高數導數與微分

1、.第三章第三章 導數與微分導數與微分000000000( ),(),()();,( ),( ),(),yf xxxxxxxyyf xxf xyxxyf xxyf xxfx 設設函函數數在在點點的的某某個個鄰鄰域域內內有有定定義義 當當自自變變量量 在在處處取取得得增增量量點點仍仍在在該該鄰鄰域域內內 時時 相相應應地地函函數數 取取得得增增量量如如果果與與之之比比當當時時的的極極限限存存在在 則則稱稱函函數數在在點點處處可可導導 并并稱稱這這個個極極限限為為函函數數在在點點處處的的導導數數 記記為為1、 定義：定義：一、導數的概念一、導數的概念機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回

2、結束結束 .)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式：其它形式：.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx 00000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 000( ),xxxxxxdydf xydxdx ，或或即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .,( ).( ).( )( ),.xIf xf xdydf xfxydxdx 對對于于任任一一都都對對應應著著的的一一個個確確定定的的導導數數值值這這個個函函數數叫叫做做原原來來函函數數的的導導函函數數記記作作或或0()( )( )limxf xxf xfxx 即即.)()(lim)

3、(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :000()( )().xxfxfxf x 2、導函數、導函數機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .2）右導數）右導數:1）左導數）左導數:0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 0000( )()()lim;xxf xf xfxxx 3、單側導數、單側導數機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .222011111()(sin)cos(tan)sec(sec)sectan()ln(log)ln(arcsin)(arctan)xxaCxxxxxxxaaaxxaxxxx 122211111()(c

4、os )sin(cot )csc(csc )csccot()(ln|)(arccos )(cot )xxxxxxxxxxxeexxxxarcxx 4、 基本導數公式基本導數公式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .5、按定義求導數、按定義求導數步驟步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例1 1、( )().f xC C 求求函函數數為為常常數數 的的導導數數解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即機動機動 目錄目錄 上頁上

5、頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例2 2、0( ).f xxx討討論論函函數數在在處處的的可可導導性性解：解：xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 000( )( ),( ).fff xxx 所所以以函函數數在在點點不不可可導導練習練習1、討論討論000sin ,( ).,xxf xxxx 在在處處的的可可導導性性機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例3 3、121000( )()()(),( ).f xx xxxf 設設求求解解:0)0()(lim)

6、0(0 xfxffx)100()2)(1(lim0 xxxx!100 練習練習2、設設12( )( ).f xxf , ,用用導導數數的的定定義義求求22211222( )( )( )limlimxxf xfxfxx 解解:211211limxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .6、導數的幾何意義、導數的幾何意義oxy)(xfy T0 xM000000()( )(,(),()tan,()( )(,()fxyf xM xf xfxyf xM xf x 表表示示曲曲線線在在點點處處切切線線的的斜斜率率 即即為為傾傾角角，因因此此在在點點處處的的切線方程為切線方程為法線

7、方程為法線方程為000()()().yf xfxxx 0001()().()yf xxxfx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例4 4、1122(, ).yx 求求在在點點處處的的切切線線方方程程和和法法線線方方程程解：解：由導數的幾何意義由導數的幾何意義, 知所求切線斜率為知所求切線斜率為12xy 21)1( xx2121 xx. 4 故所求切線方程為故所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .7、可導與連續(xù)的關系、可導與

8、連續(xù)的關系: 可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導可導必連續(xù)，但連續(xù)不一定可導.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 200,( ),xxf xxx 例例如如0 x 在在處處連連續(xù)續(xù)但但不不可可導導，因因為為20000000000000100lim( )lim;( )lim( )lim;( )( )( )( )lim, limxxxxxxf xxff xxf xff xfxx 連連續(xù)續(xù)不不可可導導.例例5 5、10000sin,( ),.xxf xxxx 討討論論函函數數在在處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導導性性解：解：00100lim( )limsin( )xxf xxfx 0(

9、 ).f xx 在在處處連連續(xù)續(xù)00010001sin( )( )limlimlimsinxxxxf xfxxxx又又因因為為極極限限不不存存在在0( ).f xx 在在處處不不可可導導機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 201060,( )(),.a xexa bf xbxxxx 確確定定，使使得得在在連連續(xù)續(xù)、且且可可導導例例00200002000111000100110110( )lim( )lim( )( )limlim (),( )( )( ),( )limlim,()( )lim,.xxa xxx

10、a xxxxf xxf xf xfebxxbf xxffeaxfaxxbxxfax 為為使使在在連連續(xù)續(xù)，則則，即即解解得得；為為使使在在可可導導，則則又又所所以以解解：.21311,( ),.xxa bf xaxbxx 確確定定，使使得得在在連連續(xù)續(xù)習習 、且且可可導導練練21,.ab 答答案案：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .0()( )( )lim,xfxxfxfxx 二二階階導導數數: :記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 0()( )( )( )lim,xfxxfxfxfxx 三階導數三階導數:1( )( ),( )( ),.nn

11、nnnnnnd yd f xfxydxdx 階階導導數數: :階階導導數數的的導導數數 記記作作或或(二階和二階以上的導數統(tǒng)稱為高階導數二階和二階以上的導數統(tǒng)稱為高階導數)二、高階導數二、高階導數1、定義、定義機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .,uvn設設函函數數和和具具有有階階導導數數 則則)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu 2、 高階導數的運算法則高階導數的運算法則:機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 例例1 1、520sin ,( ).yxxyy設設求求和和解解:410cos ,yxx 340sin ,

12、yxx 2120cos ,yxx 01( )y .(1) 函數的和、差、積、商的求導法則函數的和、差、積、商的求導法則三、求導法則三、求導法則 ( )( )( )( );u xv xu xv x( )( ).( )( )u xu xv xv x機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例1 1、3( ),( )( ).xf xxefxf設設求求和和解：解：111( )()xxxfxex ex e 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1112( )()xxxfxexexe 33( )fe練習練習1 1、ln( )ln,( )( ).xf xxxfxf

13、 ex設設求求和和.( ),( ) ( )( )( )( ).yf u uxyfxdydy duy xfuxdxdu dx 設設的的復復合合函函數數，則則或或例如，例如，(2) 復合函數的求導法則復合函數的求導法則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .sinln的導數的導數求函數求函數xy 解：解：ln ,sinyu uxdxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot .例例2 2、練習練習2 2、210( )sin(),( )( ).xf xfxf設設求求和和解解:212121 22( )cos() ()cos()lnxxxxfx機動機動 目錄目錄

14、 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .)1(102的的導導數數求求函函數數 xy解：解：)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx02( )lnf .(3) 隱函數求導法則隱函數求導法則0( , )( ),.F x yyy xxdyyxdx設設確確定定了了隱隱函函數數則則方方程程兩兩端端同同時時對對求求導導，求求導導時時視視為為的的函函數數，即即可可求求出出機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例3 3、00( ).xyxxyeedydyyy xdxdx求求由由方方程程所所確確定定的的隱隱函函數數的的導導數數和和解：解：x方

15、方程程兩兩端端同同時時對對求求導導得得0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy 00,xy又又由由原原方方程程知知時時000 yxyxxexyedxdy. 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .練習練習3 3、11cos()( ).xyyxydydyyy xdxdx求求由由方方程程確確定定的的隱隱函函數數的的導導數數和和解：解：x方方程程兩兩端端同同時時對對求求導導得得1sin()dydyxydxdx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 解得解得1sin(),sin()dyxydxxy111101sin()sin()xx

16、yydyxydxxy.( ),( )xtyxyt 若若參參數數方方程程確確定定與與 間間的的函函數數關關系系( );( )dydytdtdxdxtdt 則則(4) 參變量函數的求導法則參變量函數的求導法則22()dydd ydxdxdx( )()( )dtdttdxdt機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例4 4、解：解：2222( ).ttxed yyf xdxyte設設由由參參數數方方程程確確定定，求求dtdxdtdydxdy 2322224 (),ttttet ee22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt3442431012 ()tttte

17、t ee機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .練習練習4 4、解：解：22cos( )sin.xtyf xybtd ydx設設由由參參數數方方程程確確定定，求求dydy dtdxdx dtcoscot ,sinbtbtt 22()()dydydddtd ydxdxdxdxdx dt23 csccscsinbtbtt機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .觀察函數觀察函數32114sin().()xxxxyyxxe和和求導方法求導方法對數求導法：對數求導法：所屬類型所屬類型: :.)()(的的情情形形數數多多個個函函數數相相乘乘和和冪冪指指函函xvx

18、u先在方程兩邊取對數先在方程兩邊取對數, 然后利用隱函數求導法求出導數然后利用隱函數求導法求出導數.(5) 對數求導法對數求導法機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例5 5、解：解：3211112141314()()()xxxyxexxx等式兩邊同時取對數得等式兩邊同時取對數得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(lnx等等式式兩兩邊邊同同時時對對 求求導導得得142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .例例6 6、解：解：.),0(sinyxxyx 求求設設等

19、式兩邊同時取對數得等式兩邊同時取對數得xxylnsinln x等等式式兩兩邊邊同同時時對對求求導導得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .練習題：練習題：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 231213141( )log,( ).ln(ln ),.( )( )( ).xaaaf xaxaxfxyxyyf xxyyxf xfxx、設設求求、設設求求、設設由由方方程程確確定定，求求、設設，求求.1 1、問題的提出、問題的提出: :正方形金屬

20、薄片受熱后面積的改變量正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 變變到到設設邊邊長長由由,20 xA 正方形面積正方形面積2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的的主主要要部部分分且且為為的的線線性性函函數數Ax .,很很小小時時可可忽忽略略當當的的高高階階無無窮窮小小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0四、微分四、微分機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .000000000( ),()()()(),( ),( ),(),.x xx xyf xxxxyf xxf xAxoxAxyf xxAxyf xxxdydf xdyAx 設設函函數數在在某某區(qū)區(qū)間間內內有有定定義義及及在在這這區(qū)區(qū)間間內內 如如果果成成立立 其其中中 是是與與無無關關的的常常數數 則則稱稱函函數數在在點點可可微微 并并且且稱稱為為函函數數在在點點相相應應于于自自變變量量增增量量的的微微分分 記記作作或或即即.ydy函函數數增增量量的的線線微微的的實實質質：性性主主部部分分2、微分的定義、微分的定義機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .3 3、導數與微分的關系、導數與微分的關系0000( )( ),( )|()