4.7正弦定理、余弦定理

1、基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)D D 卻識(shí)梳理卻識(shí)梳理妾點(diǎn)講解深層突破妾點(diǎn)講解深層突破i 正弦定理、余弦定理在厶 ABC 中，若角 A, B, C 所對(duì)的邊分別是 a, b, c, R為厶ABC 外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容abc一-=- =- =2R sin A sin B sinCa2= b2+ c2 2bccos_A：變形b2= c2+ a2 2accos B;c2= a2+ b2 2abcos C(1)a = 2Rs in A,b= 2Rsin B,c= 2Rsin C:a r bc(2) sin A= 2R, sin B= R, sin C = 2R；(3)a : b : c= sin

2、A : sin B : sin C；(4)asin B = bsin A,bsi n C = csin B,asi n C = csin Ab2+ c2 a2 cosA=2bc；c2+ a2 b2cos B=2ac；a2+ b2 c2cos C=2ab111abc 1口 ,一-、2.SAABC= gabsin C = ?bcsin A= acsin B= ?(a + b + c) r(r 是二角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算 R、r.進(jìn)四住三血數(shù)、解三角形47正弦定理葺余弦定理3 .在 ABC 中，已知 a、b 和 A 時(shí)，解的情況如下:A 為銳角A 為鈍角或直角圖形C足Ar於 X乂關(guān)系式a=

3、 bs in Absin Aa bab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“V”或“x”)(1) 三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比.(X)(2) 在厶 ABC 中，若 sin Asin B，貝 U AB.( V )(3) 在厶 ABC 的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素.(X)(4) 當(dāng) b1 2+ c2-a20 時(shí)，三角形 ABC 為銳角三角形；當(dāng) b2+ c2 a2= 0 時(shí)，三角形為直角三角 形；當(dāng)b2+ J a20, -J3sin B cos B 1 = 0, 2sin B n= 1, 即卩 sin Bn66 2n- B(0, n) B=

4、3.cos A=b2+ c2- a22C=題型分類深度剖析題型一利用正弦定理、余弦定理解三角形例 1(1)在厶 ABC 中，已知 a = 2, b=(6, A= 45則滿足條件的三角形有 _ 個(gè).(2)在厶 ABC 中，已知 sin A : sin B = ,；2： 1, c2= b2+ ,；2bc，則三內(nèi)角 A, B, C 的度數(shù)依次是1n(2015 廣東)設(shè)厶 ABC 的內(nèi)角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c.若 a = ,3, sin B = 2，C=石,則 b =_.答案(1)2(2)45 30 105(3)1解析(1)Tbsin A= bx# = 3 二 bsin AaB

5、 , B = 30 C= 105(3)因?yàn)?sin B = J 且 B (0 ,n)所以B=B=5n又 C= 6, B+ CS ,所以 B= 6 A =n-B-C=聲又 a= 3 ,由正弦定理得,即 3= - ,屮sin A sin B2n nsin sin36解得 b= 1.思維升華(1)判斷三角形解的個(gè)數(shù)的兩種方法代數(shù)法：根據(jù)大邊對(duì)大角的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和公式、正弦函數(shù)的值域等判斷.幾何圖形法：根據(jù)條件畫出圖形，通過(guò)圖形直觀判斷解的個(gè)數(shù).(2)已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦 定理時(shí)，需判斷其解的個(gè)數(shù)，用余弦定理時(shí)，可根據(jù)一元二次方程根的情況判

6、斷解的個(gè)數(shù).銀蹤訓(xùn)練 1(1)(2015 三門峽模擬)已知在 ABC 中，a = x , b= 2 , B= 45 若三角形有兩解，則 x 的取值范圍是_ .在 ABC 中，A = 60 , AC= 2 , BC = V3 ,貝 U AB =_ .答案(1)2vxv2 ,2(2)1解析(1)若三角形有兩解，則必有a b, x 2 ,又由 sin A= gsin B =x1, b22可得 x 2 2,x 的取值范圍是 2 x 2.2.(2) / A= 60 AC = 2, BC =帝，設(shè) AB = x，由余弦定理，得BC2= AC2+ AB2 2AC ABcos A,化簡(jiǎn)得 x2 2x+ 1 =

7、 0, - x = 1，即卩 AB= 1.題型二 和三角形面積有關(guān)的問(wèn)題A, B, C 所對(duì)的邊分別是 a, b, c,已知 A=才，b2 a2=1c2.(1)求 tan C 的值;若 ABC 的面積為 3,求 b 的值.1解（1）由 b2 a2= c2及正弦定理得 sin2B 2= si n2C.所以一 cos 2B = sin2C.又由 A=n即 B+ C=3n,得3cos 2B cos 2 / n C cos4=sin 2C= 2sin Ccos C,由解得 tan C= 2.(2)由 tan C=2,C(0, n得sin C=乍5,cos C=-55,55因?yàn)?sin B= sin(A

8、+ C) = sin 才+ C ,由正弦定理得例 2（2015 浙江）在厶 ABC 中，內(nèi)角3n2C所以 sin B=3 .1010 ,又因?yàn)?A=:1gbcsin A= 3,所以 bc= 6 2，故 b = 3.11 1思維升華 對(duì)于面積公式 S= qabsin C = gacsin B= qbcsin A, 一般是已知哪一個(gè)角就使用哪 一個(gè)公式.（2）與面積有關(guān)的問(wèn)題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化.銀採(cǎi)訓(xùn)練 2 四邊形 ABCD 的內(nèi)角 A 與 C 互補(bǔ)，AB = 1, BC= 3, CD = DA = 2.（1）求 C 和 BD ;求四邊形 ABCD 的面積.解（1）由題

9、設(shè) A 與 C 互補(bǔ)及余弦定理得BD2= BC2+ CD2 2BC CDcos C = 13- 12cos C,BD2= AB2+ DA2 2AB DA cos A= 5+ 4cos C.1由得 cos C= 2, BD = 7,因?yàn)?C 是三角形內(nèi)角，故 C= 60.四邊形 ABCD 的面積11S= 2AB DAsin A + BC CDsin C1 1=2X1X2+2X3X2 sin 60=2 3.題型三正弦、余弦定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用命題點(diǎn) 1 判斷三角形的形狀例3（1）在ABC中，角 A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若 bcosABC的形狀為_(kāi) 三角形.B a + c（2）（2015 濰坊

10、模擬）在厶 ABC 中，cos；= 云, b, c 分別為角 A, B, C 的對(duì)邊），則 ABC的形狀為_(kāi) 三角形.答案（1）鈍角（2）直角Bcos A,即 sin Bcos A + cos Bsin A sin Bcos A0，所以 cos Bsin A0，于是有 cos B0,B 為鈍角，所以ABC 是鈍角三角形.解析c（1）已知 bcos A,由正弦定理，得sin C而cosA,即 sin Csin Bcos A,所以 sin(A+ B)利用正弦定理將sinB . 6sinC化為b=J6c規(guī)范解答b c解（1）ABC中，由麗=snc， 及 sin B = ,；6sin C,可得 b=，

11、6c, 2 分又由 a c=b，有 a= 2c, 4 分可得 sin A=亠；0.9 分sin 2A = 2sin Acos A =嚴(yán).11 分nn所以，cos 2A ；= cos 2Acos -+ sin 2Asin661占底X1=歸總14 分42428.分溫馨提醒（1）本題將正弦定理、余弦定理和和差公式綜合進(jìn)行考查，具有一定的綜合性，要求考生對(duì)公式要熟練記憶；通過(guò)審題理清解題方向;（2）本題還考查考生的基本運(yùn)算求解能力，要求計(jì)算準(zhǔn)確無(wú)誤，盡量簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，減少錯(cuò)誤.思想方法感悟提高方法與技巧1 .應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理：A+ B + C=nA + B+C=n中互補(bǔ)和互余的情況，結(jié)合誘導(dǎo)

12、公式可以減少角的種數(shù).2 解題中要靈活使用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊、角的互化，一般要只含角或只含邊.失誤與防范n(2)求 cos 2A 求 cos 2A, sin 2A求 sin A, cos A第 1 問(wèn)已求出cos A根據(jù)同角關(guān)系求 sin A|所以 cos A = 士 =竺皆科在ABC 中，由 cos A=2 ,6c2164，7 分曰cos 2A = 2cos2A 1 =疋,i4, 10 分1 .在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論.2 在解三角形或判斷三角形形狀時(shí)，要注意三角函數(shù)值的符號(hào)和角的

13、范圍，防止出現(xiàn)增解、 漏解.練岀高分A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40 分鐘)1. 在 ABC 中，三個(gè)內(nèi)角 A,B, C 的對(duì)邊分別為 a, b,c,面積為 S,若 S+a2= (b+ c)3,貝 H cos A=_.答案75i解析 由 S+ a2= (b + c)2得 S= b4+ c5 6- a2+ 2bc.結(jié)合三角形面積公式及余弦定理可得？bcsin A=2bccos A+ 2bc,即 sin A = 4cos A + 4.又 sin A =1 cos2A,所以,1- cos2A= 4cos A+ 4,解15得 cos A= 17 或 cos A= 1(舍去).2._設(shè)厶 ABC 的內(nèi)角 A

14、, B, C 所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為 a, b, c,若 b+ c= 2a,3sin A= 5sin B,則角 C 等于_ .答案2n337解析 因?yàn)?3sin A = 5sin B，所以由正弦定理可得3a = 5b.因?yàn)?b + c= 2a,所以 c = 2a ；a=755a.令 a= 5, b= 3, c=乙則由余弦定理 c2= a2+ b2 2abcos C,得 49 = 25+ 9 2X3x5cos C,12n解得 cos C = 1，所以 C =三.3.若 ABC 的三個(gè)內(nèi)角滿足 sin A : sin B : sin C= 5 : 11 ： 13，則 ABC 為_(kāi) 三角形.答案鈍角 解析

15、由正弦定理誌=淤=骯=2R(R沁ABC外接圓半徑)及已知條件sin A：sinB : sin C= 5 : 11 : 13,可設(shè) a = 5x, b = 11x, c= 13x(x0).5x2+11x213x223x2的面積是_ .答案冷3解析 / c2= (a b)2+ 6, c2= a2+ b2 2ab+ 6. c2= a2+ b2 2abcosn= a2+ b2 ab.3由得一 ab + 6 = 0，即卩 ab= 6.SMBC=|absin C=2x =攀5.（2015 鎮(zhèn)江模擬）在銳角 ABC 中，角 A, B, C 所對(duì)的邊分別為 a, b , c,若 sin人=簣, a = 2,A

16、BC=2，貝 U b 的值為 答案 3解析由 S“BC= 2bcsin A= 2bcx晉=2,解得bc=3.因?yàn)?A 為銳角，sinA=舒,所以 COS1A = 3,由余弦定理得 a2= b2+ c2 2bccos A，代入數(shù)據(jù)解得 b2+ c2= 6,則(b + c)2= 12, b+ c=2/3,所以 b= c = J3.6.在 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c.若（a2+ c2 b2）tan B= ac,則角 B 的值答案 3 或 解析由余弦定理，得a2+ c2 b2=cos B,2ac結(jié)合已知等式得 cos B - taiB = -3 B =7. （2015

17、 天津）在厶 ABC 中，內(nèi)角 A, B,C 所對(duì)3 .15 , b c= 2, cos A=寸，則a 的值為答案 81解析/ cos A = 4, 0vA 2bc, 即卩 4+ bc 2bc, bc/5r a = 2 10.sin B &v213. (2015 重慶)在厶 ABC 中，B= 120 AB=Q2, A 的角平分線 AD = 3，貝 U AC =_答案 .62xsin 120/ADB=45 從而/BAD =15 DAC,所以 C =噸-120-30。= =6.14.（2015 蘇州模擬）在厶 ABC 中，B = 60 AC= . 3，則 AB + 2BC 的最大值為答案2

18、解析由正弦定理知AB，=i 60 =BCA,Sin C sin 60 sin A AB =2Sin C, BC= 2sin A.又A+C = 120, AB+ 2BC= 2sin C+ 4sin(120 C)=2(sin C + 2sin 120 cOS- 2cos 120 siC)=2(sin C + 3cos C+ sin C)=2(2sin C+. 3cos C)=2 7sin(C+ a,又 sin2A +COS2A= 1 得 sin A=255解析由正弦定理得ABsin / ADB.3 sin120解得sin / ADB 二寧，所以其中 tana=_23,a是第一象限角，由于 0 CV120且a是第一象限角,因此 AB + 2BC 有最大值 27.15.在 ABC 中，角 A, B, C 的對(duì)邊分別為 a, b, c,且 a2(b c)2= (2 3)bc, sin Asin B =cos2|,BC 邊上的中線 AM 的長(zhǎng)為，7.(1)求角 A 和角 B 的大小;求 ABC 的面積.解 由 a2 (b c)2= (2 3)bc,得 a2 b2 c2= 3bc,n又 0An A = 6.丄2C由 sin Asin B = cos2, 得 1sin B =