橢圓的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)案例

1、“橢圓的簡單幾何性質(zhì)”教學(xué)案例分析 教學(xué)案例 ： 一、教學(xué)目標： 1 、知識掌握目標：通過橢圓標準方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，并能正確作出圖形。 2 、基本技能和一般能力培養(yǎng)目標：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、抽象、概括的邏輯思維能力和運用數(shù)形結(jié)合思想解決實際問題的能力。 3 、創(chuàng)新素質(zhì)和創(chuàng)新人格的培養(yǎng)目標：培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識。 4 、德育目標：通過數(shù)與形的辨證統(tǒng)一，對學(xué)生進行辯證唯物主義教育，通過對橢圓對稱美的感受，激發(fā)學(xué)生對美好事物的追求。 二、教材分析與處理，學(xué)情分析與對策 1 、教材與學(xué)生的簡要分析：本課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了橢圓的定義、標準方程的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程

2、研究曲線的性質(zhì)。按照學(xué)生的認知特點，改變了教材中原有安排順序，引導(dǎo)學(xué)生從觀察課前預(yù)習(xí)所作的圖形入手，從分析對稱開始，循序漸進進行探究。對于學(xué)生來說，利用曲線方程研究曲線性質(zhì)這是第一次，因此教學(xué)中教師要注意引導(dǎo)、點撥。 2 、重點：橢圓的簡單幾何性質(zhì)及其探究過程。 難點：利用雙曲線方程研究曲線幾何性質(zhì)的基本方法和離心率定義的給出過程。 德育點：在研究性質(zhì)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，敢于發(fā)表個人見解，培養(yǎng)學(xué)生喜歡探究的情感和態(tài)度。過對橢圓對稱性的體驗，使學(xué)生得到美的感受。 創(chuàng)新點：教學(xué)中不拘泥于教材，改變教材的安排，有利于學(xué)生進行探究。在范圍這一性質(zhì)的教學(xué)中，鼓勵用多種方法推倒，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

3、；在反饋訓(xùn)練中，讓學(xué)生自己編擬方程并研究其性質(zhì)。留研究性作業(yè)，鼓勵學(xué)生進一步探索。 空白點：研究性過程中多處留白，鼓勵學(xué)生大膽猜想并根據(jù)方程給予論證反思性小結(jié)中設(shè)計表格留空白，調(diào)動學(xué)生積極參與。 三、教學(xué)設(shè)計 借助多媒體輔助手段，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、猜測、論證，組織討論，合作交流，啟發(fā)學(xué)生積極思維，不斷探索后匯報研究成果，得到結(jié)論后總結(jié)，及時進行反饋應(yīng)用和反思式總結(jié)。 教具的選擇和使用目的，板書設(shè)計 多媒體課件及實物展臺，通過動畫演示化解知識難點，運用實物展臺，實現(xiàn)了現(xiàn)代教育技術(shù)既作為教的工具，也作為學(xué)的工具。 四、板書設(shè)計：橢圓的簡單幾何性質(zhì) 1 、對稱性； 4 、離心率 2

4、、頂點； 5 、板書學(xué)生推導(dǎo) 3 、范圍； 6 、作圖 五、教學(xué)過程 1 、創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)目標與內(nèi)容 教師： 2003 年 10 月 15 日是每一個中國人為之驕傲的日子（課件展示飛船繞地球運行模擬圖），大家還記得這一天嗎？ 學(xué)生：神州五號飛船發(fā)射成功。 教師：對，神州五號載人飛船順利發(fā)射升空，實現(xiàn)了幾代中國人遨游太空的夢想。你知道照片上這個人嗎？（屏幕打出楊利偉照片） 學(xué)生：楊利偉 教師：他是我們民族的英雄，我們應(yīng)向他學(xué)習(xí)。 通過前面的學(xué)習(xí)我們知道，飛船在變軌前是沿著地球中心為一個焦點的橢圓軌道運行的，如果告訴你飛船的軌道方程，你怎樣作出飛船的軌跡呢？這個問題的實質(zhì)是什么？ 學(xué)生：已知一個橢圓

5、的方程，畫出這個橢圓。 教師：讓學(xué)生拿出預(yù)習(xí)中用描點法畫出 所示的圖形，同時計算機給出作圖過程，糾正學(xué)生作圖中存在的問題后給出：這種作圖方法雖然比較準確，同學(xué)們通過作圖體會到了什么？ 學(xué)生：麻煩。 教師：有簡單的方法嗎？如果有，需要知道什么呢？ 學(xué)生：研究曲線的特點。 教師：對，如果我們能根據(jù)橢圓的方程，探討出它的幾何特征，那么作圖就很方便了。這節(jié)課我們就一起來學(xué)習(xí)橢圓的簡單幾何性質(zhì)（引出課題） 教師：前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的哪些知識？ 學(xué)生：學(xué)習(xí)了定義和標準方程。 教師：你還記得標準方程嗎？ 學(xué)生： 或 教師：這節(jié)課就以 （ a b 0 ）為例來研究。 2 、教師點撥、指導(dǎo)，學(xué)生研究、合作、體驗

6、 （ 1 ）對稱性 教師：（大屏幕展示所示的圖形）請同學(xué)們觀察這個圖形在 x 軸的上方、下方， y 軸的左側(cè)、右側(cè)有怎樣的關(guān)系呢？（此處是空白點，激發(fā)學(xué)生思考） 學(xué)生：有對稱性，關(guān)于 x 軸、 y 軸、原點都對稱。 教師：正確。那么一般的橢圓 是否也具有這種對稱性，你能根據(jù)方程得到結(jié)論嗎？ 學(xué)生： A ：（充分討論后）也有同樣的對稱性。在 上任取一點 P （ x,y ）則 P 點關(guān)于 x 軸、 y 軸和坐標原點的對稱點分別是（ x,-y ）（ -x ， y ）、（ -x ， -y ），而代入方程知這三個對稱點都適合方程，即點 P 關(guān)于 x 軸、 y 軸和坐標原點的對稱點仍然在橢圓上，可得結(jié)論。

7、 教師：回答得非常正確。 課件展示對稱過程后總結(jié)： 所表示的橢圓，坐標軸是其對稱軸，坐標原點是其對稱中心，對稱中心也叫橢圓的中心，橢圓是有心曲線。做人應(yīng)向橢圓學(xué)習(xí)，做一個有心之人。 （ 2 ）頂點 教師：（大屏幕展示 所表示的圖形）請同學(xué)們繼續(xù)觀察這個橢圓與坐標軸有幾個交點呢？ 學(xué)生 B ：與坐標軸有四個交點。 教師：對，一般的橢圓 與坐標軸有幾個交點呢？ 學(xué)生 B ：同樣是四個。 教師：你能根據(jù)方程求得四個交點的坐標嗎？（計算機給出圖形，橢圓與 x 抽的交點分別是 、 ，與 y 軸的交點分別是 、 ） 學(xué)生 B ：分別令 x=0,y=0 ，得 (-a,0) 、 （ a,0 ）、 （ 0,-b

8、 ） （ 0,b ） . 教師：回答得很好。這四個點是橢圓與坐標軸的交點，也是橢圓與其對稱點的交點。 及時總結(jié)并給出頂點的定義（強調(diào)是與對稱軸的交點）。結(jié)合圖形指出長軸、短軸、長軸長、短軸長半軸長、短半軸長，點明方程中 a 、 b 的幾何意義。 教師：（根據(jù)課件中的圖）如果過 、 、分別作 y 軸的平行線，過 、 分別做 x 軸的平行線，則這四條直線將構(gòu)成 - （欲言又止） 學(xué)生：一個矩形。 教師：橢圓在矩形 - （欲言又止） 學(xué)生：內(nèi)部 教師：正確，這說明了什么？ 學(xué)生：有的說有界，有的說有范圍。 教師：指出橢圓是有范圍的，根據(jù)前面求得的 、 、 、 的坐標，你能說出 x 、 y 的范圍嗎？

9、 學(xué)生 C ： -a x a ， -b y b. 教師：完全正確。那么你根據(jù)方程 研究 x 、 y 的取值范圍嗎？請同學(xué)們想一想，并互相討論討論。（此處既是空白點、又是創(chuàng)新點，學(xué)生能夠動腦思考，動手實踐，親身體驗，積極地投入到“創(chuàng)新性研究”中，把數(shù)學(xué)的重點放在了學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，而不是獲得一個簡單的結(jié)果） （ 3 ）范圍 引導(dǎo)學(xué)生用多種方法探究，匯報研究成果并用實物投影展示或到黑板板書。 學(xué)生 D ：由 利用兩個實數(shù)的平方和為 1 ，結(jié)合不等式知識得 且 ，則有 -a x a ， -b y b. 教師：很好，誰還有不同意見？ 學(xué)生 E ：利用三角換元，令 ， ， R 。由弦函數(shù)有界可得范圍。 教

10、師：這個想法也不錯，誰還有不同見解？ 學(xué)生 F ：從 中解出 ，利用 0 可得 y 的取值范圍，同樣可得 x 的取值范圍。 教師：這種想法也不錯，誰還有不同見解？ 此時學(xué)生陷入深思中，教師及時點撥，前面我們學(xué)習(xí)過函數(shù)的定義域、植域，這對你研究橢圓的范圍有何啟示呢？ 學(xué)生議論紛紛，有的開始動筆推導(dǎo)，有的幾個人一起在商量。 教師：誰研究出來了，或哪個小組研究出來了？請到前面給大家講一講。 學(xué)生 G ：（實物展臺展示）由 則 y= ± ，可通過求這個函數(shù)的定義域、值域得范圍。 教師： y= ± 是函數(shù)嗎？ 學(xué)生 G ：（思考后）說不是。 教師：怎么處理呢？ 學(xué)生 G ：把 y=

11、和 y=- 分別看作是一個函數(shù)。 教師：正確。往下怎么研究呢？ 學(xué)生 G ：先求函數(shù) y= 的定義域、值域。利用前面學(xué)習(xí)過的代數(shù)函數(shù)求定義域、值域的方法，可得 -a x a ， 0 y b ，同樣得 y= 中 -a x a ， -b y 0 ，于是得到范圍。（課堂響起一片掌聲，表示對這位同學(xué)的支持、肯定與鼓勵） 教師：前面我們研究了橢圓的對稱性，誰能簡化學(xué)生 G 的推導(dǎo)過程呢？ 學(xué)生 H ：老師，我想只需求 y= (0 x a) 的定義域、值域即可，然后利用對稱性可得范圍。 教師：很好。 教師：通過前面的探討，我們知道橢圓是有范圍的，即它圍在一個矩形框內(nèi)。有了前面這幾個性質(zhì)，我們就可以很快地作

12、出焦點在 x 軸上的橢圓的草圖了教師在黑板上示范作圖（先找到標準方程所表示的橢圓與坐標軸的四個交點，畫出矩形框，光滑曲線連接，并注意對稱性） 教師：請同學(xué)們根據(jù)這種作圖方法，在同一坐標系下畫出方程 和 所示的橢圓，并思考這兩個橢圓的形狀有何不同？ 學(xué)生 M ：實物展臺展示畫圖，指出一個扁一些，一個圓一些。 教師：（追問）圓扁與什么有關(guān)系？（提示學(xué)生注意兩個方程） 學(xué)生 M ：與 b 有關(guān)系。 教師：是這樣嗎？ 學(xué)生 N ：在 a 不變的情況下與 b 有關(guān)系， b 大則圓， b 小則扁，因此與 a 、 b 有關(guān)系。 教師課件動畫展示（ a 不變，隨 b 變化，橢圓形狀的變化）印證學(xué)生的猜測是正確

13、的，同時提出問題：在推導(dǎo)方程中曾令 ，這又意味著形狀還與什么有關(guān)系呢？ 學(xué)生有的說與 b 、 c 有關(guān)，有的說與 a 、 b 、 c 有關(guān)。（鼓勵學(xué)生大膽猜測） 教師：在給出橢圓的定義中，大家還記得嗎？影響橢圓形狀的最關(guān)鍵的要素是什么？ 學(xué)生：是 a 和 c 教師：下面我們就一起看一下在 a 不變的情況下，隨 b 的變化 c 是如何變化的（動畫演示）。從而引出離心率。 （ 4 ）離心率 教師在動畫演示過程中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn) a 不變， b 大則 c 小，橢圓較圓， b 小則 c 大，橢圓較扁，特別當(dāng) a=b 時， c=0 橢圓為圓。教師指出：當(dāng) a 不變， b 大則 c 小，此時 也變小，學(xué)生通

14、過觀察指出此時橢圓較圓，反之較扁， c=0 時變成了圓。及時總結(jié)并給出離心率的定義、符號和范圍及特例。（強調(diào)離心率是焦距與長軸長之比，與坐標系選取無關(guān)，并引導(dǎo)學(xué)生分析出：固定 a 、 b 、 c 中任何一個量，改變另外兩個量可得到同樣的結(jié)論，即 e 大則扁， e 小則圓，特別 e=0 時為圓） 因此離心率是一個刻畫橢圓圓扁程度的量。（此處是難點，教學(xué)中借助動畫演示，結(jié)合教師啟發(fā)引導(dǎo)，幫助學(xué)生理解離心率的定義及離心率對橢圓形狀的影響） 3 、鞏固與創(chuàng)新應(yīng)用 請你自己設(shè)計一個焦點在 x 軸上的橢圓的標準方程，并指出它的幾何性質(zhì)。（此題把主要權(quán)交給學(xué)生，提高學(xué)生的參與意識） 利用本節(jié)所學(xué)的知識，說出

15、橢圓 的簡單幾何性質(zhì)。（此處也是一個創(chuàng)新點，培養(yǎng)學(xué)生運用類比化歸的思想解決實際問題的能力，也通過本題使學(xué)生體驗這節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)是橢圓自身固有的性質(zhì)與坐標系的選取無關(guān)） 橢圓 (k 0) 的長軸是短軸的 2 倍，則 k= 如果一個橢圓短軸上的一個頂點與兩個焦點構(gòu)成一個三角形，求橢圓的離心率，（通過第（ 3 ）（ 4 ）兩題鞏固本節(jié)所學(xué)知識） 4 、反思與小結(jié) 教師引導(dǎo)學(xué)生從知識、思想方法和研究問題的方法三個方面進行總結(jié)。 教師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？體驗到了什么？掌握了什么？ 學(xué)生討論、反思。 師生合作： （ 1 ）知識總結(jié)：教師設(shè)計關(guān)于性質(zhì)的表格，學(xué)生填表，并總結(jié)：記住這些性質(zhì)的關(guān)鍵

16、是抓住兩條線（對稱軸），一個框（范圍），七個點（一個中心、兩個焦點、四個頂點）和用 e 刻畫圓扁。思想方法總結(jié)：本節(jié)課主要利用了數(shù)形結(jié)合的思想和類比化歸的思想研究性質(zhì)的，平時學(xué)習(xí)中要注意數(shù)學(xué)思想方法的運用。 （ 2 ）掌握利用曲線方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，即通過研究曲線的對稱性、頂點、范圍、離心率等，這樣就可以從整體上把握曲線了。 5 、研究性作業(yè) 在預(yù)習(xí)教材中的例 4 的基礎(chǔ)上，證明：若 分別是橢圓 的左、右焦點，則橢圓上任一點 P （ ）到焦點的距離（焦半徑） ，同時思考當(dāng)橢圓的焦點在 y 軸上時，結(jié)論如何？（此題意圖是引導(dǎo)學(xué)生去進一步探究，為進一步研究橢圓的性質(zhì)做準備） 教后反思 ：

17、1 、將教學(xué)科研融入教學(xué)中，改變學(xué)生的學(xué)習(xí)方式 研究體驗式創(chuàng)新教學(xué)法是我校的一個科研課題。本節(jié)課就是以這一理論為指導(dǎo)，借助多媒體手段創(chuàng)設(shè)問題情境，指導(dǎo)學(xué)生研究式學(xué)習(xí)和體驗式學(xué)習(xí)（興趣是前提）。例如導(dǎo)入，通過“神州五號”這樣一個人們關(guān)注的話題引入，有利于激發(fā)學(xué)生的興趣。再如，這節(jié)課是學(xué)生第一次利用曲線方程研究曲線性質(zhì)，為了解決這一難點，在課前設(shè)計中改變了教材原有研究順序，讓學(xué)生從觀察一個具體橢圓圖形入手，從觀察到對稱性這一宏觀特征開始研究，符合學(xué)生的認知特點，調(diào)動了學(xué)生主動參與教學(xué)的積極性，使他們進行自主探究與合作交流，親身體驗幾何性質(zhì)的形成與論證過程，變靜態(tài)教學(xué)為動態(tài)教學(xué)。在研究范圍這一性質(zhì)時，課前設(shè)計中，只要學(xué)生能根據(jù)不等式知識解出就可以了，但學(xué)生采用了多種方法研究，這時教師沒有打斷他的思路，而是引導(dǎo)幫助他研究，鼓勵學(xué)生創(chuàng)新，從而也實現(xiàn)了以學(xué)生為主，為學(xué)生服務(wù)。 2 、滲透教學(xué)思想方法重在平時 當(dāng)學(xué)生有一天不再學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)了，我們給學(xué)生留下的是什么？我想應(yīng)該是學(xué)生遇到具體問題時那種思考問題的方式和解決問題的方法。本節(jié)課始終是引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形后研究方程，即數(shù)形結(jié)合的思想。華