完整word版高中數(shù)列知識大總結(jié)絕對全

1、第一課時 數(shù)列 知識要點(diǎn) 一、 數(shù)列的概念 ?,a,a,a,aa. 數(shù)列是按一定順序排列的一列數(shù)，記作簡記1n213n ?nnf(n)aaa給出，則這個公式叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式。 的關(guān)系若用一個公式的第2數(shù)列與項(xiàng)數(shù)項(xiàng)nnn ?N（或其子集）的函數(shù)，當(dāng)自變量由小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值，它的圖像是一群3數(shù)列可以看做定義域?yàn)?孤立的點(diǎn)。 二、數(shù)列的表示方法 。數(shù)列的表示方法有：列舉法、圖示法、解析法（用通項(xiàng)公式表示）和遞推法（用遞推關(guān)系表示） 列的分類 數(shù)三、 按照數(shù)列的項(xiàng)數(shù)分：有窮數(shù)列、無窮數(shù)列。 1 按照任何一項(xiàng)的絕對值是否不超過某一正數(shù)分：有界數(shù)列、無界數(shù)列。 2 從函數(shù)角度考慮分：

2、遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列。 3 San 四、數(shù)列通項(xiàng)的關(guān)系與前項(xiàng)和nnn?aaSaaa 1i31n2n?1i?1Sn?1a? 2n?2SnS?1nn課前熱身 1數(shù)列1，3，6，10，的一個通項(xiàng)公式為 ( ) n(n?1)n(n?1)?a?na?n?n?221()1aa D C B nnnn22x?55,21,34,35,8,x,1,1,2的值為（ ）在數(shù)列2.中， A10 B11 C12 D13 ?2an3na28( ) 則數(shù)列各項(xiàng)中最小項(xiàng)是, 的通項(xiàng)公式為3數(shù)列nnA第項(xiàng) B第項(xiàng) C第項(xiàng) D第項(xiàng) ?2?anan 的取值范圍是,是遞增數(shù)列，其通項(xiàng)公式為則實(shí)數(shù)4已知數(shù)列nn?S?n?

3、n?2na14 ,項(xiàng)和5數(shù)列，則的前nn典例精析 題型一 歸納、猜想法求數(shù)列通項(xiàng) 【例1】根據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)，分別寫出它們的一個通項(xiàng)公式 7，77，777，7777， 1 8642?, 6331535 9，9，3，3，5，5，7，7，1?)n1S(?1a? 求數(shù)列通項(xiàng)題型二 應(yīng)用n?)SnS2(?1nn?nSa. 的前，分別求其通項(xiàng)公式項(xiàng)和例2已知數(shù)列nnn2?S?3 n1?2)()a0(a2S nnn8 三、利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)?a 3】根據(jù)下列各個數(shù)列的首項(xiàng)和遞推關(guān)系，求其通項(xiàng)公式【例n11?a,aa ? n11n?2214n22?,aa01,0ana(na1)a (2)，?nn?n

4、nn1111?11,aaa n?n 112 數(shù)學(xué)門診?22?a2n?a?0,n?,42S,3aa2SSna3，求數(shù)列的，又的前已知項(xiàng)和，且滿足是數(shù)列，其中?nnnn11nnn 通項(xiàng)公式。 課堂演練3?na3aS 的前，那么這個數(shù)列的通項(xiàng)公式為（項(xiàng)的 1 若數(shù)列） nnn2?nn1n3a?3?2?2a3a233n?a? B A nnnn?3a?a?Nn?naaa0，則）， 2已知數(shù)列 滿足） （?20n11n?1a3n333?0 2?aa,1 滿足4.已知數(shù)列n1n1?3? 1naa和a求)a3,(an2證明：， ? 1nn32n2 2 等差數(shù)列6.2 知識要點(diǎn)?a 成等差數(shù)列的充要條件。是數(shù)列

5、n 等差數(shù)列的概念1如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差?Npq?其中mn),(,a 的基本性質(zhì)等差數(shù)列5 n都等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常 d 數(shù)叫等差數(shù)列的公差，用表示。a?aq，則a?ap若m?n?反 qnmp 2遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式 之，不成立。?da遞推關(guān)系：a?nn1?d)a1(通項(xiàng)公式：and)?(n?ma?a 1nmn?d)am(推廣：anmn?;d1(n變式：a)a?2?aaa n1?mnmnn?aa?1nd ?1nSS?S,S?S, 仍成等差數(shù)列。nnnn232n?aa?nmd ?mn 判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法： 定義法：),a(n 所在直

6、線的斜率。由此聯(lián)想到點(diǎn)n?Nn?a?a?d）(常數(shù)）（a是等?n1nn?),adnd(特征：a1n 差數(shù)列?為常數(shù)）,m,(n)(knkm即：afn 中項(xiàng)法：?N?aa?a?n)m為常數(shù)，（akkn,ma是數(shù)列?)2（a成是等差數(shù)?nn2nn1nn 列等差數(shù)列的充要條件。 等差中項(xiàng)： 通項(xiàng)公式法：?)為常數(shù)b(k,abknaca與cb,ab是等差數(shù)的等差中項(xiàng)，成等差數(shù)列，則若稱nn?ca 列?c?b?a2c,b,ab的充；成等差數(shù)列是且 n2 前項(xiàng)和公式法： 要條件。?2)(AS,AnB為常數(shù)Bna是等nnn 前項(xiàng)和公式 差數(shù)列?na(a)d)1n(n?1nSnaS ； 課前熱身： n1n22

7、?aa?a,39a 中，1等差數(shù)列714n 變式：?aaSaaaa,33則aaaaa ）（ ?n1n21n986235 n2n21 D 24 B27 CA30 dd?);)n1n1)(a(a( ? n1a 中，2等差數(shù)列22nS?1n2a?,aaa120aa n?1n21210648 1)的值為(Ca則?add 119?32,an)特征：Sn( 1n22A14 B15 C16 D17 ?2Bn)nf即S(An n ?2(AS,BnAnB為常數(shù))n?nSada，變化時，3當(dāng)項(xiàng)和為的前等差數(shù)列，nn13 a?a?aS是一個定值，那么下列各數(shù)中也若 ?1128nbbb，一個新數(shù)列也設(shè)，若 nnn?c

8、n 是定值的是）c 是等差數(shù)列，求非零常數(shù)；SSBA1513 bSBSC?Nn?n)f(n）的最大820（ 求 ?b25(n)?1n?nSbaT，與設(shè)5的前分別為等差數(shù)列 項(xiàng)nnnn 值 數(shù)學(xué)門診?Sa24n?19n?，則和 ? ?baT5b2n 若數(shù)列滿足是等差數(shù)列，數(shù)列nn19n ?Nn?，）nbbaaa項(xiàng)和為（的前n?n2nn?1n 典例精析 一、等差數(shù)列的判定與基本運(yùn)算n?aa?SS380為何值時，試問取，已知n12n5?2nanSn9 項(xiàng)和前1：已知數(shù)列例nn 得最大值？并證明你的結(jié)論。 ?naa項(xiàng)為等差數(shù)列；記數(shù)列 的前求證：nn TT ，求 和為的表達(dá)式。nn 課堂演練?nn2?

9、nSSaa時，的前是前項(xiàng)和，若數(shù)列中，項(xiàng)和，當(dāng)1設(shè)是等差數(shù)列nnnn?SS111?2?63，則)Sa(S? （） 求證：是等差數(shù)列， nnnS3SS2?126n1131S A? nnbTb98103 設(shè)項(xiàng)和，求的前 nnn1n2?aa?a?，132a則 ，中在等差數(shù)列321n 二、公式的應(yīng)用?da?aaaa ）的首項(xiàng)等于（及公差例2：設(shè)等差數(shù)列都為整數(shù)，65n4145 42 43 A40 nS 項(xiàng)和為前n?SS?0a，a_，則前中，3等差數(shù)列121n9? ?，?aSa980求數(shù)列， 若的通項(xiàng)公式n1411 項(xiàng)的和最大。?a，?a，?Sa7706，求所有可能的項(xiàng)和100100，前項(xiàng)和為的前104

10、已知等差數(shù)列若n14111 項(xiàng)和為，則前110為10?a 的通項(xiàng)公式數(shù)列n?nSa 的前，已知設(shè)等差數(shù)列項(xiàng)和為nn 三、性質(zhì)的應(yīng)用?S?，S，a?n0120ad 例項(xiàng)和為 前中，公差：已知等差數(shù)列3>013123nd 求出公差的范圍，?a?aa?，a1445S ，且滿足：4123n?，SS，S，指出 中哪一個值最大，并說明理2112 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；4 6.3等比數(shù)列 知識要點(diǎn)這個常數(shù)那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列， 定義：如果一個數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，1)0，（q?q 。叫做等比數(shù)列的公比，記為 遞推關(guān)系與通項(xiàng)公式2?qa遞推關(guān)系：a?n1n?1nqaa通項(xiàng)

11、公式： 1n?mnqa推廣：amn2bac?，注：bb?acc與ac,a,b是成等比數(shù)列為3 等比中項(xiàng)：若三個數(shù)成等比數(shù)列，則稱的等比中項(xiàng)，且為 的必要而不充分條件。n 前項(xiàng)和公式4 ?na)1(q1?q?nqaa)a(1q1S()? ?n11n? ?q11q?Nq?其中mnp),( 等比數(shù)列的基本性質(zhì)， 5aa?a?a?n?p?q，則若m 反之不真！qmnpa?2N?a?ana?mnn)，q( ? mnnnmam?a為等比數(shù)列，則下標(biāo)成等差數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)成等比數(shù)列。 n ?q?1時，S，S?S，S?S，仍成等比數(shù)列。 nn2n2n3n6 等比數(shù)列與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化 ?a?a(c?0，cc?1)是

12、等比數(shù)列；是等差數(shù)列 nn?alog?0，c?1)(ca是正項(xiàng)等比數(shù)列是等差數(shù)列； ncn?aa是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列。 既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列 nn7 等比數(shù)列的判定法 a?1n?（常數(shù)）?qa為等比數(shù)列； 定義法： nan?2?)?aa?(a0?aa為等比數(shù)列； 中項(xiàng)法：?nnn2n1n?nnaa?k?q為常數(shù)）,(kq?通項(xiàng)公式法： 項(xiàng)和法：為等比數(shù)列；前nn5 ?kq為常數(shù)）?Sk?q（n,)(1a為等比數(shù)列。 nn課前熱身 a,b,c，-9成等比數(shù)列，那么（ ） 1 如果-1bbbbacacacac=-9 ，=3，=9 B=-3=-3，=-9 D=-9 =3?a?a?a?a?20a，

13、則此數(shù)列的前10項(xiàng)之積等于（ ） 中，若在等比數(shù)列2 6475n102050BA 10510DC10?1071034n2?222設(shè)f(n)2 3?)，則f(n)(n等于N（D）22?1nn181)B(A8( 7722?43nn)1)DC(8(81 77?S?10，S?30，則S?a 已知數(shù)列是等比數(shù)列，且4mm32mn?a中， 5 在數(shù)列n?1n)3aa，(2a1a= ，則通項(xiàng)若?11nnn 典例精析一、 等比數(shù)列的基本運(yùn)算與判定 qnn?aaa)(0項(xiàng)的和為6560，前，公比為2的等比數(shù)列的前，求此數(shù)列的首項(xiàng)與項(xiàng)和為80：設(shè)首項(xiàng)為1例1 公比。1?a?aa，且 的首項(xiàng)設(shè)數(shù)列 1n4?1a,n

14、為偶數(shù)? n2?a?11n?,n為奇數(shù)a n?41?,?1,2,3,?n記ba? 12nn4a，a 求32?b是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論。判斷數(shù)列 n 6 二、性質(zhì)運(yùn)用 ?a中， 例2：在等比數(shù)列n?a，a，aaaa3233 ?141nn63a，求 n?lga,T求lgaTlga 若nn2n1 ?N?n2xxx)2(f)a(aa,3，點(diǎn) 的圖像上，在函數(shù)：已知例311nn?)alg(1?是等比數(shù)列，證明數(shù)列 n?)?aa)?(11T?(?a)(1?aT的題項(xiàng)公式，求 及數(shù)列設(shè)nn21nn11?nbSb，并證明：項(xiàng)和的前記，求數(shù)列 nnn?2aann 數(shù)學(xué)門診：?dbaa4已知等差數(shù)列14的

15、首項(xiàng)，公差=12>0，且第項(xiàng)，第5項(xiàng)，第項(xiàng)分別是等比數(shù)列項(xiàng)，第項(xiàng)，第的第23nn1 項(xiàng)。?ba 的通項(xiàng)公式；與求數(shù)列nn?Nn?a 均有對設(shè)數(shù)列nccc?n21a成立? 1nbbb n12?c求：cc201021 7 6.4 數(shù)列求和 知識要點(diǎn) 二、 裂項(xiàng)相消法求和 n 求數(shù)列前項(xiàng)和的基本方法 ?aa=8列，滿足例2：數(shù)n1 直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和；?)aan(1)(nn?Nn?02，且aaa2a） （ ?n1dnaSnn?n124 1n22?ana(q)1的通項(xiàng)公式； 求數(shù)列 n1?n)a(1qS?1n)(q1?1 ?q1?Nn?)(b 設(shè) n?)an(14n 公比含字母時

16、一定要討論。 a?1Sa 為無窮遞縮等比數(shù)列時， ?nq1 式的推導(dǎo)過程。 n項(xiàng)和，無通法可循，為此平 求一般數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法。時要注意掌握某些特殊數(shù)列前 數(shù)列求和時，要注意觀察它的特點(diǎn)和規(guī)律，在數(shù)學(xué)門診 分析數(shù)列通項(xiàng)的基礎(chǔ)上，或分解為基本數(shù)列求和， 或轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和。?nSa項(xiàng)和，為數(shù)列的前已知且nn 課前熱身?N?na?n?nS?2111，322 ?nn于等 ?n?n)2)(437(3114?n2a?為等比數(shù)列；求證：數(shù)列 n ） （ ?nba?cosnb?Pa。是等差數(shù)列， 項(xiàng)和的前 ，求數(shù)列設(shè)4數(shù)列nnnnn ?項(xiàng)和S20a?a?10，則前 2065 ?aaa?a =4+5+62+3，已知數(shù)列中，=1n132課堂演練 1111?505?a?8?9?10，則a?7n?,n,3,4,?22, 。的前數(shù)列1104 1?n2482 項(xiàng)和為（ ） 典例精析 位相減法求和一、 錯?1)(1n1n(n1)n?12BAn123 nn?S?2222 1：求和：例 nn23 aaaa?22441nn1nn?CD ?11nn2222 nn 2）1（44×5（）等于22×33× ） （ ?2211nn)nA6n61Bn( n?3211)DnC(