上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且xi>x2.令x+ y= xi, y= X2,貝U x =xi X2>0.f(xi) f(X2)= f(x+ y) f(y) = f(x) + f(y) 1 f(y)= f(x) 1. v x>0, f(x)>1 , f(x) 1>0 ,二 f(xi) f(X2)>

8、;0，即 f(Xi)>f(X2).函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).方法二 設(shè) Xi>X2，貝U Xi X2>0 ,從而 f(Xi X2)>1，即 f(Xi X2) 1>0.f(Xi) = fX2+ (x1 x2) = f(X2)+ f(Xi x2) 1>f(X2),故 f(x)在 R 上是增函數(shù).反思與感悟因?yàn)槌橄蠛瘮?shù)不知道解析式，所以不能代入求f(Xi) f(x2)，但可以借助題目提供的函數(shù)性質(zhì)來(lái)確定f(Xi) f(x2 )的大小，這時(shí)就需要根據(jù)解題需要對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行賦值.跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)的定義域是 R，對(duì)于任意實(shí)數(shù) m, n,恒有f(m+ n)=

9、f(m) (n),且當(dāng)x>0時(shí)，0<f(x)<1.求證：f(x)在R上是減函數(shù).證明 v 對(duì)于任意實(shí)數(shù) m, n,恒有 f(m+ n)= f(m) f(n)，令 m= 1,n = 0，可得 f(1) = f(1) f(0),當(dāng) x> 0 時(shí)，0v f(x) v 1, f(1)工 0, f(0) = 1.令 m = xv 0, n = x> 0,貝V f(m+ n)= f(0) = f( x) f(x)= 1, f(x)f( x) = 1,又 v x> 0 時(shí)，0v f( x)v 1,1f(x)=> 1.f(-x)對(duì)任意實(shí)數(shù)X, f(x)恒大于0.設(shè)任意

10、 x1<x2，貝U x2 x1>0, 0<f(x2 x1)<i ,二 f(X2) f(xi) = f(X2 Xi)+ Xi f(xi) = f(X2 Xi)f(xi) f(xi) = f(Xi)f(X2 Xi) 1<0 , f(x)在R上是減函數(shù).類(lèi)型三單調(diào)性的應(yīng)用命題角度1利用單調(diào)性求參數(shù)范圍若函數(shù)f(x)=x<1 ,ax, x> 1是定義在R上的減函數(shù)，則a的取值范圍為(1 1a.【8, 3)B. (0, 11c. 8，+m)ii,.d. ( g, 8】u 3，+ )答案 A解析 要使f(x)在R上是減函數(shù)，需滿(mǎn)足:|3a 1<0，一a<

11、;0,i.(3a 1) + 4a> a .1i解得評(píng)a v -.83反思與感悟分段函數(shù)在定義域上單調(diào)，除了要保證各段上單調(diào)外，還要接口處不能反超另外，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上的圖象不一定是連續(xù)不斷的跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x) = x* 即所求a的取值范圍是0<a<2，反思與感悟若已知函數(shù)f(x)的單調(diào)性，則由X1,X2的大小，可得f(x1), f(x2)的大小；由f(X1),f(x2)的大小，可得X1, X2的大小.跟蹤訓(xùn)練5在例5中若函數(shù)y= f(x)的定義域?yàn)镽，且為增函數(shù)，f(1 a)<f(2a 1),則a的 取值范圍又是什么？解/ y= f(x)的定義域?yàn)镽，且為增函數(shù)

12、，2f(1 a)<f(2a 1),1 a<2a 1，即卩 a>3, 所求a的取值范圍是(彳，+ g). 2ax 3在區(qū)間1,2上單調(diào)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為當(dāng)堂訓(xùn)練1函數(shù)y= f(x)在區(qū)間2,2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的增區(qū)間是()A. 2,0C. 2,1答案 C2.函數(shù)y=-的減區(qū)間是()xA.O,+s )C.( m, 0), (0 ,)答案 CB.0,1D. 1,1B.( g, 0D.( s, 0) U (0,+s )3.在下列函數(shù)f(x)中，滿(mǎn)足對(duì)任意X1, X2 (0,+s )，當(dāng) X1<X2 時(shí)，都有 f(X1)>f(X2)的是(A.f(x)= X2

13、1B.f(x)=XC.f(x)= |x|答案 BD.f(x) = 2x+ 14.已知函數(shù)y= f(x)滿(mǎn)足：f( 2)>f( 1), f( 1)<f(0)，則下列結(jié)論正確的是()A. 函數(shù)y= f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞減，在區(qū)間1,0上單調(diào)遞增B. 函數(shù)y= f(x)在區(qū)間2, 1上單調(diào)遞增，在區(qū)間1,0上單調(diào)遞減C. 函數(shù)y= f(x)在區(qū)間2,0上的最小值是f( 1)D.以上的三個(gè)結(jié)論都不正確答案 D5.若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，且f(|x|)>f(1)，則x的取值范圍是()A.x<1B.x> 1C.1<x<1答案 CD.x< 1

14、或 x>1-規(guī)律與方法1.若f(x)的定義域?yàn)?D, A? D , B? D, f(x)在A和B上都單調(diào)遞減，未必有f(x)在AU B上單調(diào)遞減.2.對(duì)增函數(shù)的判斷，對(duì)任意X1<X2,都有f(X1)<f(X2)，也可以用一個(gè)不等式來(lái)替代:(xiX2)f(Xi) f(X2)>0 或步>0 .對(duì)減函數(shù)的判斷，對(duì)任意Xi <X2,都有f(X1)>f(X2),相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來(lái)替代：(X1X2)f(X1) f(X2)<0 或 X1 X2<°.3熟悉常見(jiàn)的一些函數(shù)的單調(diào)性，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等4若f(X)， g(x)都

15、是增函數(shù)，h(X)是減函數(shù)，則：在定義域的交集(非空)上，f(x)+ g(x)單調(diào)1遞增，f(x) h(x)單調(diào)遞增，f(x)單調(diào)遞減，；一單調(diào)遞減(f(x)豐0).f(X)5.對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x)，證明單調(diào)性時(shí)，也可以作商f:;與1比較-課時(shí)作業(yè)一、選擇題11.函數(shù)y=彳的單調(diào)減區(qū)間疋()A.( s, 1) , (1 ,+s )B.( s ,1) U (1 , +s )C.x R|xm 1D.R答案 A解析單調(diào)區(qū)間不能寫(xiě)成單調(diào)集合,也不能超出定義域，故C ,D不對(duì)，B表達(dá)不當(dāng).故選A.2如果函數(shù)f(x)在a, b上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的xi, X2 a, b(xiX2)，

16、下列結(jié)論中不正確的是()A.fXi fX2 >0Xi X2B. (Xi X2)f(Xi) f(X2)>0C. 若 Xi<X2，則 f(a)<f(Xi)<f(x2)<f(b)Xi_ x2D. f(Xi f(X2 >0答案 C解析 因?yàn)閒(x)在a, b上是增函數(shù)，對(duì)于任意的xi, X2 a, b(x產(chǎn)x2), xi x2與f(xi) f(x2) 的符號(hào)相同，故 A, B, D都正確，而C中應(yīng)為若xi<x2，則f(a)w f(xi)<f(x2)< f(b).3.已知函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，A(0, 1), B(3,1)是其圖象上的兩點(diǎn)

17、，那么一 1<f(x)<1的 解集是()A. ( 3,0)B. (0,3)C. ( s, 1 U 3 ,+s )D. ( s, 0 U 1 ,+s )答案 B解析 由已知f(0) = - 1 , f(3) = 1, 1<f(x)<1，即 f(0)<f(x)<f(3),/f(x)在R上單調(diào)遞增， 0<x<3 , - 1<f(x)<1 的解集為(0,3).4已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()A. y= f(x)在R上是減函數(shù)iB.y=在R上是減函數(shù)fxC. y = f(x)2在R上是增函數(shù)D. y= af(x)(a為實(shí)

18、數(shù))在R上是增函數(shù)答案 A解析 設(shè)x1<x2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在 R上是增函數(shù)，故必有 Mxvf).所以-f(Xi)> f(X2), A選項(xiàng)一定成立.其余三項(xiàng)不一定成立，如當(dāng)f(x)= x時(shí)，B、C不成立，當(dāng)a<0時(shí)，D不成立.5.已知函數(shù)f(x)在( m,+m )上是增函數(shù)，若 a, b R且a+ b>0，則有()A. f(a) + f(b)> f(a) f(b)B. f(a)+ f(b)< f(a) f(b)C. f(a) + f(b)>f ( a) + f ( b)D. f(a) + f(b)<f( a) + f( b)答案 C解析/ a+

19、 b>0, a> b, b> a, f(x)在 R上是增函數(shù), f(a)>f( b), f(b)>f( a),-f(a) + f(b)> f( a) + f( b).6.已知函數(shù)f(x)=x2 + 4x,4x x2,x> 0,x<0,A.( a, 2)C.( a, 2)答案 A若f(4 a)>f(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()B.(2 ,+a )D.( 2,+a )解析 畫(huà)出f(x)的圖象(圖略)可判斷f(x)在R上遞增,故 f(4 a)>f(a)? 4 a>a，解得 a<2.二、填空題x+ 3a, x0,7. 已知函數(shù)f

20、(x) = 2是(一8,+ )上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是x ax+ 1, x<01答案0, 1解析 當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)= x2 ax+ 1是減函數(shù)，解得 a> 0，當(dāng)x> 0時(shí)，函數(shù)f(x) = x1i+ 3a是減函數(shù)，分段點(diǎn)0處的值應(yīng)滿(mǎn)足1 > 3a,解得a<-, 0< a<-.338. 已知f(x)是定義在區(qū)間1,1上的增函數(shù)，且f(x 2)<f(1 x)，則x的取值范圍是 .答案1, 3)| - 1 w x - 2W 1,解析 由題意，得 1W 1 x< 1, 解得1 w x<3,2x 2<1 x,3故

21、滿(mǎn)足條件的x的取值范圍是1W x<3.9. 函數(shù)f(x+ 1) = x2 2x+ 1的定義域是2,0，貝V f(x)的單調(diào)減區(qū)間是 .答案1,1解析 f(x+ 1) = x2 2x+ 1 = (x 1)2= (x + 1 2)2, f(x)= (x 2)2, x 1,1, f(x)在定義域1,1上單調(diào)遞減.10. 已知一次函數(shù)y= (k+ 1)x+ k在R上是增函數(shù)，且其圖象與x軸的正半軸相交，則k的取值范圍是.答案 (1,0)解析k+ 1>0,依題意 kk+ 1>0,解得一1<k<0.三、解答題11. 求函數(shù)y= x2 + 2|x|+ 3的單調(diào)增區(qū)間.c 2x

22、+ 2x + 3, x0,解/ y= x2+ 2|x|+ 3=2x2 2x+ 3, x<0.函數(shù)圖象如圖所示:函數(shù)y = x2 + 2|x|+ 3的單調(diào)增區(qū)間是( s, 1和0,1.112已知函數(shù)f(x)在(0,+s )上為增函數(shù)，且 f(x)<0(x>0)，試判斷F(x)=廠在(0 ,+s )上的 f(x)單調(diào)性并給出證明過(guò)程解 F(x)在(0, + s)上為減函數(shù).證明：任取 X1, X2 (0 , + s)，且 X1<X2, F(X2) F(X1)=丄丄=)(丿 f (X2 ) f(X1 )f(X2 f(X1 ) y= f(x)在(0 ,+s)上為增函數(shù)，且 X1

23、 <X2,二 f(X1)<f(X2), f(X1) f(X2)<0.而 f(X”<0, f(X2)<0 , f(X1)f(X2)>0.- F(X2) F(X1)<0 ,即 F(X1)>F(X2). F(x)在(0,+ s)上為減函數(shù)x13已知 f(x) = Xa).(1)若a= 2,試證明f(x)在(一s, 2)內(nèi)單調(diào)遞增；若a>0且f(x)在 (1 ,+s )內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍(1)證明任設(shè)X1 <X2< 2,則 f(X1) f(X2)=X1X1 + 2X2 _2(X1 x2 )X2+ 2(X1 + 2 X2+ 2 J

24、 (x1 + 2)(x2+ 2)>0 , x1 x2<0,-f(X1)<f(X2), f(x)在(s, 2)內(nèi)單調(diào)遞增解任設(shè)1<X1<X2,則X1X2afX2 X1 f(X1) f(X2)= X1 a X2 a_ X1 a x? a a0, x2 x1>0 , 要使 f(x” f(x2)>0 ,只需(x1 a)(x2 a)>0 恒成立， aw 1.綜上所述0<a< 1四、探究與拓展 仏若f(x) x2 + 2ax與g(x)=曲在區(qū)間1,2上都是減函數(shù)，則a的取值范圍是答案 (0,1解析由f(x)x2+ 2ax在1,2上是減函數(shù)可得aw 1由g(x) =汁在1,2上是減函數(shù)可得a>0.-0< aw 115.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域是(0,+ )，且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x, y都有f(xy) = f(x)+ f(y)恒成立，已知 f(2) = 1,且 x