排列組合問題解題思路

1、排列組合問題解題思路首先，怎樣分析排列組合綜合題？1）使用“分類計(jì)數(shù)原理”還是“分步計(jì)數(shù)原理”要根據(jù)我們完成某事件時(shí)采取的方式而定，分類來完成這件事時(shí)用“分類計(jì)數(shù)原理”，分步來完成這件事時(shí)就用“分步計(jì)數(shù)原理”，怎樣確定分類，還是分步驟？“分類”表現(xiàn)為其中任何一類均可獨(dú)立完成所給的事件，而“分步驟”必須把各步驟均完成才能完成所給事件，所以準(zhǔn)確理解兩個(gè)原理強(qiáng)調(diào)完成一件事情的幾類辦法互不干擾，彼此間交集為空集，并集為全集，不論哪類辦法都能將事情單獨(dú)完成，分步計(jì)數(shù)原理強(qiáng)調(diào)各步驟缺一不可，需要依次完成所有步驟才能完成這件事，步與步之間互不影響，即前步用什么方法不影響后面的步驟采用的方法。2）排列與組合定

2、義相近，它們的區(qū)別是在于是否與順序有關(guān)。3）復(fù)雜的排列問題常常通過試驗(yàn)、畫簡(jiǎn)圖、小數(shù)字化等手段使問題直觀化，從而尋求解題途徑，由于結(jié)果的正確性難于檢驗(yàn)，亦常常需要用不同的方法求解來獲得檢驗(yàn)。4）按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)性進(jìn)行分步是處理組合問題的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制詞的意義。5）處理排列、組合綜合性問題，一般思想是先選元素（組合），后排列，按元素的性質(zhì)進(jìn)行“分類”和按事件的過程“分步”，始終是處理排列、組合問題基本方法和原理，通過解題訓(xùn)要注意積累分類和分步的基本技能。6）在解決排列、組合綜合性問題時(shí)，必須深刻理解排列組合的概念，能熟練確定問題是排列問題還是組合問

3、題，牢記排列數(shù)與組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)，容易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是重復(fù)和遺漏計(jì)數(shù)。“16字方針”是解決排列組合問題的基本規(guī)律，即：分類相加，分步相乘，有序排列，無(wú)序組合。“12個(gè)技巧”是迅速解決排列組合的捷徑，具體方法與運(yùn)用如下：一 特殊元素的“優(yōu)先排列法”：對(duì)于特殊元素的排列組合問題，一般先考慮特殊元素，再考其他的元素。 二總體淘汰法：對(duì)于含否定的問題，還可以從總體中把不合要求的除去。三合理分類與準(zhǔn)確分步：含有約束條件的排列組合問題，按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事情發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確，分步層次清楚，不重不漏。四相鄰問題用捆綁法：對(duì)于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來

4、，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。五不相鄰問題用“插空法”：對(duì)某幾個(gè)元素不相鄰的排列問題，可將其他元素排列好，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。六順序固定用“除法”：對(duì)于某幾個(gè)元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總的排列數(shù)除于這幾個(gè)元素的全排列數(shù)。七分排問題用直接法：把幾個(gè)元素排成若干排的問題，可采用統(tǒng)一排成一排的排方法來處理。八試驗(yàn)：題中附加條件增多，直接解決困難時(shí)，用試驗(yàn)逐步尋找規(guī)律。例.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，的方格中，每方格填1個(gè)，方格標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（

5、 ）A,6 B.9 C.11 D.23解：第一方格內(nèi)可填2或3或4，如第一填2，則第二方格可填1或3或4，若第二方格內(nèi)填1，則后兩方格只有一種方法；若第二方格填3或4，后兩方格也只有一種填法。一共有9種填法，故選B九探索：對(duì)于情況復(fù)雜，不易發(fā)現(xiàn)其規(guī)律的問題需要認(rèn)真分析，探索出其規(guī)律;例.從1到100的自然數(shù)中，每次取出不同的兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于100，則不同的取法種數(shù)有多少種。解：兩個(gè)數(shù)相加中以較小的數(shù)為被加數(shù)，1+100>100，1為被加數(shù)時(shí)有1種，2為被加數(shù)有2種，49為被加數(shù)的有49種，50為被加數(shù)的有50種，但51為被加數(shù)有49種，52為被加數(shù)有48種，99為被捕加數(shù)的只有1種

6、，故不同的取法有（1+2+3+50）+（49+48+1）=2500種十消序例。4個(gè)男生和3個(gè)女生，高矮不相等，現(xiàn)在將他們排成一行，要求從左到右女生從矮到高排列，有多少種排法。解：先在7個(gè)位置中任取4個(gè)給男生，有種排法，余下的3個(gè)位置給女生，只有一種排法，故有種排法。十一.住店法：解決“允許重復(fù)排列問題”要區(qū)分兩類元素，一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作店，再利用分步計(jì)數(shù)原理直接求解稱“住店法”;例.7名學(xué)生爭(zhēng)五項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的可能種數(shù)有（ ）A. 種 B. 種 C. 種 D. 種解.七名學(xué)生看作七家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)客有7種住法，由分步計(jì)數(shù)原理可得種，故

7、選A十二.對(duì)應(yīng)例.在100名選手之間進(jìn)行單循環(huán)淘汰賽（即一場(chǎng)失敗要退出比賽）最后產(chǎn)生一名冠軍，要比幾場(chǎng)？解.要產(chǎn)生一名冠軍，要淘汰冠軍以外的所有選手，即要淘汰99名選手，要淘汰一名就要進(jìn)行一場(chǎng)，故賽99場(chǎng)。以上十二種方法是解決一般排列組合問題常用方法，數(shù)學(xué)是一門非常靈活的課程，解題法僅僅限于這“12個(gè)技巧”，此外，常用的還有“隔板法”，“倍縮法”。排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想方法也是用得多的（教師點(diǎn)評(píng)：這句可改為“排列組合問題中蘊(yùn)藏著數(shù)學(xué)思想方法”）一分類討論的思想：許多“數(shù)數(shù)”問題往往情境復(fù)雜，層次多，視角廣，這就需要我們?cè)诜治鰡栴}時(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，從不同的側(cè)面，把原問題變成幾個(gè)小問題，分而

8、治之，各種擊破。例.已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，求同時(shí)滿足下列條件的集合C的個(gè)數(shù)：1）且C中含有3個(gè)元素，2）84 8解：如圖，因?yàn)锳，B各含有12個(gè)元素，含有4個(gè)元素，所以中的元素有12+12-4=20個(gè)，其中屬于A的有12個(gè)，屬于A而不屬于B的有8個(gè)，要使，則C中的元素至少含在A中，集合C的個(gè)數(shù)是：1）只含A中1個(gè)元素的有；2）含A中2個(gè)元素的有；3）含A中3個(gè)元素的有，故不求的集合C的個(gè)數(shù)共有+=1084個(gè)二等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想：很多“數(shù)數(shù)”問題的解決，如果能跳出題沒有限定的“圈子”，根據(jù)題目的特征構(gòu)思設(shè)計(jì)出一個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化的途徑，可使問題的解決呈現(xiàn)出“要柳暗花明”的格局。1

9、.具體與抽象的轉(zhuǎn)化例.某人射擊7槍，擊中5槍，問擊中和末擊中的不同順序情況有多少種？分析：沒擊中用“1”表示，擊中的用“0”表示，可將問題轉(zhuǎn)化不下列問題：數(shù)列有兩項(xiàng)為0，5項(xiàng)是1，不同的數(shù)列個(gè)數(shù)有多少個(gè)？解：1）兩個(gè)0不相鄰的情況有種，2）兩個(gè)0相鄰的情況有種，所以擊中和末擊中的不同順序情況有+=21種。2）不同的數(shù)學(xué)概念之間的轉(zhuǎn)化例.連結(jié)正方體8個(gè)頂點(diǎn)的直線中，為異面直線有多少對(duì)？分析：正面求解或反面求解（利用補(bǔ)集，雖可行，但容易遺漏或重復(fù)，注意這樣一個(gè)事實(shí)，每一個(gè)三棱錐對(duì)應(yīng)著三對(duì)異面直線，因而轉(zhuǎn)化為計(jì)算以正方體頂點(diǎn)，可以構(gòu)成多少個(gè)三棱錐）解：從正文體珠8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，有種，其中4點(diǎn)共面

10、的有12種，（6個(gè)表面和6個(gè)對(duì)角面）將不共面的4點(diǎn)可構(gòu)一個(gè)三棱錐，共有-12個(gè)三棱錐，因而共有3（-12）=174對(duì)異面直線。綜上所述，有以上幾種解排列組合的方法，此外，當(dāng)然也還有其他的方法要靠我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)和積累，我們要掌握好這些方法，并且能夠靈活運(yùn)用，這樣，在日常生活中，我們們能輕易解決很多問題。教師點(diǎn)評(píng)：對(duì)排列組合問題的處理方法總結(jié)得很細(xì)、很全面，而且挖掘出其中所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)習(xí)排列組合有一定的指導(dǎo)性。1、文氏圖： 在文氏圖中,以下圖形的含義如下： 矩形：其內(nèi)部的點(diǎn)表示全集的所有元素； 矩形內(nèi)的圓（或其它閉曲線）：表示不同的集合； 圓（或閉曲線）內(nèi)部的點(diǎn)：表示相應(yīng)集合的元素。

11、60;2、三交集公式：A+B+C=ABC+AB+BC+AC-ABC （ABC指的是E，ABC指的是D） 二、應(yīng)用舉例 例：2005年真題對(duì)某單位的100名員工進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)他們喜歡看球賽和電影、戲劇。其中58人喜歡看球賽，38人喜歡看戲劇，52人喜歡看電影，既喜歡看球賽又喜歡看戲劇的有18人，既喜歡看電影又喜歡所戲劇的有16人，三種都喜歡看的有12人，則只喜歡看電影的有： A22人B28人C30人D36人 【解析】首先，根據(jù)題意畫出文氏圖如下： A（球迷）58 B（戲迷）38 C（影迷）52 E（員工總數(shù)）100。 A+B+C=58+38+52148 ABC100 AB18 BC

12、16 ABC12 然后，根據(jù)三交集公式A+B+C=ABC+AB+BC+AC-ABC 推出：ACA+B+CABCABBC+ ABC 148-100-18-16+12 26 最后得出：只喜歡看電影的人C- AC-（BC- ABC）52-26-（16-12）52-26-422 選擇A正確。例1書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的語(yǔ)文書，6本不同的英語(yǔ)書。 （1）若從這些書中任取一本，有多少種不同的取法？ （2）若從這些書中取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各一本，有多少種不同的取法？ （3）若從這些書中取不同的科目的書兩本，有多少種不同的取法。 解：（1）由于從書架上任取一本書，就可以完成這件事，故應(yīng)分類，

13、由于有3種書，則分為3類然后依據(jù)加法原理，得到的取法種數(shù)是：3+5+6=14種。 （2）由于從書架上任取數(shù)學(xué)書、語(yǔ)文書、英語(yǔ)書各1本，需要分成3個(gè)步驟完成，據(jù)乘法原理，得到不同的取法種數(shù)是：3×5×6=90（種）。 （3）由于從書架上任取不同科目的書兩本，可以有3類情況（數(shù)語(yǔ)各1本，數(shù)英各1本，語(yǔ)英各1本）而在每一類情況中又需分2個(gè)步驟才能完成。故應(yīng)依據(jù)加法與乘法兩個(gè)原理計(jì)算出共得到的不同的取法種數(shù)是： 3×5+3×6+5×6=63（種）。 例2已知兩個(gè)集合A=1，2，3，B=a,b,c,d，e，從A到B建立映射，問可建立多少個(gè)不同的映射？ 分

14、析：首先應(yīng)明確本題中的“這件事是指映射，何謂映射？即對(duì)A中的每一個(gè)元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)。” 因A中有3個(gè)元素，則必須將這3個(gè)元素都在B中找到家，這件事才完成。因此，應(yīng)分3個(gè)步驟，當(dāng)這三個(gè)步驟全進(jìn)行完，一個(gè)映射就被建立了，據(jù)乘法原理，共可建立不同的映射數(shù)目為：5×5×5=53（種）。 2排列數(shù)與組合數(shù)的兩個(gè)公式 排列數(shù)與組合數(shù)公式各有兩種形式，一是連乘積的形式，這種形式主要用于計(jì)算；二是階乘的形式，這種形式主要用于化簡(jiǎn)與證明。 連乘積的形式 階乘形式 等式成立。 評(píng)述：這是一個(gè)排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)：n!(n+1)=(n+1)

15、!可使變形過程得以簡(jiǎn)化。 例4解方程 解：原方程可化為： 解得x=3。 評(píng)述：解由排列數(shù)與組合數(shù)形式給出的方程時(shí)，在脫掉排列數(shù)與組合數(shù)的符號(hào)時(shí)，要注意把排列數(shù)與組合數(shù)定義中的取出元素與被取元素之間的關(guān)系以及它們都屬自然數(shù)的這重要限定寫在脫掉符號(hào)之前。 3排列與組合的應(yīng)用題 歷屆高考數(shù)學(xué)試題中，排列與組合部分的試題主要是應(yīng)用問題。一般都附有某些限制條件；或是限定元素的選擇，或是限定元素的位置，這些應(yīng)用問題的內(nèi)容和情景是多種多樣的，而解決它們的方法還是有規(guī)律可循的。常用的方法有：一般方法和特殊方法兩種。 一般方法有：直接法和間接法。 （1）在直接法中又分為兩類，若問題可分為互斥各類，據(jù)加法原理，可

16、用分類法；若問題考慮先后次序，據(jù)乘法原理，可用占位法。 （2）間接法一般用于當(dāng)問題的反面簡(jiǎn)單明了，據(jù)的原理，采用排除的方法來獲得問題的解決。 特殊方法： （1）特元特位：優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后，再去考慮其它元素或位置。 （2）捆綁法：某些元素必須在一起的排列，用“捆綁法”，緊密結(jié)合粘成小組，組內(nèi)外分別排列。 （3）插空法：某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”，不需分離的站好實(shí)位，在空位上進(jìn)行排列。 （4）其它方法。 例57人排成一行，分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 （1）甲排中間； （2）甲不排兩端；（3）甲，乙相鄰； （4）甲在乙的左邊（不要求相鄰）； （5）甲，乙，

17、丙連排； （6）甲，乙，丙兩兩不相鄰。 解：（1）甲排中間屬“特元特位”，優(yōu)先安置，只有一種站法，其余6人任意排列，故共有：1×=720種不同排法。 （2）甲不排兩端，亦屬于“特元特位”問題，優(yōu)先安置甲在中間五個(gè)位置上任何一個(gè)位置則有種，其余6人可任意排列有種，故共有·=3600種不同排法。 （3）甲、乙相鄰，屬于“捆綁法”，將甲、乙合為一個(gè)“元素”，連同其余5人共6個(gè)元素任意排列，再由甲、乙組內(nèi)排列，故共有·=1400種不同的排法。 （4）甲在乙的左邊?？紤]在7人排成一行形成的所有排列中：“甲在乙左邊”與“甲在乙右邊”的排法是一一對(duì)應(yīng)的，在不要求相鄰時(shí)，各占所有

18、排列的一半，故甲在乙的左邊的不同排法共有=2520種。 （5）甲、乙、丙連排，亦屬于某些元素必須在一起的排列，利用“捆綁法”，先將甲、乙、丙合為一個(gè)“元素”，連同其余4人共5個(gè)“元素”任意排列，現(xiàn)由甲、乙、丙交換位置，故共有=720種不同排法。 （6）甲、乙、丙兩兩不相鄰，屬于某些元素必須不在一起的分離排列，用“插空法”，先將甲、乙、丙外的4人排成一行，形成左、右及每?jī)扇酥g的五個(gè)“空”。再將甲、乙、丙插入其中的三個(gè)“空”，故共有 =1440種不同的排法。 例6用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，分別求出下列各類數(shù)的個(gè)數(shù)： （1）奇數(shù)；（2）5的倍數(shù)；（3）比20300大的數(shù)；（4）不含數(shù)字0，且1，2不相鄰的數(shù)。 解：（1）奇數(shù)：要得到一個(gè)5位數(shù)的奇數(shù)，分成3步，第一步考慮個(gè)位必須是奇數(shù)，從1，3，5中選出一個(gè)數(shù)排列個(gè)位的位置上有種；第二步考慮首位不能是0，從余下的不是0的4個(gè)數(shù)字中任選一個(gè)排在首位上有種； 第三步：從余下的4個(gè)數(shù)字中任選3個(gè)排在中間的