2017年數三真題與解析

1、 2017年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數學三試題 、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每題給出的四個選項中，只有一個 選項是符合題目要求的 在處連續(xù)，則( ) (B) ab 二-! (Dab = 2 _ r 1COS血 仁 5* 1 1 lim - = lim = /.* f (x) * - bab- 【解析】 頑中 ax 5 孫 2a 在1= 0處連續(xù) & 2 (2)二元函數 z = (3-x-y)的極值點() (A) (B) - : (C) (D) I 【答案】D 由AC-B: 0丸1.(1J)為極仇點選D (3)設函數加可導加對則() (A) 一 (B) 品邛忡 7)(

2、1)若函數 (g 二: (C)ab = 0 【答案】A 1 - cos 也 ax btx “ j毛=1 伯=0 同= 二工)=0 Hi - =1 ex ez - - x 7 2x 戶 (C) 【答案】C v/W/(x)0(; 【解析】 |7(力0 I / U) *攔1 iic (5)設出是?！維單位列向量，E為H階單位矩陣，貝u( (B) E+aa不可逆 選項B,由 恤)婦得淑 的特征值為n-1個0,1.故2 + 5/的特征值為n-1個1, 2.故可逆. 【解析】由QE頊=?？芍狝的特征值為2,2,1.，所以選C。 (A) (C) 【答案】 E+2奶不可逆 (D) 2血不可逆 【解析】 選項

3、A,由(Ea)a二一仁=0得(富依礦)7 = 有非零解，故 -|= 0 2 0 0 2 1 A = 0 2 1 B 0 2 (6)已知矩陣 0 0 1_ 0 0 (A) A與C相似，B上 亍C相似 0- 1 0 0- 0 C = 0 2 0 1 0 0 2 ,則 (C) A與C不相似，B與C相似 【答案】B (B) A與C相似，B與C不相似 (D) A與C不相似，B與C不相似 其它選項類似理解 0 2 0 因為3-rQE-R二1, A 可相似對角化，且 I。 2/ 因為3r（2EE） = 2 , B不可相似對角化，顯然 C 可相似對角化, U，且B不相似于C. 設0、從。為三個隨機事件，且 與

4、。相互獨立，E與U相互獨立，則 J4U5與U相 互獨立的充要條件是 （A） 相互獨立 （B） 與a互不相容 （C） A8與。相互獨立 （D） AB與C互不相容 【答案】C 【解析】 P|(JUK ； =：JUff；/3Kl O PJCU BC) = (JXD + AB)P( C) Q P(AC) + P(SC)- P(ABC) = PA)P(C) + F(BP(C-P(.4B)F(C) o P( AP(C PlB)P(C)- P( ABC J = P( A C)+ Pi BPC) - AB)P(C ) 故與。相互獨無. _ 1 * , 玄二 x， (8)設*.-&(於2)來自總體N(低

5、1)的簡單隨機樣本，記 秘心 ,則下列 結論中不正確的是： (A) 服從，分布 (B) 2(& J服從礦分布 (C) iL 服從/分布由I花-止。 可知B特征值為2,2,1. （D） 服從F分布 【答案】B 【解析】 應狄如）,備一北汨（0） 停（立死確 nQT）爬二（備-打C正確， i-i n 亮頃3土）、扁（X-心-狄0,1）/方-）* ,。正確, n n-芍 N（0,2）,（芯;孟） /（1）,故B錯誤. 由于找不正確的結論，故 B符合題意. 二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分。 - 【解析】 （ii）設生產某產品的平均成本 如）T+，其中Q為產量,則邊際成本為 【解

6、析】L，=01十）廣0） = 1+ （12）設函數了優(yōu)y）具有一階連續(xù)偏導數，且 4f(xry)=ydx+x(l+yyyJM 二 0(sir? x +-U)dx二 （10）差分方程 的通解 z= 【解析】由1；初一 2吟：=2n A 2 = 0 n A = 2二,=C2T I ( ( F gr V： -C,f2r,則 G（1）r + cr 代入原方程得 = V. = - /2r =!= E -I MK . f （、/?） 則一 * - 【解析】f* = - v(l + =niel +( )故 囚此/(V)= 0.即(V)=C 可由/(QO) = 0. f(xty)-xyv 1 （13）設矩陣

7、而,Adt如了的秩為 口W的為線性無關的3維列向量組，則向量組 【解析】由知%】4線性無關，可知矩陣 外質耳可逆，故 3%媽，俱）=兇/，務淄）=W）再由Wi = 2得r（.g,飽，）=2. （14）設隨機變量X的概率分布為 2）2 ,】TwPX=3 =，若 -H- 57=0 【解析】 Fhfi-*ttW+a+b =再由E = 0 H2x+1 + A+36 -七故ET*- -2)，+巳！+3*- - 9 DX EX- - EX f - 9 4 f 2 4 4 2 2 三、解答題：1523小題，共94分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 XTO1 (15)求 JIT/ lim d【解析】

8、| Um A KJ -)=由* x-t =tt t 則 H 77 &=-J y/iie1 *WH = ( 4ii” ”如 f fue ivdti 原式=hm fQ 二 lim L if 一廣 【解析】 limy -yin 1+- (17) 求 I i. t- i i i Imi 頂ln(l+-) = l 對n(l + 4)心=-lnCl + 【解析】EJUE JO 2J - LIX)=- . -. - L （18）已知方程” +孫 X 在區(qū)間內有實根，求k的范圍. 、 (ln(l + x);(l + x)-x xe(O.j) f (A)二._； - ； - 0 r (l+x)ln (1

9、+x) 故單調述5鼎IL f(i) = 1A- In 2 . E , A* - ln( 1 + x) *- 3” Inn j (x)=um( - - Jt) = um * i * *lnU*x) M* x EH粗宜.可技l In 2 即S In2-b2 2ln2 Jtz-(2*ln2)fc+(l 1D2)*)2 - 1 I . j r)dhr= 1+x* + x 1 + x* 4 y (1+Jf + r 1 4 1+J +v Wv + x* 6皿屜）55時 _2-V2 16 【解析】.令?。┢咭?I (1) 證明的收斂半徑不小于 1 (2) 證明(1-力擴-雙力= Oxe(-lJ)，并求時的表

10、達式 【解析】(1) 虬5 二一!一3口. *%_)=； 吐.訂.一 hir a -5(- -K,. n+1 rt+1 rt+1 n Um Jl + k+上r q h 【解析】 （I）證明：由電二但+2,可得4+2角-烏二。即q秘秘線性相關， 因此， 昨宿|=。 ，即A的特征值必有0. 又因為A有三個不同的特征值，則三個特征值中只有 1個0,另外兩個非0. A = & 。 A0 且由于A必可相似對角化，則可設其對角矩陣為 I ） ,二 （II）由（1） r（A）=2,知 3-r（為=1,即由二0 的基礎解系只有i個解向量. (% 電) 2 =z P : =0 1 由 +姓- q 二可得

11、 ，則由二0的基礎解系為 k 2 + 1 綜上，眾頊的通解為 ch （2i）設二次型六時狄+&8柄+2硒在正交變換 月= 【解析】了戒,其中 由于y）=x必經正交變換后，得到的標準形為 端+幻; 2 1 -4 r(g) = 2 T E|= 0 n 1 -1 1 =0 a = 2 故 -4 1 口 ， (2 將a-2代入，滿足r （羚二2,因此=2符合題意，此時 （耳弓,務） 1 =A 1 =夕 又 ,即 ,則眾= P的一個特解為1 1 V. 的標準型為 切+楸; ,求的值及一個正交矩陣Q。 2 1 T 1 -1 1 c4 1 a 1 -1 1 1 2人則 A-2 -1 4 | AE A

12、 1 ,1+1 1 = 0 n 4 =4 = 6 4 -1 A-2 p q 二 T 由(-3 -=0，可得 A 的屬于特征值-3的特征向量為 U )- 弓=2 由（0 -=0, 可得A的屬于特征值0的特征向量為 -3 ） PAP = 6 令則 【 ），由于凹彼此正交，故只需單位 r 1 jr 1 一 T P(X=0) = P(X = 2) = （D求P（以 求z=x+y的概率密度由(6ET)x=0, 可得A的屬于特征值 6的特征向量為 率密度為 2yr 0 y 1 0,其他 則 化即可： 、： （22）設隨機變量相互獨立，且/的概率分布為 (11)&(3 = ?(2樊)=凡了+/4) = F(X+Fz,X = O) + P(N= 2) = p(yzRjf=o)+p(r z-2Ry = 2) 二，(F&)+?F(y& 2) (1) 當 0,z-20,而zcO,則 &(Z)二。； (2) 當 z-221,zl,即zA時，H(Z)T； （3） 當 I.J 上 2 ：-.1 時， 2 ； M ” 此（2）二； （4） 當 I z2 時， 2 ； （23）（本題滿分11分） 某工程師為了解一臺夭平的精度， 用該夭平對一物體的質量做 n次測量，該物體的質量夕是 已知的，設n次測量結果 4 如*相互獨立，且均服從正態(tài)分布（從），該工程師 記錄的