262用函數(shù)觀點看一元二次方程同步測控優(yōu)化訓(xùn)練含答案

1、26.2用函數(shù)觀點看一元二次方程一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1二次函數(shù)y= x2+4x3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，則 ABC的面積為()A. 6B. 4C. 3D. 12 .當(dāng)a>0, A =b4ac。時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為正；當(dāng)a 0,A = b 4ac 0時，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的值恒為負(fù).3 .已知一拋物線與 x軸的交點為A ( 1,.0)、B (m, 0),且過第四象限內(nèi)的點 C (1, n), 而m+n= 1, mn= 12,則此拋物線關(guān)系式是 .二、課中強化(10分鐘訓(xùn)練)1 .拋物線 y=ax2+bx+c (awQ和直線 y=kx+d

2、 (kw()有兩個交點的條件是 ,只 有一個交點的條件是 ,沒有交點的條件是 .2 .拋物線 y=ax2+bx+c (a>0)與 x 軸交于 A (x1，。)，B (x2, 0), x1<x2,則不等式 ax2+bx+c >0的解集為 ,不等式ax2+bx+c<0的解集為 .3 .利用圖象求下列一元二次方程的近似值.(1)x 2+x- 10=0;(2)2x2 3x+1=0 .4 .已知拋物線 y=x2+(n 3)x+n+1經(jīng)過坐標(biāo)原.點O.(1)求這條拋物線的頂點 P的坐標(biāo);(2)設(shè)這條拋物線與x軸的另一個交點為A ,求以直線PA為圖象的一次函數(shù)的解析式.25.已知拋物

3、線 y=x2 mx+m-與拋物線 y=x22+mx 一-m2在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖4262 1，其中一條與 x軸交于A、B兩點.(1)試判斷哪一條拋物線經(jīng)過 A、B兩點？并說明理由.(2)若A、B兩點到原點的距離 OA、OB滿足OB -OA2，一，-,求經(jīng)過A、B兩點的3拋物線的關(guān)系式.圖 262 1三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1 .二次函數(shù)的二次項系數(shù)為2,它與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為1和4,則二次函 數(shù)的解析式是()A. y=2(x 4)(x+2) B . y=2(x+4)(x 1) C. y=2(x 4)(x 1) D. y=2(x 4)(x+1)2 .已知拋物線的頂點到x軸的距離為

4、3,且與x軸兩交點的橫坐標(biāo)為4、2,則該拋物線的關(guān)系式為.3 .求下列二次函數(shù)與x軸的交點：(1) y=x 2+4x 5;(2) y= x2+x+2;(3) y=x 2 3x;(4)y=x26x+10.4 .已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A (1, 0)和B (2, 1),且與y軸交點的縱坐標(biāo)為 m.(1)若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式；(2)若二次函數(shù)的圖象與 x軸還有異于點A的另一個交點，求 m的取值范圍.5 .如圖 2622,拋物線 y=1(x+1)22,(1)設(shè)此拋物線與x軸交點為A、B (A在B的左邊)，請你利用圖象求出 A、B兩點的坐標(biāo);(2)有一條直線y=x-1,試?yán)脠D象法求出該直

5、線與拋物線的交點坐標(biāo)；(3) P是拋物線上的一個動點，問是否存在一點P,使S“bp=2?若存在，則有幾個這樣的點P?并寫出它們的坐標(biāo).圖 26 2-26 .已知拋物線y=2x2和直線y=ax+5 .(1)求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；(2)設(shè)A (x1，y。、B (x2, y2)是拋物線與直線的兩個交點，點P是線段AB的中點,且點P的橫坐標(biāo)為“'x2 ,試用含a的代數(shù)式表示點 P的縱坐標(biāo);2設(shè)A,B兩點的距離d= 1十a(chǎn)2| x x21，試用含a的代數(shù)式表示d.7 .畫出函數(shù)y=x24x 3的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：(1)圖象與x軸交點的坐標(biāo)是什么？(2)方程x24x3=

6、0的解是什么.?(3)不等式x2 4x 3>0, x24x3<0的解是什么?8 .某醫(yī)藥研究所進(jìn)行某一新藥研發(fā)，經(jīng)過大量的服用試驗知：成年人按規(guī)定劑量服用后，每毫升血液中藥物含量 y微克(1微克=10-3毫克)，隨時間x小時的變化規(guī)律與某一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a w0)吻合，并測得服用時每毫升血液中藥物含量為0微克，服用2小時后每毫升血液中藥物含量為6微克；服用3小時后，每毫升血液中藥物含量為7.5微克.(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出 0WxW的的圖象.(2)求服用后幾小時，才能使每毫升血液中藥物含量最大？并求出血液中的最大藥物含量.(3)結(jié)合圖象說明一次服藥后的

7、有效時間是多少？(有效時間是血液中藥物含量不為0的總時間)9 .已知二次函數(shù) y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，A =p 4q>0)的圖象與x軸相交于A(x 1,0), B(x2,0) 兩點，且A, B兩點間的距離為d,例如，通過研究其中一個函數(shù)y=x25x+6及圖象(如圖26 23),可得出表中第2行的相關(guān)數(shù)據(jù).y=x2+px+qpqAxix2dy=x2 5x+6-561231y=x2 x21-21412y=x2+x 2-2-23在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；(2)根據(jù)上述表內(nèi)d與A的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個符合條件的二次函數(shù),驗證你的猜想；對于函數(shù)y=x2+px+q(p,q

8、為常數(shù)，A=p4q>0)證明你白猜想.圖 262 310 .已知m,n是方程x2- 6x+5=0的兩個實數(shù)根，且 m<n ,拋物線y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過 點A(m,0)、B(0,n) . (1)求這個拋物線的解析式；(2)設(shè)(1)中拋物線與 x軸的另一交點為 C,拋物線的頂點為 D,試求出點C、D的坐標(biāo)和 BCD的面積；注：拋物線y=ax2+bx+c(a w 0)頂點坐標(biāo)為(一b 4ac-b2a1 4a2一)(3)P是線段OC上的一點，過點P作PH，x軸，與拋物線交于 H點，若直線BC把 PCH分成面積之比為2 3的兩部分,請求出 P點的坐標(biāo).圖 2624參考答案一、課前預(yù)

9、習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1二次函數(shù)y= x2+4x3的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于C點，則 ABC的面積為()A. 6B. 4C. 3D. 1解析：解方程一x2+4x3=0，得 A、B 為(1, 0)、(3, 0),當(dāng) x=0 時，y= 3,所以 C 為(0, 3),所以 ABC 的面積為 1 >3(3 1)=3.答案：C2 .當(dāng)a>0, A =b4ac 0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值恒為正；當(dāng)a 0,A = b 4ac 0時，二次函數(shù) y=ax2+bx+c的值恒為負(fù).解析：當(dāng)a>0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向上，若與 x軸無交點，則其值恒 為正；當(dāng)a&l

10、t;0時，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象開口向下，若與 x軸無交點，則其值恒 為負(fù).答案：< < <m + n = -1, mn = -12.3 .已知一拋物線與 x軸的交點為A ( 1,，0)、B (m, 0),且過第四象限內(nèi)的點 C (1, n), 而m+n= 1, mn= 12,則此拋物線關(guān)系式是 .解析：由題意，得m、n為方程x2+x 12=0的兩根,解得 m= 4, n=3 或 m=3 , n=4.又:(1, n)在第四象限，n<0.m=3, n=-4,即 B(3,0) , C (1, 4).設(shè)拋物線的關(guān)系式為 y=a(x 3)(x+1) .把(1, 4)

11、代入上式，得-4=a (1 3) (1+1),- 4a= - 4. a= 1. .y = (x 3) (x+1)=x 2- 2x-3.答案：y=x2-2x-3二、課中強化(10分鐘訓(xùn)練)1 .拋物線 y=ax2+bx+c (awQ和直線 y=kx+d (kw()有兩個交點的條件是 ,只 有一個交點的條件是 ,沒有交點的條件是 .解析：圖象有無交點或有幾個交點，取決于兩個方程組的解的情況.答案：(bk) 24a(cd)>0; (bk) 24a(c d)=0 ; (bk) 24a(c d)<02 .拋物線 y=ax2+bx+c (a>0)與 x 軸交于 A (xi, 0), B

12、(x2, 0), xi<x2,則不等式 ax2+bx+c>0的解集為,不等式 ax2+bx+c<0的解集為.解析：拋物線在x軸上方的范圍是 y>0,拋物線在x軸下方的范圍是 y<0,拋物線上的點在x軸上時y=0 ,對應(yīng)的x的范圍分別為*»2或x<x1; x1<x<x2.答案：x>x2 或 x<xi xi<x<x23 .利用圖象求下列一元二次方程的近似值.(1)x2+x10=0;(2)2x23x+1=0 .解析：作圖象要盡量精確一些，與x軸的交點的橫坐標(biāo)即為方程的近似值.解：略.4 .已知拋物線y=x2+(n 3)

13、x+n+1經(jīng)過坐標(biāo)原.點O.(1)求這條拋物線的頂點P的坐標(biāo)；(2)設(shè)這條拋物線與x軸的另一個交點為 A ,求以直線PA為圖象的一次函數(shù)的解析式.解：(1)二.拋物線 y=x2+(n 3)x+n+1 經(jīng)過原點，n+1=0,，n= 1.得 y=x24x, 即 y= x2 4x=(x 2)24.，拋物線的頂點 P的坐標(biāo)為(2, 4).(2)根據(jù)題意，得點 A的坐標(biāo)為(4, 0).，0 = 4k +b.'k =2.設(shè)所求的一次函數(shù)解析式為y=kx+b .根據(jù)題意，得,解得，,、4 = 2k + b,、b = -8.二所求的一次函數(shù)解析式為y=2x 8.2m223 25 .已知拋物線 y=x

14、-mx+與拋物線 y=x +mx m 在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖24262 1，其中一條與x軸交于A、B兩點.圖 26 21(1)試判斷哪一條拋物線經(jīng)過 A、B兩點？并說明理由.4 一一 一，112,， 一,（2）若A、B兩點到原點的距離 OA、OB滿足=,求經(jīng)過 A、B兩點的OB OA 3拋物線的關(guān)系式.解析：（1）經(jīng)過A、B兩點的拋物線的 A>: （2）可根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系來解2解法一：（1） y=x2mx+m,中 Ai=m2-2m2=- m2.2.拋物線不過原點，0. .- m2<0. A1<0.2，拋物線y=x2mx+m與x軸無交點.2 .y=x2+mx-

15、 3 m2經(jīng)過 A、B 兩點.4（2）設(shè) A （x1，0）, B （x2, 0）,則 x1<0, x2>0,1. OA= x1, OB=x2.°112112又 =,.+,OB OA 3x2 x13即 3 （x+x2）=2x1x2-又: x1、x2是方程 x2+mx 3 m2=0 的兩根，x1+x2= -m, x1x2= m2.443m= m 1 m1=0 （不符合題意，舍去），m2=2.2經(jīng)過A、B兩點的拋物線為 y=x2+2x-3.解法二：（1） ;兩條拋物線都不過原點,2，廿0.拋物線y=x2mx+四一與y軸交于（0,2）2m>0,，拋物線22y=x2 mx+口

16、一不經(jīng)過A、2B點.拋物線 y= x2+mx 3 m2 與 y 軸交于（0, 一 ° m2）, m2<0,444，拋物線y=x2+mx m2經(jīng)過A、B兩點.4（2）同解法一中的（2）.三、課后鞏固（30分鐘訓(xùn)練）1.二次函數(shù)的二次項系數(shù)為2,它與x軸交點的橫坐標(biāo)分別為1和4,則二次函,數(shù)的解析式是A. y=2(x 4)(x+2) B . y=2(x+4)(x 1) C. y=2(x 4)(x 1) D. y=2(x 4)(x+1)解析：由二次函數(shù)兩點式y(tǒng)=a(x-xi)(x-x2), a=2,xi=1,x2=4即得.答案：C2 .已知拋物線的頂點到x軸的距離為3,且與x軸兩交點

17、的橫坐標(biāo)為 4、2,則該拋物線的關(guān)系式為.解析：已知兩個特殊點及一個關(guān)系，可用y=a(x xi)(x x2)或一般式求其解析式.拋物線與x軸交于(4, 0), (2, 0),. .設(shè) y=a(x 4)(x 2)=a(x2 6x+8)=ax2 6ax+8a.頂點到x軸距離為3,即頂點縱坐標(biāo)為3或一3,32a2 -36a2_32a2 -36a2=3或=-3.4a4a解得 a=3 或 a=3.，y=3x2+i8x 24 或 y=3x2- 18x+24 .答案：y= - 3x2+l8x 24 或 y=3x218x+24注意：頂點到x軸距離分頂點在x軸上方和下方兩種情況.3 .求下列二次函數(shù)與 x軸的交

18、點：(1) y=x 2+4x 5;(2) y= x2+x+2;(3) y=x 2 3x;(4)y=x26x+10.解析：令y=0,求解關(guān)于x的一元二次方程.答案：(1) (1, 5) ; (2) (1, 2) ; (3) (0, 3) ; (4)不存在.注意：頂點到x軸距離分頂點在 x軸上方和下方兩種情況.4 .已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A (1, 0)和B (2, 1),且與y軸交點的縱坐標(biāo)為 m.若m為定值，求此二次函數(shù)的解析式;(2)若二次函數(shù)的圖象與 x軸還有異于點A的另一個交點，求 m的取值范圍.解：(1)設(shè)該二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c,把點A(1,0)、B(2,1)和c=

19、m代入解析式中m + 1c =m,得七 + b + m = 0,4a +2b + m =1,a 一 2 , 解得b = 3m二】2c = m,所以，解析式為 y= m- x2 m- x+m(m 1).22(2)二次函數(shù)與x軸有兩個相異的交點，即.2 , 3m 1 2 , , m 1A =b - 4ac=( -)- 4m( -)>0 ,解得1.又 m 1,得 ± 1.5 .如圖 2622,拋物線 y=1(x+1)22,2圖 26 2 2(1)設(shè)此拋物線與x軸交點為A、B (A在B的左邊)，請你利用圖象求出 A、B兩點 的坐標(biāo)；(2)有一條直線y=x-1,試?yán)脠D象法求出該直線與拋

20、物線的交點坐標(biāo)；(3) P是拋物線上的一個動點，問是否存在一點P,使S“bp=2?若存在，則有幾個這樣的點P?并寫出它們的坐標(biāo).解析：(1)讀圖易得；(2)畫圖精確度要高一點；(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(a, b),則4ABP中AB邊上的高為b,而|b|二1，代入拋物線解析式可求得 P點坐標(biāo).解：(1) A ( 3,0) , B (1,0).(2)交點坐標(biāo)為(1,0)和(一1, 2).(3)設(shè)P點坐標(biāo)為(a, b),則 ABP中，AB邊上的高為| b | ,又S"bp=2,從而得|b|=1.把b=1,b= -1分別代入拋物線解析式可求得P點坐標(biāo)分別為P(- <16 1,1)；P(6 1

21、,1)；p( J2 -1,-1)；p( V2 -1,-1).6 .已知拋物線y=2x2和直線y=ax+5 .(1)求證：拋物線與直線一定有兩個不同的交點；(2)設(shè)A (x1，y1)、B (x2, y2)是拋物線與直線的兩個交點，點P是線段AB的中點,且點P的橫坐標(biāo)為X1 +x xi=4.6 x2» 0.65,，拋物線與x軸交點坐標(biāo)為(4.6, 0), (-0.65, 0). xi=4.6 x2» 0.65. (3)不等式 x24x3>0 的解為 x< 0.65 或 x>4.6 ; ,試用含a的代數(shù)式表示點 P的縱坐標(biāo);2d.設(shè)A,B兩點的距離d= Ji +

22、a2 | xi-x21 ,試用含a的代數(shù)式表示解：(1)將 y=ax+5 代入 y=2x2，消去 y 得 2x2ax 5=0,A =( - a)24>2N 5尸a2+40>0 , .,.方程有兩個不相等的實數(shù)根.，不論a取何值，拋物線與直線一定有兩個不同的交點.(2)xv x2是方程 2x2ax5=0 的兩個根，xi+x2= a ,xix2=-任22點P的縱坐標(biāo)為yy2axi 5 ax2 5=(xi+x2)+5= 萬+5=+5.(3) - xi+x2= ,xix2=-22xi-x2 I =(xi -x2)2(x1 x2)2 - 4xix2 -al+ioJa2'402 a2

23、40d= .i a 2-a4 4ia2 40.27.畫出函數(shù)y=x24x 3的圖象，根據(jù)圖象回答下列問題：(i)圖象與x軸交點的坐標(biāo)是什么？(2)方程x24x3=0的解是什么.?(3)不等式x2-4x-3>0, x24x3<0的解是什么?解：圖象如圖所示.不等式 x24x3<0 的解為0.65<x<4.6.8 .某醫(yī)藥研究所進(jìn)行某一新藥研發(fā)，經(jīng)過大量的服用試驗知：成年人按規(guī)定劑量服用后，每毫升血液中藥物含量 y微克(1微克=10-3毫克)，隨時間x小時的變化規(guī)律與某一個二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a w0)吻合，并測得服用時每毫升血液中藥物含量為0微克，服用2小

24、時后每毫升血液中藥物含量為6微克；服用3小時后，每毫升血液中藥物含量為7.5微克.(1)試求出y與x的函數(shù)關(guān)系，并畫出 0WxW的的圖象.(2)求服用后幾小時，才能使每毫升血液中藥物含量最大？并求出血液中的最大藥物含量.(3)結(jié)合圖象說明一次服藥后的有效時間是多少?(有效時間是血液中藥物含量不為0的總時間)解：(1)由題意得，函數(shù)圖象經(jīng)過(0, 0), (2, 6), (3, 7.5),將它們代入 y=ax2+bx+c,1aa =c =0,2 ,得 d4a+2b+c=6,解之，得 4 b =4,所以 y=工 x2+4x.9a+3b+c = 7.5. c = 0(2) y= x2+4x =>

25、; y= (x 4) 2+822所以x=4時，y最大=8.(3)當(dāng) y=0 時,x=8,x2=0 (舍去).答案：(1) y= - - x2+4x; (2)服藥4小時后含藥量最大，此時最大含藥量為每毫升血 2液中8微克；(3) 8小時.9 .已知二次函數(shù) y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，A =p 4q>0)的圖象與x軸相交于A(x 1,0), B(x2,0)兩點，且A, B兩點間的距離為d,例如，通過研究其中一個函數(shù)y=x25x+6及圖象(如圖26 23),可得出表中第2行的相關(guān)數(shù)據(jù).圖 26 23y=x2+px+qpqAx1x2dy=x2 5x+6-561231y=x2 x21214

26、12y=x2+x 2-2-23(1)在表內(nèi)的空格中填上正確的數(shù)；(2)根據(jù)上述表內(nèi)d與A的值，猜想它們之間有什么關(guān)系？再舉一個符合條件的二次函數(shù)， 驗證你的猜想；(3)對于函數(shù)y=x2+px+q(p,q為常數(shù)，A=p4q>0)證明你白猜想.解：(1)第二行 q=0,xi=0； d=;第三行 p=1,A =9, X2=1；22(2)猜想：d = A .例如：y=x2x2 中,p=1,q= 2, A=9;由 x2 x2=0 得 Xi=2, x2= 1,d=3,d2=9, 'd2= A.(3)證明:令 y=0 ,得 x2+px+q=0，丁 A >0設(shè) x2+px+q=0 的兩根為 x1,x2.貝U x+x2= p,x1 x2=q .d2=( | x1 x2 | )2=(xl x2)2=(x 1+x2)24x1x2=( p)24q=p24q=A .10 .已知m,n是方程x26x+