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文檔簡介

1、.復變函數(shù)與積分變換期末練習一.解析函數(shù)例1 指出下列函數(shù)的解析區(qū)域，并求導數(shù)：（1） （2）例2 設在區(qū)域D內(nèi)解析，且滿足下列條件之一，試證在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù). (1) 在區(qū)域D內(nèi)解析; (2) 在區(qū)域D內(nèi)為常數(shù).例3 設的解析函數(shù)，且有：，求函數(shù).例4 已知均為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，a,b為任意常數(shù)，試證：亦為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù).例5 計算下列各值： (1) ; (2) ; (3) .例6 解下列方程： (1) 1+=0 (2) =0二. 復變函數(shù)的積分例7設在單連通域內(nèi)解析，且滿足（），試證：（1）在內(nèi)處處有.（2）對內(nèi)任一周線，有.例8 計算積分其中C為不經(jīng)過0及1點的簡單閉曲線.例9設在

2、區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任意一條正向簡單閉曲線，它的內(nèi)部全部含于D，試證：對于在D內(nèi)但不在C上的任意一點，有： 例10設函數(shù)在 內(nèi)解析，且 試計算積分 ， 并由此得出積分 的值.三. 解析函數(shù)的級數(shù)表示 例11 單項選擇題：(1) 下列級數(shù)中，條件收斂的是（ ）.(A) (B) (C) (D) (2) 下列級數(shù)中，絕對收斂的是（ ）.(A) (B) (C) (D) (3) 若冪級數(shù)在z=1+2i處收斂，那末該級數(shù)在z=2處的斂散性為（ ）.(A) 絕對收斂 (B) 條件收斂(C) 發(fā)散 (D) 不確定(4) 設在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展式為，為內(nèi)繞 的任意一條簡單閉曲線，那么（ ）.（A） （B） （C） （D）例12 設級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，證明冪級數(shù)的收斂半徑為1.例13 設函數(shù)在圓域內(nèi)解析，試證(1) (2) 例14 求冪級數(shù)的和函數(shù)，并計算的值.例15 將在點z=0,z=1展成洛朗級數(shù).四. 留數(shù)及其應用例16 判斷下列函數(shù)的孤立奇點的類型：(1) (2) (3) 例17（1）設z=a是函數(shù)的m階零點，求：； （2）設z=a是函數(shù)的n階極點，求：.例18 若m,n為自然數(shù)，且試求函數(shù)的留數(shù).例19 求在有限奇點處的留數(shù). 例20 設a為的孤立奇點，試證：若是奇函

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