正弦定量和余弦定理課件

1、正弦定量和余弦定理4.6 4.6 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 要點(diǎn)梳理要點(diǎn)梳理1.1.正弦定理正弦定理: : , ,其中其中R R是三角形是三角形 外接圓的半徑外接圓的半徑. .由正弦定理可以變形為由正弦定理可以變形為: : （1 1）a ab bc c=sin =sin A Asin sin B Bsin sin C C; ; （2 2）a a= = , ,b b= = , ,c c= = ; ; （3 3） 等形式等形式, ,以以 解決不同的三角形問(wèn)題解決不同的三角形問(wèn)題. .RCcBbAa2sinsinsin2 2R Rsin sin C CRcCRbBRaA2sin,2sin

2、,2sin2 2R Rsin sin A A2 2R Rsin sin B B基礎(chǔ)知識(shí)基礎(chǔ)知識(shí) 自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)正弦定量和余弦定理2.2.余弦定理余弦定理: :a a2 2= = , ,b b2 2= = , , c c2 2= = . .余弦定理可以變形為余弦定理可以變形為:cos :cos A A ,cos ,cos B B= = ,cos ,cos C C= = . .3.3. r r（r r是三角形內(nèi)切圓的半徑）是三角形內(nèi)切圓的半徑）, ,并可由此計(jì)算并可由此計(jì)算R R、r r. .b b2 2+ +c c2 2-2-2bcbccos cos A Aa a2 2+ +c c2 2-2-

3、2acaccos cos B Ba a2 2+ +b b2 2-2-2ababcos cos C Cbcacb2222acbca2222abcba2222)(214sin21sin21sin21cbaRabcBacAbcCabSABC正弦定量和余弦定理4.4.在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問(wèn)題：在解三角形時(shí)，正弦定理可解決兩類問(wèn)題： （1 1）已知兩角及任一邊，求其它邊或角；）已知兩角及任一邊，求其它邊或角； （2 2）已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角）已知兩邊及一邊的對(duì)角，求其它邊或角. . 情況（情況（2 2）中結(jié)果可能有一解、二解、無(wú)解，）中結(jié)果可能有一解、二解、無(wú)解， 應(yīng)注意區(qū)分應(yīng)

4、注意區(qū)分. . 余弦定理可解決兩類問(wèn)題：余弦定理可解決兩類問(wèn)題： （1 1）已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問(wèn)題；）已知兩邊及夾角或兩邊及一邊對(duì)角的問(wèn)題；（2 2）已知三邊問(wèn)題）已知三邊問(wèn)題. .5.5.解三角形的類型解三角形的類型 在在ABCABC中，已知中，已知a a、b b和和A A時(shí)，解的情況如下：時(shí)，解的情況如下：正弦定量和余弦定理 A A為銳角為銳角A A為鈍角為鈍角或直角或直角 圖形圖形關(guān)系式關(guān)系式 解的解的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù) 一解一解 兩解兩解 一解一解 一解一解AbasinbaAbsinba ba 正弦定量和余弦定理基礎(chǔ)自測(cè)基礎(chǔ)自測(cè)1.1.（20082008陜西）陜西）ABCABC的內(nèi)

5、角的內(nèi)角A A、B B、C C的的 對(duì)邊分別為對(duì)邊分別為a a、b b、c c, ,若若c c= ,= ,b b= ,= ,B B=120=120, , 則則a a等于（等于（ ） A. B.2 C. D.A. B.2 C. D. 解析解析26632,sinsinCcBb由正弦定理得. 2.3030120180,30,216120sin2sinsincaACbBcCD正弦定量和余弦定理2.2.ABCABC的內(nèi)角的內(nèi)角A A、B B、C C的對(duì)邊分別為的對(duì)邊分別為a a、b b、c c. .若若 a a、b b、c c成等比數(shù)列，且成等比數(shù)列，且c c=2=2a a, ,則則cos cos B

6、B等于等于( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由已知得由已知得b b2 2= =acac, ,c c=2=2a a, ,41434232.434252cos222222aaaacbcaBB正弦定量和余弦定理3.3.在在ABCABC中，中，A A=60=60, ,a a=4 ,=4 ,b b=4 ,=4 ,則則B B等等 于（于（ ） A.45 A.45或或135135 B.135 B.135 C.45 C.45 D. D.以上答案都不對(duì)以上答案都不對(duì) 解析解析 由正弦定理得由正弦定理得 又又a a b b, ,A A=60=60,B B=45=45. .32

7、,sinsinBbAa.2260sin3424sin,sin2460sin34BB即C正弦定量和余弦定理4.4.已知圓的半徑為已知圓的半徑為4 4，a a、b b、c c為該圓的內(nèi)接三角形為該圓的內(nèi)接三角形 的三邊，若的三邊，若abcabc=16 =16 ，則三角形的面積為（，則三角形的面積為（ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析22228222, 82sinsinsinRCcBbAa. 2216161161sin21,8sinabcCabScCABCC正弦定量和余弦定理5.5.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a a，b b

8、，c c. . 若若B B=45=45，b b= = ，a a=1=1，則，則C C= = . . 解析解析 a a b b,A A=60=60或或A A=120=120. .當(dāng)當(dāng)A A=60=60時(shí)，時(shí)，C C=180=180-45-45-60-60=75=75, ,;226sinsinBCbc當(dāng)當(dāng)A A=120=120時(shí)，時(shí)，C C=180=180-45-45-120-120=15=15. .226sinsinBCbc.226,15,120.226,75,60cCAcCA或正弦定量和余弦定理(2)(2)B B=60=60, ,C C=75=75,A A=45=45. .（3 3）a a，b

9、 b，c c成等比數(shù)列，成等比數(shù)列，b b2 2= =acac，又，又a a2 2- -c c2 2= =acac- -bcbc，b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2= =bcbc. .在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得. 434sinsin, 64sinsinsinsinsinaACcaABbCcBbAa得由正弦定理.60,212cos222AbcacbA正弦定量和余弦定理 （1 1）已知兩角一邊可求第三角，解這）已知兩角一邊可求第三角，解這樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可樣的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. .（2 2）已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)

10、，利用正）已知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形時(shí)，利用正弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是弦定理求另一邊的對(duì)角時(shí)要注意討論該角，這是解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意解題的難點(diǎn)，應(yīng)引起注意. .2360sin60sinsin,60,.sinsin,22acbcBbAacbaAbBABC由正弦定理得中在正弦定量和余弦定理知能遷移知能遷移1 1 在在ABCABC中，若中，若b b= ,= ,c c=1,=1,B B=45=45, , 求求a a及及C C的值的值. . 解解 由正弦定理得由正弦定理得 因?yàn)橐驗(yàn)閏 c b b, ,所以所以C C B B, ,故故C C一定是銳角，一定是銳角， 所以所以C C=3

11、0=30, ,所以所以A A=105=105，.21sin,sin145sin2CC所以.226105sin2,105sin30sin1aa所以所以2正弦定量和余弦定理題型二題型二 余弦定理的應(yīng)用余弦定理的應(yīng)用 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分別是角分別是角A A，B B，C C 的對(duì)邊，且的對(duì)邊，且 （1 1）求角）求角B B的大??；的大??； （2 2）若）若b b= = ，a a+ +c c=4=4，求，求ABCABC的面積的面積. . 由由 利用余弦定理利用余弦定理 轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系求解. . 解解 （1 1）由余弦定理知：）由余弦定理知：.2coscos

12、cabCB13,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC正弦定量和余弦定理.32,2122cos:222:2coscos222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB為三角形的內(nèi)角整理得得將上式代入.433sin21. 3),211 (216cos22)(,cos232, 4,13)2(222222BacSacacbBacaccabBaccabBcabABC得代入將正弦定量和余弦定理 (1) (1)根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦根據(jù)所給等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)利用余弦定理將角化邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵定理將角化

13、邊進(jìn)行變形是迅速解答本題的關(guān)鍵. .（2 2）熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意）熟練運(yùn)用余弦定理及其推論，同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用整體思想、方程思想在解題過(guò)程中的運(yùn)用. .正弦定量和余弦定理知能遷移知能遷移2 2 已知已知ABCABC中，三個(gè)內(nèi)角中，三個(gè)內(nèi)角A A，B B，C C的的 對(duì)邊分別為對(duì)邊分別為a a, ,b b, ,c c, ,若若ABCABC的面積為的面積為S S，且，且 2 2S S= =（a a+ +b b）2 2- -c c2 2，求，求tan tan C C的值的值. . 解解 依題意得依題意得ababsin sin C C= =a a2 2

14、+ +b b2 2- -c c2 2+2+2abab, , 由余弦定理知由余弦定理知, ,a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2=2=2ababcos cos C C. . 所以所以, ,ababsin sin C C=2=2abab(1+cos (1+cos C C),), 即即sin sin C C=2+2cos =2+2cos C C, ,.342tan12tan2tan. 22tan:,2cos42cos2sin222CCCCCCC從而化簡(jiǎn)得所以正弦定量和余弦定理題型三題型三 三角形形狀的判定三角形形狀的判定 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分別表示三個(gè)內(nèi)角分別

15、表示三個(gè)內(nèi)角 A A、B B、C C的對(duì)邊，如果（的對(duì)邊，如果（a a2 2+ +b b2 2）sinsin（A A- -B B）= = （a a2 2- -b b2 2）sinsin（A A+ +B B），判斷三角形的形狀），判斷三角形的形狀. . 利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角 互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系. . 解解 方法一方法一 已知等式可化為已知等式可化為 a a2 2sinsin（A A- -B B）-sin-sin（A A+ +B B） = =b b2 2-sin-sin（A A+ +B B）-sin(-sin(A A

16、- -B B) ) 2 2a a2 2cos cos A Asin sin B B=2=2b b2 2cos cos B Bsin sin A A 由正弦定理可知上式可化為：由正弦定理可知上式可化為： sin sin2 2A Acos cos A Asin sin B B=sin=sin2 2B Bcos cos B Bsin sin A A正弦定量和余弦定理sin sin A Asin sin B B(sin (sin A Acos cos A A-sin -sin B Bcos cos B B)=0)=0sin 2sin 2A A=sin 2=sin 2B B, ,由由0202A A,2,

17、2B B20;0;若若A A為直角，則為直角，則b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2=0=0；若；若A A為鈍角，為鈍角，則則b b2 2+ +c c2 2- -a a2 20.0.（2 2）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的）利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得三角函數(shù)間的關(guān)系，通過(guò)三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用要注意應(yīng)用A A+ +B B+ +C C=這個(gè)結(jié)論這個(gè)結(jié)論. .正弦定量和余弦定理知能遷移知能遷移3 3 在在ABCABC中，已知中，已知2

18、sin 2sin A Acos cos B B= = sin sin C C，那么，那么ABCABC一定是（一定是（ ） A.A.直角三角形直角三角形 B.B.等腰三角形等腰三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.正三角形正三角形 解析解析 方法一方法一 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵贏BCABC中，中，A A+ +B B+ +C C=， 即即C C=-=-（A A+ +B B），所以），所以sin sin C C=sin(=sin(A A+ +B B).). 由由2sin 2sin A Acos cos B B=sin =sin C C, , 得得2sin 2sin A Acos cos B B

19、=sin =sin A Acos cos B B+cos +cos A Asin sin B B, , 即即sin sin A Acos cos B B-cos -cos A Asin sin B B=0,=0,即即sin(sin(A A- -B B)=0.)=0.正弦定量和余弦定理又因?yàn)橛忠驗(yàn)?A A- -B B,0,2cos 0,2cos B B=1,=1,B B是三角形的內(nèi)角，是三角形的內(nèi)角，B B=60=60. 6. 6分分（2 2）在）在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=(=(a a+

20、+c c) )2 2-2-2acac-2-2acaccos cos B B, 8, 8分分將將b b= ,= ,a a+ +c c=4=4代入整理，得代入整理，得acac=3. 10=3. 10分分 7.43360sin23sin21BacSABC故1212分分正弦定量和余弦定理 在求角問(wèn)題中，一般都是用正、余弦定在求角問(wèn)題中，一般都是用正、余弦定理將邊化為角理將邊化為角. .由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角的由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角的范圍范圍. .在應(yīng)用余弦定理時(shí)，要注意配方這一小技在應(yīng)用余弦定理時(shí)，要注意配方這一小技巧，通過(guò)配方，使之出現(xiàn)（巧，通過(guò)配方，使之出現(xiàn)（a a+ +b b）2 2

21、或（或（a a- -b b）2 2. .將將a a+ +b b或或a a- -b b作為一個(gè)整體，可以帶來(lái)非常好的效果作為一個(gè)整體，可以帶來(lái)非常好的效果. .正弦定量和余弦定理知能遷移知能遷移4 4 （20082008遼寧）遼寧）在在ABCABC中中, ,內(nèi)角內(nèi)角A A、 B B、C C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a a、b b、c c. .已知已知c c=2,=2, （1 1）若）若ABCABC的面積等于的面積等于 ，求，求a a、b b的值；的值； （2 2）若）若sin sin C C+sin(+sin(B B- -A A)=2sin 2)=2sin 2A A, ,求求ABCABC的

22、的 面積面積. . 解解 (1)(1)由余弦定理及已知條件由余弦定理及已知條件, ,得得a a2 2+ +b b2 2- -abab=4.=4. 又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳BCABC的面積等于的面積等于 ， 所以所以 ababsin sin C C= ,= ,所以所以abab=4.=4.3C32133. 2, 2, 4, 422baababba解得聯(lián)立方程組正弦定量和余弦定理(2)(2)由題意得由題意得sin(sin(B B+ +A A)+sin()+sin(B B- -A A)=4sin )=4sin A Acos cos A A, ,即即sin sin B Bcos cos A A=2sin =2si

23、n A Acos cos A A, ,當(dāng)當(dāng)cos cos A A00時(shí)，得時(shí)，得sin sin B B=2sin =2sin A A, ,由正弦定理得由正弦定理得b b=2=2a a, ,.332,334,6,2,0cosbaBAA時(shí)當(dāng).332sin21.334,332,2, 422CabSABCbaababba的面積所以解得聯(lián)立方程組正弦定量和余弦定理方法與技巧方法與技巧1.1.正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的正、余弦定理和三角形面積公式是本節(jié)課的 重點(diǎn)重點(diǎn), ,利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系利用三角形內(nèi)角和、邊、角之間的關(guān)系, , 三角函數(shù)的變形公式去判斷三角形的形狀，求三角函數(shù)

24、的變形公式去判斷三角形的形狀，求 解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題解三角形，以及利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題. .2.2.應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理應(yīng)熟練掌握和運(yùn)用內(nèi)角和定理: : A A+ +B B+ +C C=, =, 中互補(bǔ)和互余的情況中互補(bǔ)和互余的情況, , 結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù)結(jié)合誘導(dǎo)公式可以減少角的種數(shù). .2222CBA思想方法思想方法 感悟提高感悟提高正弦定量和余弦定理3.3.正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由正、余弦定理的公式應(yīng)注意靈活運(yùn)用，如由 正、余弦定理結(jié)合得正、余弦定理結(jié)合得sinsin2 2A A=sin=sin2 2B B+sin+sin2 2C C

25、- - 2sin 2sin B Bsin sin C Ccos cos A A, ,可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明可以進(jìn)行化簡(jiǎn)或證明. .4.4.根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，主要有兩種 途徑：途徑： （1 1）化邊為角；（）化邊為角；（2 2）化角為邊，并常用正弦）化角為邊，并常用正弦 （余弦）定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換（余弦）定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換. .失誤與防范失誤與防范在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角的對(duì)角求另一邊的對(duì)角, ,進(jìn)而求出其他的邊和角進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要

26、進(jìn)行分類時(shí)，有時(shí)可能出現(xiàn)一解、兩解，所以要進(jìn)行分類討論討論. .正弦定量和余弦定理一、選擇題一、選擇題1.1.ABCABC的三邊分別為的三邊分別為a a，b b，c c且滿足且滿足b b2 2= =acac， 2 2b b= =a a+ +c c，則此三角形是，則此三角形是 （ ） A.A.等腰三角形等腰三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C.C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等邊三角形等邊三角形 解析解析 22b b= =a a+ +c c，44b b2 2= =（a a+ +c c）2 2， 又又b b2 2= =acac,(,(a a- -c c) )2 2=0.=0.a a=

27、 =c c. . 2 2b b= =a a+ +c c=2=2a a.b b= =a a，即，即a a= =b b= =c c. .D定時(shí)檢測(cè)定時(shí)檢測(cè)正弦定量和余弦定理2.2.ABCABC中中, ,a a, ,b b, ,c c分別是內(nèi)角分別是內(nèi)角A A, ,B B, ,C C的對(duì)邊的對(duì)邊, ,且且 cos 2cos 2B B+3cos(+3cos(A A+ +C C)+2=0)+2=0，b b= ,= ,則則c csin sin C C等于等于 （ ） A.31 B. 1A.31 B. 1 C. 1 D.21 C. 1 D.21 解析解析 cos 2cos 2B B+3cos(+3cos(A

28、 A+ +C C)+2=2cos)+2=2cos2 2B B- - 3cos 3cos B B+1=0,cos +1=0,cos B B= = 或或cos cos B B=1(=1(舍舍).). 33221. 2233sinsin.3BbCcBD正弦定量和余弦定理3.3.ABCABC中，中，ABAB= ,= ,ACAC=1,=1,B B=30=30，則，則ABCABC的的 面積等于面積等于 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 C C=60=60或或120120. . (1) (1)當(dāng)當(dāng)C C=60=60時(shí)時(shí), ,A A=90=90,BCBC=2,=2,此時(shí)此時(shí), ,

29、 （2 2）當(dāng)）當(dāng)C C=120=120時(shí)，時(shí)，A A=30=30，2343323或4323或.23sin,sin330sin1CC;23ABCS.4330sin1321ABCSD3,1800C正弦定量和余弦定理4.4.（20082008四川）四川）ABCABC的三內(nèi)角的三內(nèi)角A A、B B、C C的對(duì)邊的對(duì)邊 邊長(zhǎng)分別為邊長(zhǎng)分別為a a、b b、c c. .若若 A A=2=2B B，則，則cos cos B B 等于等于 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由正弦定理得由正弦定理得,25ba 35455565,sinsinBAba.45cos,25sin2si

30、n,2.25sinsin25BBBBABAba又可化為B正弦定量和余弦定理5.5.（20082008福建）福建）在在ABCABC中中, ,角角A A、B B、C C的對(duì)邊的對(duì)邊 分別為分別為a a、b b、c c，若（，若（a a2 2+ +c c2 2- -b b2 2）tan tan B B = = acac， 則角則角B B的值為的值為 （ ） A. B. A. B. C. D. C. D. 解析解析 ( (a a2 2+ +c c2 2- -b b2 2)tan )tan B B= = acac, ,63656或323或3.323,0.23sintancos,23tan2222或的值為

31、角即BBBBBBacbcaD3正弦定量和余弦定理6.6.在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所對(duì)的邊分別是所對(duì)的邊分別是a a, ,b b, ,c c, ,若若 b b2 2+ +c c2 2- -bcbc= =a a2 2, ,且且 , ,則角則角C C的值為的值為 （ ） A.45 A.45 B.60 B.60 C.90 C.90 D.120 D.120 解析解析 由由b b2 2+ +c c2 2- -bcbc= =a a2 2, ,得得b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2= =bcbc, ,3ba.90180,30,212333sin33sin, 3sinsi

32、n, 3.60,212cos222BACBABBAbaAbcacbA又C,60ABA且正弦定量和余弦定理二、填空題二、填空題7.7.（20092009上海）上海）在在ABCABC中，若中，若ABAB=3,=3, ABCABC=75=75,ACBACB=60=60，則，則BCBC= = . . 解析解析 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知根據(jù)三角形內(nèi)角和定理知 BACBAC=180=180-75-75-60-60=45=45. . 根據(jù)正弦定理得根據(jù)正弦定理得,sinsinACBABBACBC. 62322360sin45sin3,60sin345sinBCBC即6正弦定量和余弦定理8.8. 在在ABCAB

33、C中中, ,ABAB=2,=2,ACAC= ,= ,BCBC=1+ =1+ ，ADAD為邊為邊 BCBC上的高，則上的高，則ADAD的長(zhǎng)是的長(zhǎng)是 . . 解析解析63.22sin,222cos222CabcbaC. 3.21sin21ADADaCabSABC3正弦定量和余弦定理9.9.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所對(duì)的邊分別為所對(duì)的邊分別為a a，b b， c c，若其面積，若其面積 （b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2），則），則A A= = . . 解析解析 41S)cos2(41)(41222AbcacbS.4,. 1tan,cossin,sin21,

34、cos21AABCAAAAAbcSAbcABC的內(nèi)角為又即又4正弦定量和余弦定理三、解答題三、解答題10.10.在在ABCABC中，若中，若 試判斷試判斷 ABCABC的形狀的形狀. . 解解 方法一方法一 利用正弦定理邊化角利用正弦定理邊化角. . 即即sin sin C Ccos cos C C=sin =sin B Bcos cos B B, ,即即sin 2sin 2C C=sin 2=sin 2B B. . 因?yàn)橐驗(yàn)锽 B、C C均為均為ABCABC的內(nèi)角，的內(nèi)角， 所以所以2 2C C=2=2B B或或2 2C C+2+2B B=180=180, ,BcCbcoscos,coscoscoscoscos2cos22cos12cos12222BcCbBCBCBC由已知.coscoscbBC所以,sinsincoscos,sinsin,22CBBCCBcb所以得由正弦定理,2cos12cos1BC正弦定量和余弦定理所以所以B B= =C C或或B B+ +C C=90=90，所以所以ABCABC為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形. .方法二方法二 由余弦定理，得由余弦定理，得即即( (a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2) )c c2 2= =b b2 2( (a a2 2+ +c c2 2- -b b2