數(shù)學(xué)建模雪堆融化時(shí)間

1、半球體雪堆融化時(shí)間 系別：土木建筑工程學(xué)院 專業(yè)：土木（1）班 姓名：何澤波 學(xué)號(hào)：2一、摘要：一個(gè)半球體狀的雪堆，在陽(yáng)光下慢慢融化，過(guò)程中雪堆始終保持著半球體狀，利用微分知識(shí)來(lái)解決雪堆融化的時(shí)間問(wèn)題，并展開(kāi)假設(shè)，當(dāng)雪堆融化時(shí)保持錐形等其它形狀，再次求解。關(guān)鍵詞半徑，半圓面積，半圓體積，常數(shù)，常微分二、 提出問(wèn)題：一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)K>0。假設(shè)在融化過(guò)程中雪堆始終保持著半球體狀，已知半徑為的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的，問(wèn)雪堆全部融化需要多少小時(shí)？三、問(wèn)題分析：在融化過(guò)程，根據(jù)“一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S

2、成正比，比例系數(shù)K>0”的條件，我們可以列得方程，顯然這里為常微分方程。即可得到基本思路就是：先找到與的關(guān)系，將替換的代數(shù)式，再利用已知條件“半徑為的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的，則，”解出的具體表達(dá)式，而雪堆全部融化所用的時(shí)間，為滿足的值，解出n即為所求。四、建模過(guò)程1、 模型假設(shè)：在融化過(guò)程中雪堆始終保持著半球體狀；外界因素基本保持不變，即不影響計(jì)算結(jié)果。 2、符號(hào)說(shuō)明： 小時(shí)，>0 時(shí)刻半球狀球體表面面積 時(shí)刻半球狀球體體積 時(shí)刻半球狀球體半徑 常數(shù)3、模型的建立：（1）. 一個(gè)半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例系數(shù)K>0.即。（2）

3、. 雪堆始終保持著半球體狀，則有，。（3）. 半徑為的雪堆在開(kāi)始融化的3小時(shí)內(nèi)，融化了其體積的，則，。（4）. 雪堆全部融化所用的時(shí)間，為滿足的值。4、模型的求解：因?yàn)橛?解出關(guān)系: ( 其中令 )由得：求解常微分方程： （方程左右兩邊求積）解出： ······················因?yàn)橛钟?代入：解出常數(shù)： 常數(shù)代入得： ···

4、3;··················因?yàn)橛钟?，代入解出值：代回解得?#183;···············最后將代入則：所以 （小時(shí)）答：雪堆全部融化需要6小時(shí).參考文獻(xiàn):大學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)清華出版社 姜啟源 邢文訓(xùn) 謝金星 楊頂輝 編著總結(jié)：雪堆融化過(guò)程中，無(wú)論是保持半球型或圓錐等其它形狀，根