初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之?dāng)?shù)形結(jié)合

1、初三數(shù)學(xué)培優(yōu)之?dāng)?shù)形結(jié)合閱讀與思考數(shù)學(xué)研究的對象是現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式，簡單地說就是“數(shù)”與“形”，對現(xiàn)實(shí)世界的事物，我們既可以從“數(shù)”的角度來研究，也可以從“形”的角度來探討，我們在研究“數(shù)”的性質(zhì) 時(shí)，離不開“形”；而在探討“形”的性質(zhì)時(shí)，也可以借助于“數(shù)”.我們把這種由數(shù)量關(guān)系來研究圖形性質(zhì)，或由圖形的性質(zhì)來探討數(shù)量關(guān)系，即這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化的解決數(shù)學(xué)問題的思想叫作 數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合有下列若干途徑：1 .借助于平面直角坐標(biāo)系解代數(shù)問題；2 .借助于圖形、圖表解代數(shù)問題；3 .借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問題；4 .借助于函數(shù)解幾何問題.現(xiàn)代心理學(xué)表明：人腦

2、左半球主要具有言語的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具 有非言語的、綜合的、直觀的、音樂的、幾何圖形識別的形象思維的功能.要有效地獲得知識，則需要 兩個(gè)半球的協(xié)同工作，數(shù)形結(jié)合分析問題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能代數(shù)表達(dá)及其運(yùn)算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因?yàn)槿绱耍芽杽?chuàng)立 了解析幾何，用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問題.從而成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的先驅(qū).幾何問題代數(shù)化乃是數(shù)學(xué)的一 大進(jìn)步.例題與求解【例1】設(shè)y vx2 2x 2 v,x2 4x 13,則y的最小值為 .（羅馬尼亞競賽試題）解題思路：若想求出被開方式的最小值，則顧此失彼.y J x 1 2 1 %，x

3、2 2 9 =V x 1 2 0 1 2x 2 2 0 3 2 ,于是問題轉(zhuǎn)化為：在 x軸上求一點(diǎn)C（x, 0）,使它到兩 點(diǎn)A （ 1, 1）和B（2, 3）的距離之和（即 CA+CB）最小.【例2】直角三角形的兩條直角邊之長為整數(shù)，它的周長是 x厘米，面積是x平方厘米，這樣的直角三 角形（）A .不存在B,至多1個(gè)C.有4個(gè)D.有2個(gè)（黃岡市競賽試題） 解題思路：由題意可得若干關(guān)系式，若此關(guān)系式無解，則可推知滿足題設(shè)要求的直角三角形不存在； 若此關(guān)系式有解，則可推知這樣的直角三角形存在，且根據(jù)解的個(gè)數(shù)，可確定此直角三角形的個(gè)數(shù).【例3】如圖，在 ABC中，/ A= 900, / B = 2

4、Z C, / B的平分線交 AC于D, AEXBC于E,DF ±BC于F. 求證:BD DFAE BFAE BE解題思路：圖形中含多個(gè)重要的基本圖形, 別計(jì)算出各個(gè)線段，利用代數(shù)法證明.（湖北省競賽試題）待證結(jié)論中的代數(shù)跡象十分明顯.可依據(jù)題設(shè)條件，分【例4 當(dāng)a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程x2 5xa有且只有相異的兩實(shí)數(shù)根?（四川省聯(lián)賽試題）解題思路：從函數(shù)的觀點(diǎn)看，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yx2 5x與函數(shù)y a（a>0）圖象有且只有相異兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)圖象，由圖象可直觀地得a的取值范圍.【例5】 設(shè)4ABC三邊上的三個(gè)內(nèi)接正方形（有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的一邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形另

5、兩邊上）的面積都相等，證明：ABC為正三角形.（江蘇省競賽試題）解題思路：設(shè) ABC三邊長分別為a, b, c,對應(yīng)邊上的高分別為 ha, hb, h-ABC的面積為S,則易得三個(gè)內(nèi)接正方形邊長分別為2S 2Sa ha b hb2S-2S-,由題意得 a ha b hb c hc, c h c2S , 2Sb2Sc L .則a , b , c適合方程 c【例6】設(shè)正數(shù)x, y, z滿足方程組2x2 xy 2523yz2 9 ，求 xy 2yz 3zx 的值.322z zx x 16（俄羅斯中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題）能力訓(xùn)練1 .不查表可求得tan 150的值為.2 .如圖，點(diǎn)A, C都在函數(shù)y3 .

6、3一(x x0）的圖象上，點(diǎn)B, D都在x軸上，且使得 OAB, BCD都是等邊三角形，則點(diǎn) D的坐標(biāo)為 .（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3 .平面直角坐標(biāo)系上有點(diǎn)P（1, 2）和點(diǎn)Q（4, 2）,取點(diǎn) R（1, m）,當(dāng)m 時(shí)，PR +RQ有最小值.4 .若a 0, b 0,要使x a x b a b成立，x的取值范圍是25 .已知AB是半徑為1的。O的弦，AB的長為方程x x 1 0的正根，則/ AOB的度數(shù)是.（太原市競賽試題）6 .如圖，所在正方形的中心均在坐標(biāo)原點(diǎn)，且各邊與x軸或y軸平行，從內(nèi)到外，它們的邊長依次為2, 4, 6,8,，頂點(diǎn)依次用 A1 ,A2, A3, A4,表示，則頂點(diǎn)

7、 A55的坐標(biāo)是（）A . (13 , 13)B. (-13, 13)C.(14, 14)D. (-14, 一 14)iy第2題圖x A第6題圖7 .在 ABC 中，/ C= 900, AC=3, BC=4,在 ABD 中，/ A= 900, AD= 12.點(diǎn) C 和點(diǎn) D 分居 AB兩側(cè)，過點(diǎn)D且平行于AC的直線交CB的延長線于DEE.如果DBm,其中，m , n是互質(zhì)的正整數(shù), n那么m n=(A. 25)B.128C.153D.243E.256 (美國數(shù)學(xué)統(tǒng)一考試題)C分別是 ABC的三邊的長，且A. / B>2Z AB./ B=2Z Aa b ,則它的內(nèi)角/a b cC. / B

8、< 2/AA, / B的關(guān)系是()D.不確定9 .如圖，S afg5a ，S ACG4a，S BFG7a27A a1128 a1129C.a1130 a1110 .滿足兩條直角邊邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個(gè)數(shù)有A. 1個(gè)C. 3個(gè)D.無窮多個(gè)11 .如圖，關(guān)于x的二次函數(shù) y x2 2mx m的圖象與x軸交于A( x1，0), B(x2, 0)兩點(diǎn)(x2 >0> x1),與y軸交于C點(diǎn)，且/ BAC = /BCO.(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)以點(diǎn)D ( J5, 0)為圓心。D,與y軸相切于點(diǎn)O,過=拋物線上一點(diǎn) E(X3, t)(t >

9、;0, X3<0)作X軸的平行線與。D交于F, G兩點(diǎn)，與拋物線交于另一點(diǎn) H.問是否存在實(shí)數(shù)t ,使得EF + GH =CF?$果存在，求出t的值；如果不存在，請說明理由.(武漢市中考題)212 .已知正數(shù) a , b , c, A, B, C 滿足 a + A=b+B=c + C= k .求證：aB 十 b C + cAv k .13.如圖，一個(gè)圓與一個(gè)正三角形的三邊交于六點(diǎn)，已知AG = 2, GF=13, FC=1, HI =7,求 DE.（美國數(shù)學(xué)邀請賽試題）14 .射線QN與等邊 ABC的兩邊 AB, BC分別交于點(diǎn) M, N,且AC/QN, AM = MB= 2 cm, QM = 4 cm. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)Q出發(fā)，沿射線 QN以每秒1cm的速度向右移動(dòng)，經(jīng)過 t秒，以點(diǎn)P為圓心，J3 cm為半 徑的圓與 ABC的邊相切（切點(diǎn)在邊上）.請寫出t可以取的一切值： （單位：秒）.第14題圖15 .如圖，已知 D 是 ABC 邊 AC 上的一點(diǎn)，AD: DC=2: 1, / C= 450 , / ADB = 600 .求證：AB是 BCD的外接圓的切線.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）BC第15題圖16 .如圖，在 ABC中，作一條直線l /