人教版 九年級(jí)上冊(cè) 新初三暑假銜接課程 圓 第三課時(shí) 導(dǎo)學(xué)案 含習(xí)題和答案

1、.新初三暑假數(shù)學(xué)銜接導(dǎo)學(xué)案1.5 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系問題引入問題1 我國(guó)射擊運(yùn)動(dòng)員許海峰是中國(guó)奧運(yùn)會(huì)歷史上的首枚金牌得主，打破了中國(guó)奧運(yùn)史上金牌“零”的紀(jì)錄，為祖國(guó)贏得了榮譽(yù)。你知道射擊靶是如何構(gòu)成的嗎？如圖，是射擊靶示意圖，它是由許多同心圓構(gòu)成的，你知道擊中靶上不同位置的成績(jī)是如何計(jì)算的嗎？探究新知問題2 觀察圖中點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C與圓的位置關(guān)系？點(diǎn)A在圓內(nèi)，點(diǎn)B在圓上，點(diǎn)C在圓外，即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓內(nèi)；點(diǎn)在圓上；點(diǎn)在圓外。問題3 在紙上畫一個(gè)圓，再在圓上任取一點(diǎn)，該點(diǎn)到圓心的距離有何特點(diǎn)？如果在圓外取一點(diǎn)呢？圓內(nèi)呢？結(jié)論：圓上的點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑；圓外的點(diǎn)到圓心的距離大于半

2、徑；圓內(nèi)的點(diǎn)到圓心的距離小于半徑。設(shè)O的半徑為r，點(diǎn)P到圓的距離為d，則有：點(diǎn)P在圓外 d>r；點(diǎn)P在圓上 d=r；點(diǎn)P在圓內(nèi) d<r。問題4 （1）如圖，作經(jīng)過已知點(diǎn)A的圓，這樣的圓你能作出多少個(gè)？（2）如圖作經(jīng)過已知點(diǎn)A、B的圓，這樣的圓你能作出多少個(gè)？他們的圓心分布有什么特點(diǎn)？（3）經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)做一個(gè)圓，如何確定這個(gè)圓的圓心？分別連接AB、BC、AC；分別作出線段AB的垂直平分線和，設(shè)他們的交點(diǎn)為O ，則OA=OB=OC；以點(diǎn)O為圓心，OA（或OB、OC）為半徑作圓，便可以作出經(jīng)過A、B、C的圓。由于過A、B、C三點(diǎn)的圓的圓心只能是點(diǎn)O，半徑等于OA，所以這樣的

3、圓只能有一個(gè)，即：不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)可以做一個(gè)圓，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做這個(gè)三角形的外心。問題5 經(jīng)過同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能不能作出一個(gè)圓？證明：（反證法）如圖，假設(shè)過同一直線l上的A、B、C三點(diǎn)可以作一個(gè)圓，設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，那么點(diǎn)P既在線段AB的垂直平分線上，又在線段BC的垂直平分線上，即點(diǎn)P為與的交點(diǎn)，而，這與我們以前所學(xué)的“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾。所以，過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓。應(yīng)用新知例1：某地出土一古代殘破圓形瓷盤，如圖所示。為復(fù)制該瓷盤確定其圓心和半徑，請(qǐng)?jiān)趫D中用直尺和

4、圓規(guī)畫出瓷盤的圓心。分析：圓心是一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)點(diǎn)可以由兩條直線交點(diǎn)而成，且圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都等于圓的半徑，所以圓心在弦的垂直平分線上。因此，只要在殘缺的圓盤上任取兩條線段，作線段的中垂線，交點(diǎn)就是該圓的圓心。例2：如圖在RtABC中，BC=3，AC=4，以B為圓心。以BC為半徑做B。問點(diǎn)A、C及AB、AC的中點(diǎn)D、E與B有怎樣的位置關(guān)系？鞏固新知練習(xí)1 已知圓的半徑等于5厘米，A、B、C三點(diǎn)到圓心的距離分別為8厘米、4厘米、5厘米，請(qǐng)你說(shuō)一說(shuō)各點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。練習(xí)2 矩形ABCD中，AB6，AD8，以點(diǎn) A為圓心作圓，如果B、C、D三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則圓A的半

5、徑r的取值范圍是多少？練習(xí)3 已知銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，分別作出它們的外接圓，它們外心的位置有怎樣的特點(diǎn)？O為外接圓的圓心，即外心。銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部。練習(xí)4 某公園有一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正三角形花壇，三角形的頂點(diǎn)A、B、C上各有一棵古樹現(xiàn)決定把原來(lái)的花壇擴(kuò)建成一個(gè)圓形或平行四邊形花壇，要求三棵古樹不能移動(dòng)，且三棵古樹位于圓周上或平行四邊形的頂點(diǎn)上以下設(shè)計(jì)過程中畫圖工具不限（1）按圓形設(shè)計(jì)，利用圖（1）畫出你所設(shè)計(jì)的圓形花壇示意圖；（2）按平行四邊形設(shè)計(jì)，利用圖（2）畫出你所設(shè)計(jì)的平行四邊形花壇示意圖；（3）若想新

6、建的花壇面積較大，選擇以上哪一種方案合適?請(qǐng)說(shuō)明理由1.6 直線和圓的位置關(guān)系問題引入問題1 唐朝詩(shī)人王維在使至塞上寫道：?jiǎn)诬囉麊栠叄瑢賴?guó)過居延。征蓬出漢塞，歸雁入胡天。大漠孤煙直，長(zhǎng)河落日?qǐng)A。蕭關(guān)逢候騎，都護(hù)在燕然。其中第三句后半部分“長(zhǎng)河落日?qǐng)A”描寫的是“圓圓的落日慢慢地沉入黃河之中”。如果從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析，把黃河當(dāng)作一直線，太陽(yáng)當(dāng)作一個(gè)圓，如何用幾何圖形來(lái)刻畫這個(gè)落日的過程呢？請(qǐng)同學(xué)們動(dòng)手畫一畫。探究新知問題2 從問題1落日的畫圖過程中，你能總結(jié)出直線和圓有哪幾種位置關(guān)系嗎？直線和圓有三種位置關(guān)系，如下圖：追問1：以上三種情況中，直線和圓分別有幾個(gè)交點(diǎn)？當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，稱之為

7、直線和圓相交；當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，稱之為直線與圓相切；當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，稱之為直線和圓相離。追問2：你能根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，類似得出直線和圓的三種位置關(guān)系中到直線的距離d和半徑r之間的大小關(guān)系嗎？設(shè)圓心O到直線l的距離為d，圓的半徑為r，當(dāng)直線與圓相交時(shí)，dr；當(dāng)直線與圓相切時(shí)，dr；當(dāng)直線與圓相離時(shí)，dr。因此可以用d與r間的大小關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系問題4 如圖，在O中，經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A作直線，則圓心O到直線l的距離是多少？直線l和O有什么關(guān)系？可以看出，這時(shí)圓心O到直線l的距離就是O的半徑，直線l就是O的切線。這樣，我們得到了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂

8、直于這條半徑的直線是圓的切線。追問1：根據(jù)上面的判定定理，如果你要證明一條直線是O的切線，應(yīng)該如何證明？?jī)刹剑海?）這條直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn)；（2）過這點(diǎn)的半徑垂直于這條直線。追問2：反之，如果知道一條直線是圓的切線，那么它是否垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑呢？假設(shè)OA與l不垂直，過點(diǎn)O作，垂足為M，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，有OM<OA，這說(shuō)明圓心O到直線l的距離小于半徑OA，于是直線l與圓相交，而這與直線l是O的切線矛盾。因此，半徑OA與直線垂直。因此，我們有切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。問題5 在你手中的紙上畫出O，并畫出過A點(diǎn)的唯一切線PA，連結(jié)PO，沿著直線PO將紙對(duì)折，設(shè)圓上與

9、點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B，這時(shí)，OB是O的一條半徑嗎？PB是O的切線嗎？利用圖形的軸對(duì)稱性，說(shuō)明圓中的PA與PB，APO與BPO有什么關(guān)系？從上面的操作幾何我們可以得到：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)（這點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段長(zhǎng)）相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。問題6 如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的用料，并且使載下來(lái)的圓與三角形的三條邊都相切？與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓,內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。應(yīng)用新知例1：已知RtABC的斜邊AB8，AC4。（1）以點(diǎn)C為圓心作圓，當(dāng)半徑為多

10、長(zhǎng)時(shí)，AB與C相切？（2）以點(diǎn)C為圓心，分別以2和4的長(zhǎng)為半徑作兩個(gè)圓，這兩個(gè)圓與AB分別有怎樣的位置關(guān)系？分析：根據(jù)d與r間的數(shù)量關(guān)系可知：dr時(shí)，相切；dr時(shí)，相交；dr時(shí)，相離。例2：如下圖，AB是O的直徑，ABT45°，ATAB。求證：AT是O的切線。分析：AT經(jīng)過直徑的一端，因此只要證AT垂直于AB即可，而由已知條件可知ATAB，所以ABTATB，又由ABT45°，所以ATB45°。由三角形內(nèi)角和可證TAB90°，即ATAB。例3：如圖，ABC的內(nèi)切圓O與BC，CA，AB分別相切與點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且AB=9，BC=14，CA=13，求AF，BD，

11、CE的長(zhǎng)。解：設(shè)AF=x，則AE=x，CD=CE=AC-AE=13-x，BD=BF=AB-AF=9-x，由BD+CD=BC可得(13-x)+(9-x)=14，解得x=4。因此AF=4，BD=5，CE=9。鞏固新知練習(xí)1 在RtABC中，C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C為圓心，r為半徑的圓與AB有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（1）r=2cm；（2）r=2。4cm； （3）r=3cm。練習(xí)2 已知A的直徑為6，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，-4），則x軸與A的位置關(guān)系是 ， y軸與A的位置關(guān)系是 。練習(xí)3 已知AB是O的直徑，BC是O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD。求證：DC是O的切線

12、。分析：要證DC是O的切線，需證DC垂直于過切點(diǎn)的直徑或半徑，因此要作輔助線半徑OD，利用平行關(guān)系推出34，又因?yàn)镺DOB，OC為公共邊，因此CDOCBO，所以O(shè)DCOBC90°。練習(xí)4 如圖，已知O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，如果AE=2，CD=1，BF=3。求內(nèi)切圓的半徑r。解：O是ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，AF=AE，EC=CD，DB=BF，AE=2，CD=1，BF=3，AF=2，EC=1，BD=3，AB=BF+AF=3+2=5，BC=BD+DC=4，AC=AE+EC=3，ABC是直角三角形，內(nèi)切圓的半徑r=3+4-52=1知識(shí)小結(jié)本節(jié)課學(xué)到那些知識(shí)？發(fā)現(xiàn)了什么

13、？在運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決問題時(shí)應(yīng)注意什么？1、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系；2、不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓；3、三角形外接圓和三角形外心的概念；4、反證法的證明原理。5、直線和圓相交、相切、相離等概念。6、設(shè)O的半徑為r，直線L到圓心O的距離為d則有：直線L和O相交 d<r；直線L和O相切 d=r；直線L和O相離 d>r；7、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；8、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；9、圓的切線長(zhǎng)概念及定理；10、三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念。習(xí)題1.3 點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系A(chǔ)組1（2019重慶一中）如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)D在AB

14、的延長(zhǎng)線上，射線DC切圓D于點(diǎn)C，若A= 25°，則D等于 ( )A60° B50° C40° D45°【答案】C2（2019重慶一中）如圖，PA和PB是O的切線，點(diǎn)A和B是切點(diǎn)，AC是O的直徑，已知P=50°，則 ACB的大小是 ( ) A.60° B.65° C.70° D.75°【答案】B3（2019西大附中）如圖，P是O外一點(diǎn)，PA 、PB是O 的切線，APB= 50°，點(diǎn)C在O上，則ACB=( ) A.50° B.65° C.75° D.130&

15、#176; 【答案】B4（2019重慶南開）如圖，已知PA、PB是O的切線，A、B為切點(diǎn)AC是O的直徑P= 40°，則BAC的大小是 ( )A70° B40° C50° D20°【答案】D 5如圖，RtABC的內(nèi)切圓O與兩直角邊AB、BC分別相切于點(diǎn)D，E，過劣弧DE（不包括端點(diǎn)D，E）上任一點(diǎn)P作O的切線MN與AB，BC分別交于點(diǎn)M，N，若O的半徑為r，則RtMBN的周長(zhǎng)為 ( )A.r B. C.2r D.【答案】C6（2019鹽城）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點(diǎn)D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C中至少

16、有一個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一個(gè)點(diǎn)在圓外，則r的取值范圍是 【答案】3<r<57（2019鎮(zhèn)江）如圖，AB是O的直徑，OA =1,AC是O的弦，過點(diǎn)C的切線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D若BD=-1，則ACD= 【答案】112.5°8（2019哈爾濱）如圖，AB為O的直徑，直線l與O相切于點(diǎn)CADl垂足為D,AD交O于點(diǎn)E，連接OC、BE若AE=6，OA =5，則線段DC的長(zhǎng)為 【答案】49（2019泰安）如圖，半徑為3的O與RtAOB的斜邊AB切于點(diǎn)D，交OB于點(diǎn)C連接CD交直線OA于點(diǎn)E若B= 30°，則線段AE的長(zhǎng)為 【答案】B組10（2019荊州）如圖，過O外一點(diǎn)P引

17、O 的兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別是A、B，OP交O于點(diǎn)C，點(diǎn)D是優(yōu)弧ABC上不與點(diǎn)A、點(diǎn)C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 AD、CD，若APB= 80°，則ADC的度數(shù)是( ) A15° B20° C25° D30°【答案】C（提示：根據(jù)切線的性質(zhì)，連接OA、OB易得AOB =100°由切線長(zhǎng)定理可得PA =PB，POBPOA.則AOP=50°，ADC=25°）11（2019常州）如圖，圓心都在x軸正半軸上的半圓O1， 半圓O2,，半圓On與直線y=相切，設(shè)半圓O1， 半圓O2,，半圓On的半徑分別是r1，r2，rn，則當(dāng)

18、r1 =1時(shí)，r2019= 【答案】32019（提示：根據(jù)一次函數(shù)解析式易得直線與x軸的夾角為30°分別連接圓心與相應(yīng)切點(diǎn)，構(gòu)造直角三角形根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊一半，可依次求出半徑依次為1，3，9-找規(guī)律即可得到答案）12（2019攀枝花）如圖，ABC中，C = 90°,AC=3，AB=5，D為BC邊的中點(diǎn)，以AD上一點(diǎn)O為圓心的O 和AB、BC均相切，則OO的半徑為 【答案】13如圖，AD為ABC外接圓的直徑，ADBC，垂足為點(diǎn)F，ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，連接BD，CD（1）求證：BD=CD；（2）請(qǐng)判斷B，E，C三點(diǎn)是否在以D為圓心，以DB為半徑

19、的圓上?并說(shuō)明理由解：（1）證明：AD為直徑，ADBCBD=CD（2）B，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上理由：由（1）知：BD=CDBAD=CBDDBE=CBD+CBE，DEB=BAD+ABECBE=ABEDBE=DEBBD=DE由（1）知：BD=CDDB=DE=DCB，E，C三點(diǎn)在以D為圓心，以DB為半徑的圓上14. 如圖，在直角梯形ABCD中，AB90°，AD/BC，E為AB上的一點(diǎn)，DE平分ADC，CE平分BCD，以AB為直徑的圓與邊CD有怎樣的關(guān)系？15. 已知：如圖，ABC中，ABAC，以AB為直徑作O交BC于D，DEAC于E。求證：DE是O的切線。16.如圖，已知點(diǎn)C在O上，延長(zhǎng)直徑AB到點(diǎn)P，連結(jié)PC，COB2PCB。（1）求證：PC是O的切線；（2）若ACPC，且PB3，M是O下半圓弧的中點(diǎn)，求MA的長(zhǎng)。17.如圖，在中，以AB為直徑的交BC于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E。（1）求證：DE是的切線；（2）若BAC1