1981年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版

1、1981年二十五省、市、自治區(qū)中學生聯(lián)合數(shù)學競賽1選擇題(本題滿分35分，每題答對者得5分，答錯者得2分，不答者得0分) 條件甲：兩個三角形的面積和兩條邊對應相等 條件乙：兩個三角形全等 A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 條件甲：=a 條件乙：sin+cos=a A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件 設 (k0，±1，±2，)， T= AT取負值 BT取非負值 CT取正值 DT取值可正可負 下面四個圖形中，哪一個面積大？ AABC：A=

2、60°，B=45°，AC= B梯形：兩條對角線的長度分別為和，夾角為75° C圓：半徑為1 D正方形：對角線長度為2.5 給出長方體ABCDA¢B¢C¢D¢，下列12條直線：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少對異面直線？ A30對 B60對 C24對 D48對 在坐標平面上有兩個區(qū)域M和N，M是由y0，yx和y2-x 這三個不等式

3、確定，N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式txt+1確定，t的取值范圍是0t1 ，設M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為 At2+t+ B2t2+2t C.1t2 D. (t2)2 對方程x|x|+px+q=0進行討論，下面結(jié)論中，哪一個是錯誤的？ A至多有三個實根 B至少有一個實根 C僅當p24q0時才有實根 D當p<0和q>0時，有三個實根2(本題15分) 下列表中的對數(shù)值有兩個是錯誤的，請予糾正：x0.0210.271.52.835lgx2a+b+c36a3b23ab+c12a+2bc2aba+cx678914lgx1+abc2(a+c)33a3c4a2b1a+2

4、b3(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PCQE+PDQF<2 4(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A、B、C三種零件每件甲需用A、B各2個；每件乙需用B、C各1個；每件丙需用2個A與1個C用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個A和1個B，但C恰好用完試證：無論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C三種零件都恰好用完5(本題20分)一張臺球桌形狀是正六邊形ABCDEF，一個球從AB的中點P擊出，擊中BC邊上的某點Q，

5、并且依次碰擊CD、DE、EF、FA各邊，最后擊中AB邊上的某一點設BPQ=，求的范圍提示：利用入射角等于反射角的原理1981年二十五省、市、自治區(qū)中學生聯(lián)合數(shù)學競賽解答1選擇題(本題滿分35分，每題答對者得5分，答錯者得2分，不答者得0分) 條件甲：兩個三角形的面積和兩條邊對應相等 條件乙：兩個三角形全等 A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙的充分條件解：乙Þ甲，但甲Þ乙，故選B. 條件甲：=a 條件乙：sin+cos=a A甲是乙的充分必要條件 B甲是乙的必要條件 C甲是乙的充分條件 D甲不是乙的必要條件，也不是乙

6、的充分條件解：由=aÞ| sin+cos|=a；而sin+cos=a,Þ =|a|故選D 設 (k0，±1，±2，)， T= AT取負值 BT取非負值 CT取正值 DT取值可正可負解：T=>0，選C 下面四個圖形中，哪一個面積大？ AABC：A=60°，B=45°，AC= B梯形：兩條對角線的長度分別為和，夾角為75° C圓：半徑為1 D正方形：對角線長度為2.5解：A中三角形面積=(3+)；B中梯形面積=(3+)；C中圓面積=，D中正方形面積=·()2=于是B=A<D<C選C 給出長方體ABCD

7、A¢B¢C¢D¢，下列12條直線：AB¢，BA¢，CD¢，DC¢，AD¢，DA¢，BC¢，CB¢，AC，BD，A¢C¢，B¢D¢中有多少對異面直線？ A30對 B60對 C24對 D48對解：每條面上的對角線都與5條面上的對角線異面故共有5×12÷2=30對選A 在坐標平面上有兩個區(qū)域M和N，M是由y0，yx和y2-x 這三個不等式確定，N是隨t變化的區(qū)域，它由不等式txt+1確定，t的取值范圍是0t1&#

8、160;，設M和N的公共面積是函數(shù)f(t)，則f(t)為 At2+t+ B2t2+2t C.1t2 D. (t2)2解：OAB的面積=1。直角邊長為t的等腰直角三角形面積=t2.直角邊長為2(1+t)=1t的等腰直角三角形面積=(1t)2f(t)=1t2(1t)2=1t2+t=+tt2( 0t1 )選A 對方程x|x|+px+q=0進行討論，下面結(jié)論中，哪一個是錯誤的？ A至多有三個實根 B至少有一個實根 C僅當p24q0時才有實根 D當p<0和q>0時，有三個實根解：畫出y=x|x|及y=pxq的圖象：知A、B正確，C、D錯誤選C、D2(本題15分) 下列表中的對數(shù)值有

9、兩個是錯誤的，請予糾正：x0.0210.271.52.835lgx2a+b+c36a3b23ab+c12a+2bc2aba+cx678914lgx1+abc2(a+c)33a3c4a2b1a+2b解：若lg3=2ab，則lg9=4a2b及l(fā)g0.27=6a3b2，此三個數(shù)值同時正確或錯誤，故此三個數(shù)值都正確若lg8=33a3c，則lg2=1ac，lg5=1lg2=ac，lg6=lg3lg2=1abc由于此三數(shù)同時正確或錯誤，故此三個數(shù)值都正確于是lg1.5=lg3lg2=(2ab)(1ac)=3abc1與表中l(wèi)g1.5=3abc矛盾即lg1.5的數(shù)值錯誤若lg2.8=12a2bc，則lg14=

10、lg2.8lg5=(12a2bc)(ac)=1a2b，lg0.021=lg3lg14lg23=(2ab)(1a2b)(1ac)3=2abc3，即此三個數(shù)值同時正確或錯誤，故此三個數(shù)值正確lg7=lg14lg2=(1a2b)(1ac)=2bc，與表中l(wèi)g7=2a2c矛盾； 表中l(wèi)g1.5與lg7是錯誤的，應為lg1.5=3abc1，lg7=2bc3(本題15分)在圓O內(nèi)，弦CD平行于弦EF，且與直徑AB交成45°角，若CD與EF分別交直徑AB于P和Q，且圓O的半徑為1，求證： PCQE+PDQF<2 證明：作OMCD，垂足為M，交EF于N，設ON=n，OM=m則CM=DM=，EN

11、=FN=，本題即證(m)( ±n)+( m)( n)<2展開得，·±mn<1移項，平方得，1m2n2m2n2<12mnm2n2Þm2n2>2mn 取“+”號時，M、N在點O同側(cè)，此時mn，總之，命題成立(當E、F交換位置時，且CD、EF在點O異側(cè)時，可能有m=n)又證：PC2+PD2=(CM+OM)2+(CMOM)2=2(CM2+OM2)=2，同理QE2+QF2=2 4=PC2+PD2+QE2+QF2=(PC2+QE2)+(PD2+QF2)2 (PCQE+PDQF)等號當且僅當PC=QE，PD=QF時成立但由已知，此二式不成立故證

12、4(本題15分)組裝甲、乙、丙三種產(chǎn)品，需用A、B、C三種零件每件甲需用A、B各2個；每件乙需用B、C各1個；每件丙需用2個A與1個C用庫存的A、B、C三種零件，如組裝成p件甲產(chǎn)品、q件乙產(chǎn)品和r件丙產(chǎn)品，則剩下2個A和1個B，但C恰好用完試證：無論怎樣改變甲、乙、兩產(chǎn)品的件數(shù)，也不能把庫存的A、B、C三種零件都恰好用完解：已知即：每個甲用 A2，B2， 每個乙用 B1，C1， 每個丙用 A2， C1 共有A產(chǎn)品2p2r2件；B產(chǎn)品2pq1件；C產(chǎn)品qr件設組裝m件甲，n件乙，k件丙，則用2m2k件 A； 用2mn 件B； 用nk件 C如全部用完，則有2p2r2=2m2k；Þpr1=mk 2pq1=2mn； qr=nk ：3p2=3m這是不可能的故證5(本題20分)一張臺球桌形狀是正六邊形ABCDE