偏微分方程分類與標(biāo)準(zhǔn)型

1、編輯編輯ppt第第2 2章章 二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型二階線性偏微分方程的分類與標(biāo)準(zhǔn)型 2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解( (復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)) ) 2.2 2.2 二階線性偏微分方程分類二階線性偏微分方程分類 2.3 2.3 二階線性偏微分方程簡化二階線性偏微分方程簡化 2.4 2.4 三類方程的簡化形式三類方程的簡化形式編輯編輯ppt2.1 2.1 常微分方程的解常微分方程的解( (復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)) )一一. . 二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式)(xfqyypy 12121212( ),( )( , )( )( )( ),( )( ),( ).y xyxa

2、bky xkyxy xyxy xyx 定定義義：設(shè)設(shè)為為定定義義在在內(nèi)內(nèi)的的兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，如如果果存存在在非非零零常常數(shù)數(shù) , ,使使得得, ,則則稱稱線線性性相相關(guān)關(guān)，否否則則稱稱線線性性無無關(guān)關(guān)12( ),( )0y xyxypyqy 定定理理 設(shè)設(shè)是是方方程程的的兩兩個(gè)個(gè)線線 性性無無關(guān)關(guān)的的解解，則則1122( )( )( )y xC y xC yx 12,.CC是是方方程程的的通通解解，其其中中為為任任意意常常數(shù)數(shù)編輯編輯ppt二二. . 二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解02 qprr,2422,1qppr 特征根：特征根：0 qyypy (1)(1)

3、有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)線性無關(guān)的特解兩個(gè)線性無關(guān)的特解,22xrey 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxreCeCy 齊次方程：齊次方程：特征方程：特征方程：1,r2r2(40)pq ,11xrey 編輯編輯ppt2(40)pq 齊次方程的通解為：齊次方程的通解為：;)(121xrexCCy ,11xrey 特解為：特解為：12r xyxe (3)(3)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)1,ri2,ri2(40)pq ,cos1xeyx,sin2xeyx齊次方程的通解為齊次方程的通解為).sincos(21xCxCeyx 特征根為：特征根為：特解為：特解為：(

4、2)(2)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)根時(shí)編輯編輯ppt小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解小結(jié)：二階常系數(shù)線性齊次微分方程解02 qprr0 qyypy,2422, 1qppr 特征根：特征根：齊次方程：齊次方程：特征方程：特征方程：利用了歐拉公式利用了歐拉公式編輯編輯ppt例例: : 求下列方程的通解求下列方程的通解1430( ) yyy (2) 2 220yyy (3) 230yyy 解解 (1)(1)特征方程為特征方程為0342 rr所以方程的通解為所以方程的通解為 為任意常數(shù)為任意常數(shù)21231 C,CeCeCyxx 1, 321rr解得解得編輯編輯ppt 為為任任意意常常數(shù)數(shù)21

5、221 C,CexCCyx 所以方程的通解為所以方程的通解為221 rr解得解得 (2) (2)特征方程為特征方程為02222rr所以方程的通解為所以方程的通解為 (3)(3)特征方程為特征方程為0322 rr解得解得ir212, 1 為為任任意意常常數(shù)數(shù)2121, 2sin2cosCCxCxCeyx 編輯編輯ppt解解 特征方程為特征方程為0542 即即0)5)(1(特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根5, 121 512xxyC eC e 所以所求方程的通解為所以所求方程的通解為對(duì)上式求導(dǎo)對(duì)上式求導(dǎo), ,得得5125xxyC eC e 例例: :求求 滿足初始條件滿足初

6、始條件 450yyy 的特解的特解. .(0)1y (0)2y 將將 、 代入以上二式代入以上二式, ,得得1)0(y2)0( y編輯編輯ppt1212125CCCC 解此方程組，得解此方程組，得1211,22CC 所以所求特解為所以所求特解為51122xxyee 編輯編輯ppt)(xfqyypy (2)(2)對(duì)應(yīng)齊次方程為：對(duì)應(yīng)齊次方程為：, 0 qyypy (3)(3)通解結(jié)構(gòu)通解結(jié)構(gòu):*( )( )( ),y xY xyx三三. . 二階常系數(shù)非齊次線性方程二階常系數(shù)非齊次線性方程*( )( )( )yxypyqyf xY x如果是方程的一個(gè)特解，如果是方程的一個(gè)特解，是方程對(duì)應(yīng)的齊次方

7、程的通解，則方程的通解是方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，則方程的通解為為(1)(1)非齊次線性方程通式：非齊次線性方程通式：編輯編輯ppt2. 二階線性偏微分方程分類二階線性偏微分方程分類1.1.一般形式及分類判別一般形式及分類判別111222122xxxyyyxya ua ua ub ub ucuf fcbbaaa,21221211其中，其中，都是區(qū)域都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。并假定它們是連續(xù)可微的。2.2.二階主部為：二階主部為：1112222xxxyyya ua ua u21211220 =0 0 aa a 3.3.判別式及分類：判別式及分類：雙曲型雙曲型拋物型拋

8、物型橢圓型橢圓型編輯編輯ppt22222uuaxtx 22222uuauxt 222uuaxuxt222110uu 判斷下列方程的類型判斷下列方程的類型思考：思考：編輯編輯ppt3 3. 方程簡化方程簡化1.1.線性二階偏微分方程的一般形式線性二階偏微分方程的一般形式(2(2個(gè)自變量個(gè)自變量) )111222122xxxyyyxya ua ua ubub ucuf fcbbaaa,21221211其中，其中，都是區(qū)域都是區(qū)域上的實(shí)函數(shù)，上的實(shí)函數(shù)，并假定它們是連續(xù)可微的。并假定它們是連續(xù)可微的。 n個(gè)自變量：個(gè)自變量：2111a0nnnijiijiijiuubcufx xx 其中其中 fcba

9、iij,是自變量是自變量 nxxx,21的函數(shù)的函數(shù)編輯編輯ppt2. 變量替換與變量替換與方程轉(zhuǎn)型方程轉(zhuǎn)型(1)變量代換：變量代換：( , )x y ( , )x y (2)一般式轉(zhuǎn)為：一般式轉(zhuǎn)為：1112221220A uA uA uB uB uCuF 系數(shù)為：系數(shù)為：22111112221211122222221112221111222122111222122()222,xxyyxxxyyxyyxxyyxxxyyyxyxxxyyyxyAaaaAaaaAaaaBaaabbBaaabbCc Ff 變量替換是研究偏微分方變量替換是研究偏微分方程的有效手段，適當(dāng)?shù)淖兂痰挠行侄?，適當(dāng)?shù)淖儞Q，可簡

10、化方程、易求解。換，可簡化方程、易求解。編輯編輯ppt注：變量替換必須為注：變量替換必須為非奇異變換非奇異變換( , )x y ( , )x y 非奇異變換：雅克比非奇異變換：雅克比(Jacobi)行列式在點(diǎn)行列式在點(diǎn)(x0, y0)不等于零，即：不等于零，即： ( , ) 0( , ) xyxyyxxyJx y 則：在點(diǎn)則：在點(diǎn)(x0, y0)附近變換是可逆的。附近變換是可逆的。編輯編輯ppt3. 方程簡化方程簡化4. 求特解求特解構(gòu)造一階偏微分方程：構(gòu)造一階偏微分方程：求一個(gè)特解求一個(gè)特解 ，則：，則：再求另一個(gè)特解再求另一個(gè)特解 ，則，則A22= 02211122220 xxyya za

11、 z za z 221112221120(0)xxyyaaaA 即即：2111222()2()0 xxyyzzaaazz 偏微分方程轉(zhuǎn)偏微分方程轉(zhuǎn)為常微分方程為常微分方程0)(2)(2212211adxdyadxdya編輯編輯ppt5 5. 特征方程與特征曲線特征方程與特征曲線1.1.特征方程：特征方程：2111222()2()0dydyaaadxdx 2.2.解：解：21212112211aaa adydxa 3.3.特征曲線：特征曲線：1( , )x yc 2( , )x yc 編輯編輯ppt例例2.1.12.1.1 判斷偏微分方程類型并化簡：判斷偏微分方程類型并化簡：2360 xxxyy

12、yyuuuu 111222113a, a, a 解：解：123, yxCyxC102uu2()230dydydxdx特征方程特征方程3, 1dydydxdx 特征方程的解：特征方程的解：特征線：特征線：3 , yxyx令：令：212112240aa a 雙曲型方程雙曲型方程編輯編輯ppt例例2.1.32.1.3 設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù)A,B,C滿足滿足240BAC 20AmBmCm1、m2是如下方程的兩個(gè)根是如下方程的兩個(gè)根12()()uf m xyg m xy的通解為：的通解為：0 xxxyyyAuBuCu 證明二階線性偏微分方程證明二階線性偏微分方程12, m xym xy 0u 證明：設(shè)證明：設(shè)2

13、1(4)0ACBuA則：則：編輯編輯ppt4 三類方程的簡化形式三類方程的簡化形式當(dāng)當(dāng) 02211212aaa時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線時(shí)，給出一族實(shí)的特征曲線1),(cyx2),(cyx取取 ),(yx),(yx則則02211 AA方程變?yōu)榉匠套優(yōu)?21212uB uB uCuFA 若再作若再作 ,則上述方程變?yōu)椋簞t上述方程變?yōu)椋?1212121()()2uuBB uBB uCuFA 1.1.雙曲方程型方程：雙曲方程型方程：編輯編輯ppt當(dāng)當(dāng) 02211212aaa時(shí)，只有一個(gè)解時(shí)，只有一個(gè)解 1112aadxdy它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線，它只能給出一個(gè)實(shí)的特征線， cyx),(。取與。取與

14、),(yx函數(shù)無關(guān)的函數(shù)無關(guān)的 ),(yx作為另一個(gè)新的變量作為另一個(gè)新的變量則有：則有： 12122FCuuBuBAu2.2.拋物型方程：拋物型方程：編輯編輯ppt當(dāng)當(dāng) 02211212aaa時(shí)，給出一族復(fù)特征線時(shí)，給出一族復(fù)特征線),(yx),(yx在該變換下：在該變換下： 0, 02211AA且方程化為：且方程化為：212112FCuuBuBAu令令 ii,則有：則有：2)()(1122112FCuuiuBBAuu3.3.橢圓型方程：橢圓型方程：編輯編輯ppt小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：小結(jié)：三種方程的標(biāo)準(zhǔn)型式：2121122(1)0aa a uuAuBuCuD 2121122(2)0,a

15、a a uAuBuCuD2121122(3)0aa a uuAuBuCuD 編輯編輯ppt例題例題1 1：分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程：分類并標(biāo)準(zhǔn)化方程：2220 xxxyyyx uxyuy u 解：該方程的解：該方程的0)(222yxxy故該方程是拋物型的。故該方程是拋物型的。特征方程：特征方程：0)(2)(222ydxdyxydxdyxdyydxx從而得到方程的一族特征線為：從而得到方程的一族特征線為：dydxyxlnlnyCxCxy/自變量代換自變量代換yxy;( (由于由于和和必須函數(shù)無關(guān)必須函數(shù)無關(guān), ,所以所以宜取最宜取最簡單的函數(shù)形式簡單的函數(shù)形式, ,即即= =x 或或= =y) )原方程

16、化簡后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：原方程化簡后的標(biāo)準(zhǔn)形式為：0u特征的解：特征的解：編輯編輯ppt例例2 2. 判斷偏微分方程類型并化簡：判斷偏微分方程類型并化簡： 23260 xxxyyyxyuuuuu 解：解： 111a112a322a故故 042211212aaa故該方程為雙曲型偏微分方程，其特征方程故該方程為雙曲型偏微分方程，其特征方程032)(2dxdydxdy故有故有 13Cxy或或 2Cxy取新變量取新變量 yx 3yx則則3dxdy1dxdy或或 解為解為編輯編輯ppt例例2(續(xù)續(xù)) 3uuux， uuuy222222296uuuux 22222222uuuuy 代入原方程得：代入原方程得：

17、2161240uuu 即：即：23144uuu 編輯編輯ppt例例3 3. 判斷偏微分方程的類型并化簡：判斷偏微分方程的類型并化簡：22cos(3sin)0 xxxyyyyuxux uyu21112221cos3sina, ax, a(x) 解：解：12sin2, sin2yxxCyx - xC ()032uuu 22()2cos(3sin)0dydyxxdxdx特征方程特征方程cos2, cos2dydyxxdxdx 特征方程的解：特征方程的解：特征線：特征線：sin2 , sin2yxxyx - x 令：令：22cos3sin40 xx 雙曲型方程雙曲型方程-ts ,編輯編輯ppt第二章：第二章： 復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)復(fù)習(xí)思考題與作業(yè)一寫出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程與特寫出二階常系數(shù)線性齊次微分方程的特征方程與特