麥克斯韋速率分布律的推導(dǎo)與驗(yàn)證

1、麥克斯書速度分布律的推導(dǎo)與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證摘要：本文對麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容及其歷史來歷做了簡略概述，重點(diǎn)是用初等方法 推導(dǎo)了麥克斯韋速度分布律，同時簡單地描述了一下它的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：速度分布函數(shù)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。內(nèi)容1、麥克斯韋速度分布律的內(nèi)容當(dāng)氣體處于平衡態(tài)時，氣體分子的速度在v v +dv間隔內(nèi)，及分子速度分量在VxVx+dVx, VyVy+dVy, v% v% + dv%間隔內(nèi)的分子數(shù)dN(v)占總分子數(shù) N的比率為：3dN (v)Nm 2 _m(vX 埸號)/2kT二()2edvxdvydvz2 二 kT其中m為分子的質(zhì)量，T為氣體溫度，k為波爾茲曼常數(shù)，°m(v2+v；+v2)

2、=1 mv2 2y2為氣體分子平動能。 圾»表示速度矢量的端點(diǎn)在速度體元di內(nèi)的分子數(shù)占總N分子數(shù)的比率，換言之，一個分子取得 v v +dv間隔內(nèi)速度的幾率。f (v)=dN(v)Ndvxdvydvz2、分子速度分布函數(shù)3z m 、2 H(v2+y+Z)/2kT()2e2 二 kTf (v)的物理意義是：分子速度在 v附近，單位時間問隔內(nèi)的分子數(shù)占總分 子數(shù)的比率。3、速度分量分布函數(shù)1dN(vx) _ m m 、2 . mvx /2 kT=()eNdvx2 二 kTf Wy) RNdvy, m 、2 -mvj /2kT=()2e2 二 kT1f (v，dNM) _ / m 、2

3、-mvZ /2kT二()2eNdvz2 二 kT3、麥克斯韋速率分布律將以Vx，Vy, Vz為軸的笛氏坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)變換，變?yōu)榍蜃鴺?biāo) x y z Vx，Vy，Vz；V，K ：I dVxdVydVzr.V2 sin ?dp :dV分子速度在vv+dv,日日+dH,中平+d邛內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率dN(V)N3/ m , 2 5V2/2kT 2=()2e v sin dddd dV2 二 kT對e,中積分，得分子的速度在V v+dv內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為_mv2 /2kT 2 , v dvdN(v) m |4二()2eN 2 二 kT4、分子速率分布函數(shù)3dN(V)m 2_mv2 /2kT

4、2f (v)=4()2e vNdv 2二 kT物理意義：分子速率在V附近，單位速率間隔內(nèi)的幾率。二.歷史1859年4月,麥克斯韋偶然的讀到克勞修斯關(guān)于平均自由路程的那篇論文， 很受鼓舞，重燃了他原來在土星衛(wèi)環(huán)問題上運(yùn)用概率理論的信念，認(rèn)為可以 用所掌握的概率理論對動理論進(jìn)行更全面的論證。1859年麥克斯書寫了氣體動力理論的說明一文。接著他用概率方法找出 粒子速度在某一限值內(nèi)的粒子的平均數(shù)，即速率分布律。麥克斯韋的這一推導(dǎo)受到了克勞修斯的批評，也引起了其他物理學(xué)家的懷疑。這是因?yàn)樗谕茖?dǎo)中把速度分解為 x, y和z三個分量，并假設(shè)他們相 互獨(dú)立的分布。直到1866年，麥克斯韋對氣體分子運(yùn)動理論做

5、了進(jìn)一步的研究以后，他寫 了氣體的動力理論的長篇論文，討論氣體的輸運(yùn)過程。其中有一段是關(guān) 于速度分布律的嚴(yán)格推導(dǎo)，這一推導(dǎo)不再有“速度三個分量的分布相互獨(dú)立” 的假設(shè)，也得出了上述速度分布律。它不依賴于任何假設(shè)，因而結(jié)論是普遍 的。三.麥克斯韋速度分布律的推導(dǎo)設(shè)容器內(nèi)有一定量的氣體處于平衡態(tài)， 氣體總分子數(shù)為N,分子速度在x,y,z三個方向上的分量為vx,vy,vz。處于平衡態(tài)的氣體分子速度分布應(yīng)該是各向 x y z同性的，在速度區(qū)間VxVx+dVx, VyVy+dVy, Vz Vz + dVz內(nèi)的分子數(shù)dN顯然與總分子數(shù)N和速度間隔體元dvxdvydvz成正比即 dN = NF (U 2)d

6、vxdvydvz( U 2 = v2 + vj + v； )(1)這里比例系數(shù)F(U 2) = dN(2 )NdvxdVydVz為速度分布函數(shù)由于速度分布函數(shù)的各向同性，速度的任一分量的分布于其它量無關(guān)，故可設(shè)F(U2)=f(Vx) + f(Vy) + f(Vz)(3)對上式兩邊取對數(shù)的In F (U 2) =ln f (vx) In f (vy) In f (vz)上式分別對Vx，V ,Vz求偏導(dǎo) x y z先對vx且"V1 dF ：:U 1開(V x)n i= i22.，F(xiàn)(U ) dU二Vxf(v x)二Vx整理后可得1dF11df(V x)_ 2F(U )dU2一 2Vxf(

7、v x)dVx同理有1 dF _ J1_ df(V y)F(U2) dU2 - 2Vy f(V y)dVy1 dF 11 df(V z) = *22F(U ) dU 2Vz f(V z)dVz以上三式左邊相同，故右邊也相等可令11 df(V x)11 df(V y)11 df(V z)1-,= 2Vx f(V x) dVx2Vy f(V y)dVy2Vz f(V z)dVz、，2,.2、，2對上式積分得 f (vJ =Ae ' x f (Vy) =Ae y f (vz) =Ae ' z將其帶入(3)式有F(U2)=A3eXvx+Vy+Vz)(5)考慮到具有無限大速率的分子出現(xiàn)的

8、幾率極小，故九應(yīng)為負(fù)值令九=-a2,有歸一條件有:2、iiiF(U )dVxdVydVz=A3 e2 2 二_a2Vx .-adVx e2vy. r -a2Vz .dVy edVz = 1-Q0-oO-oO由積分公式 e_a2x2dx可知joO于是a3 =1得慶二F(U2)=(3 e一2/ 222、-a ( Vx +Vy+Vz)(6)在利用分子平均動能等于2kT1 mU2U223.=-kT23kT2 _2.(U )F(U )dVxdVydVz =m 3kTlll(V2 V2 V23 -a 2( V2 +v2 +v2)e x y z dVxdVydVz3 tppt 2 -a 2"X+V

9、y+Vz)2 -a 2(VX+Vy+Vz)2 -a 2 VX+Vy+Vz)i l l MeVyeVzedVxdVydVz僅取上積分式中一項(xiàng)【卜1/國+40dvxdvvdv7 x y z.V2eVx2e'Vy2e-aVzdVxdVydVz=jV2eRxdVx JeTdVy e*zdVz2.2由積分公式 x e dxa、2e dx =可得原式=1 二22 a32 a5.2 _a2(vX+y 雇)III VyedVy2 a53 在 2 a5ff, 2 -a2(vX-vy4vZ)i n Vze ydVz =代入（6）式有(8)3_2F(U )=(a2 二 kT通常說的速率分函數(shù)，f （u）指的

10、是不論速度方向如何，只考慮速度的大小點(diǎn)的分布，在這種情況下，自然應(yīng)該用球坐標(biāo)系表示速度區(qū)間球坐標(biāo)空間球速度空間r、8 cp dV=r 2sinb聃rg 中 d J=v2sinltjdv vx' Vy、VzTv、9 中t dvxdvyd vzv2 sin R d dvdN2 二 kT32 ,)2eV /2kTv2sinmd dv3m x 2 .mv2/2kT 2=4 ()2e v dv2 二 kT3dNm . 2 -mv2/2kT 2可彳寸：f (u)4 ()2evNdV 2二 kT在麥克斯韋從理論推導(dǎo)速度分布律后的近半個世紀(jì)，由于當(dāng)時的技術(shù)條件， 主要是高真空技術(shù)和測量技術(shù)的限制，要從

11、實(shí)驗(yàn)上來驗(yàn)證麥克斯韋速度分布律是 非常困難的，直到1920年，英國物理學(xué)家斯特恩才做了第一次的嘗試。雖然實(shí) 驗(yàn)技術(shù)曾經(jīng)有許多物理工作者做了進(jìn)一步的改進(jìn)，但直到1955年才由哥倫比亞大學(xué)的密勒和庫士提出了這個定律的高精確的實(shí)驗(yàn)證明。1、實(shí)驗(yàn)裝置簡介(1)、o為分子或原子射線源(2)、R是用鋁合金制成的圓柱體，圓柱體上均勻地刻制了一些螺旋形的細(xì)槽，細(xì)槽的入口狹縫與出口狹縫之間的夾角 呼=4.8°(3)、D是根據(jù)電離計(jì)原理制成的檢測器，用來接收原子射線，并測定其強(qiáng)度(4)、整個裝置都放在抽成真空的容器內(nèi)2、實(shí)驗(yàn)原理實(shí)驗(yàn)時，圓柱體R以一定的角速度。轉(zhuǎn)動，由于不同的速率的分子通過 細(xì)槽所需的時

12、間不同，各種速率的分子射入入口狹縫后，只有速率嚴(yán)格限定 的分子才能通過這些細(xì)槽，而不和細(xì)槽壁碰撞。分子沿細(xì)槽前進(jìn)所需的時間.l :, l 為t= ,從而有v =- v ，只有速率滿足上述關(guān)系的分子才能通過細(xì)槽，其它速率的分子將沉積在細(xì)槽的內(nèi)壁上。因此旋轉(zhuǎn)主體起到了速率選擇器的作用，改變角速度0 ,就可以使不同的分子通過。3、實(shí)驗(yàn)過程與結(jié)果改變圓柱體轉(zhuǎn)動的角速度o ,依次測定相應(yīng)分子射線的強(qiáng)度，就可以確 定分子射線的速率分布情況。試驗(yàn)表明，射線強(qiáng)度確為速率v的函數(shù)，強(qiáng)度大，表明分布在該速率區(qū) 間內(nèi)的分子數(shù)所占的比率較大，反之亦然。實(shí)驗(yàn)還表明，在相同條件下，各相等速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率不同，多 次

13、實(shí)驗(yàn)得到同一速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)比率大致相同。這就說明分子速率確實(shí) 存在一個恒定的分布律。1955年密勒與庫土測定了從加熱爐內(nèi)發(fā)射出來的鎧原子速率分布，實(shí)驗(yàn)溫度為1400K,并由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)會出了鎧原子速率分布的試驗(yàn)曲線(見下圖)。, 甘 vv+dv q由試驗(yàn)曲線可知:(1)、f(v)值兩頭小，中間大，f(v)有一極大值(2)、可認(rèn)為大量原子(或分子)的速率是連續(xù)分布的，當(dāng)Av取得很小時，則有 dN = f(v)dvNf(v)這一函數(shù)，麥克斯韋首先從理論上找到了密勒與庫士于1955年在實(shí)驗(yàn)上比較精確的證明了麥克斯韋速度分布律。總結(jié)：應(yīng)用麥克斯韋速率分布律可以求與速度有關(guān)的函數(shù)的各種平均值；可以計(jì)算 速率在v v+dv內(nèi)的分子數(shù)dN ;可以計(jì)算速率在有限間隔v1 v2內(nèi)的分子數(shù)AN或者百分?jǐn)?shù)AN / N ；也可以推