人教版初三(下)數(shù)學(xué)第77講：圖形的相似前沿知識(教師版)

1、圖形的相似前沿知識學(xué)知識梳重）1 .兩條線段的比如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB.CD的長度分別是?,，那么這兩條線段的比就是 它們長度的比，即或?qū)懗?". CD n2 .比例線段對于四條線段Q，b, C, d,如果與（如2= £）,那么稱這四條線b cl段是成比例線段，簡稱.3 .比例性質(zhì),M a c m zf rn +，+？如果 _ = _ = （b + a +/? W 0） wz=b d n'那% +” + 4 .平行線分線段成比例兩條直線被一組平行線所截，所得的.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例.參考答案：,AB m1 . m

2、：n=一CD n2 .其中兩條線段的比，另兩條線段的比相等，比例線段3.2.b4.對應(yīng)線段成比例辨典例講組）1、線段的比【例1】如圖，設(shè)小方格的邊長是1，四邊形ABCD與四邊形EFGH的頂點都在格點上，那么A3,AD, EH, EF的長度分別是多少？分別計算"，把，衛(wèi)，生 的值，你發(fā)現(xiàn)了什么？EF EH AD EH【解析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理，即可求出各邊長，即可求解.解：由題意可得，A3=8, AD= 2>0 , EH=M、EF=4 .AB AD AB EF 2M總結(jié)：線段的比值即為求長度的比.練1. 一條線段的長度是另一條線段的5倍，求這兩條線段的比.【解析】線段比

3、定義即可求解.解：兩條線段的比即為1:5.2.比例線段【例2】如圖，一塊矩形綢布的長A8= am,寬AO=lm,按照圖中所表示的方式將它裁成相同的三A17 An而矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即主=竺，那么AD AB”的值應(yīng)當(dāng)是多少？D£CA EB【解析】根據(jù)比例線段定義即可求解.解：根據(jù)題意可知，AB= a AE= -a ni» AD= m. 3AE AD _AD AB11即。=（。= 一/舍去）.總結(jié):如果色=£,那么"/=拉二 b d如果a/=Z?c （aMc,"都不等于0）,那么3=，.b d練 2.

4、在ABC 中，Z 5=90°, AB=BC=Qcm,在/）£：/中，ED=EF=12cm, DF=8cm,求 A8 與EF之比，AC與OF之比.【解析】根據(jù)比例線段定義即可求解.解：由題意可得，AB： EF=10:12=5:6：VAC=10x/2cmAC： DF=10>/2 ： 8=50:4力 Z) AE練 3.如圖,在 ABC 中,AB- 12cm, AE=6cm, EC=5cm,且= 求 知)的長DB EC 1【解析】根據(jù)比例線段定義即可求解.解：DB ECAD _6 12-AD-5 ： AD = cm 113、比例性質(zhì)【例3】在AA8c與£）£

5、;中，已知" = 些 =0 = 2,且8c的周長為18cm. DE EF FD 4求的周長.【解析】根據(jù)比例線段性質(zhì)即可求解.窗.AB BC CA 3解： = =DE EF FD 4AB + BC + CA AB 3 =, DE + EF + FD DE 4 4(AB + BC + CA) = 3(DE + EF + FD) 44，DE+EF + FD = -(AB + BC + CA) = -x1S = 24cm.DEF的周長為24cm.結(jié)論：,M a c in zf f八、a + c +/a如果一=一= (b + d +<+" W。)，那么=b d n。+ &qu

6、ot;+ b*練4.已知q=,=2s+dH。)，求”二的值. b d 3b+d【解析】根據(jù)比例線段性質(zhì)即可求解.解：V- = - = -0 + 6/O). b d 3. a + c _ a _ 2'"b + d = b = 3練5. (2015春啟東市校級月考)如圖，已知每個小方格的邊長均為1,求A8, DE, BC, DC,AC. EC的長，并計算8c與的周長比.【解析】構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理計算邊長，即可求解.解：由圖象可得,AB=2小,D£ = >/5 t BC = 2®DC = ®. AC = 2 岳,EO 岳,A8C的周長二

7、2小+ 2岳 +2回 =2(小+岳 + M) EDC 的周長=y/5 + M + V13即ABC與AEDC的周長比=2:1.4.平行線分線段成比例【例4】如圖，在AABC中，E,尸分別是A3和AC上的點，且EF/BC.(1)如果AE=7, EB=5, FC=4,那么AE的長是多少？（2）如果A8=10, AE=6, AF=5,那么尸C的長是多少?【解析】平行線分線段成比例性質(zhì)，即可求解. 解：:EF/BC,.AE AF,EBFC.AE=1, EB=5, FC=4, y AEFC 7x4 28 EB 55（2） :EFBC,.AE AF瓦一就/AB=10» AE=6, AF=5,.AB

8、.AF10x525.AC =AE63y25 10.FC = AC - AF = -5=33總結(jié)：利用平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應(yīng)線段成比例的性質(zhì)，求比例線段.練6.已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段的長度如圖，求X的值.【解析】利用平行線分線段成比例性質(zhì)即可求解.解：由題意可得，3 = 4xl21x =-4練7. （2015煙臺市期末）如圖，已知八/2/3.48=5, 8c=7, EF=% 求DE的長.2【解析】利用平行線分線段成比例性質(zhì)即可求解.解：9：h/l2/h.AB _ DE''BCEF5 DE工DE =AUAR 5A /?【例5】如圖，在AAB

9、C中，D, E分別是AB和BC上的點，且* =空* =二，求竺.BE EC AC 3BD【解析】利用平行線分線段成比例性質(zhì)即可求解.初. AB AC AB 5BE EC AC 3AB _ BE _5" EC " 3BE BD 5A EC "75" 3AB _ AD + BD _ 3 + 5 _ 8麗 一 Hd" "I- " 5，練8. （2015濱河區(qū)期中）如圖,在 ABC中，D, E"分別是AB, AC, BC上的點，且。日I BC,EFW AB. AO:O8=2:3, BC=20cm,求 B廠長.【解析】利用平

10、行線分線段成比例性質(zhì)即可求解.解：VDEII BC,AD _ AE訪一訪EFW AB.AE _ BF衣一衣AD _ BF2 BF3 = 20-BF5F=8cm.練 9.已知：如圖，若 DEBC,。在 AB 上，E 在 AC 上，AD : DB=2 : 3, BC=20.求：。上的長.1【解析】利用平行線分線段成比例性質(zhì)即可求解.解：AD 2DB - 3aAD 2AB - 5,DE/BC.AD _ DE _ 2AB BC-5DE _ 2-20 5DE=8.練10. （2014秋唐山市期末）已知：如圖，四邊形AEDF為菱形，AB=12, BC=10, AC=8, 求：BD、DC及AF的長。【解析】

11、利用平行線分線段成比例性質(zhì)即可求解.解：:四邊形AEDF為菱形,，AEFD, AFED, AF=AE=FD=DE.BF _ BD _ AE BF + AF _ BD + DC _ AE + EC * AF - DC - EC' AF一 DC一 ECAB BC AC AT " DC - EC 12108.AF - DC"8-AF 24AF = ,DC = BD = 6例6如圖，在4ABC中，D是BC上的點，E是AC上的點，AD與BE交于點F,若AE:EC=3:4,BD:DC=2:3,求 BF:EF 的值.【解析】求兩條線段的比值，可通過平行線截得比例線段定理和已知線段

12、的比發(fā)生聯(lián)系，而圖形本身并沒有平行線，故需添加輔助線一一平行線去構(gòu)造比例線段，進而求出比值.GE AE解：過E作EGBC交AD于G,則在AADC中，= DC AC.AE 3. AE 3, EG 3 'EC_ 4AC - 7, DC - 7即 EG=3x , DC=7x (a>0 ),則嘰2 DC 32214:.m=-DC = -x7x = x 33314 .嘰了114- EGx 9又 VEG/BC, .BF _BD _14 ''FEEG練 IL 如圖，DEAB, EFBC, AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm,求 BD.【解析】根據(jù)條件可知BDEF為平行

13、四邊形，由EFBC,應(yīng)用相似三角形的預(yù)備定理，得4 F FF上 =±二再應(yīng)用比例性質(zhì)，即可求出EF即BD.AB BC解：,: DEAB, EFBC 四邊形BDEF為平行四邊形，:.BD=EF又: EFBC,.AF _EF AF _ BD * AF + BF BD+DC 5 BD''5 + 3 BD + 2解之，得BD=W (cm)3.練12. (2015春唐山市期中)如圖，A、C、E和B、F、D分別是NO的兩邊上的點，且ABED、BCFE。求證：AF/CD【解析】要證明AFCD,應(yīng)推導(dǎo)出能使AF/CD的比例線段，由題中圖形可知,應(yīng)證明,OC OD而由AB/ED, BC

14、/FE,容易得到此關(guān)系.證明：VAB/ED.史=”O(jiān)E ODBC/FE.空=空OF OE由得 OA OD=OB OE由得OC OF=OB OE：.OA OD=OC OF則生=" OC ODAAF/CD.節(jié)當(dāng)堂檢測)1 .已知 3x=5y ,則 x： y=:2 .已知 xy=H2，求 x：(x+y)3.如圖，若EFAB,DEAC,以下比例正確的有()個.(1)處二電 任二匹BD CFEC FCBC AB . BC AC(3) = (4)=DE ADDE ECA. 1 個. B. 2 個. C. 3 個. D. 4 個.4.如圖,已知 DC/EF/GH/AB, AB=30, CD=6,且 DE： EG： GA=1： 2： 3,則 EF=GH=5.如圖，CD是 ABC的角平分線，點E在AC上,AD AE75 = AC=-,AC=10,求 DE 5室當(dāng)堂總結(jié)）學(xué)家庭作亞）1 .下而四組線段中，不能成比例的是（）A. a=3, b=6, c=2, d=4.B. a=L b=應(yīng),c=«, d=小,C. a=2, b=邪,c=5, d=2# D. a=4, b=6, c=5, d=10.2 .已知 = g 求 2xy + 3z2 7 5 y3,已知 x:2=y：3=z:4,求（x+y+z） :（2x+3y-z）.DE CF