高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題

1、高等數(shù)學(xué)第一章函數(shù)與極限試題.選擇題1 .設(shè)F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)，"M N"表示" M的充分必f(x)是奇函數(shù).f(x)是偶函數(shù).f(x)是周期函數(shù).f(x)是單調(diào)函數(shù)要條件是N ”則必有(A) F(x)是偶函數(shù)(B) F(x)是奇函數(shù)(C) F(x)是周期函數(shù)(D) F(x)是單調(diào)函數(shù)2 .設(shè)函數(shù)f(x)飛八，則e7"1(A) x=0,x=1都是f(x)的第一類間斷點(diǎn).(B) x=0,x=1都是f(x)的第二類間斷點(diǎn)(C) x=0是f(x)的第一類間斷點(diǎn)，x=1是f(x)的第二類間斷點(diǎn)(D) x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn))x=1是f

2、(x)的第一類間斷點(diǎn)3 .設(shè) f (x)= x , x 工 0,1,則 f f( x)=()4 F列各式正確的是()Alim (1 +)x 0xBlim(1 + 1) =e)x 0xlim (1x1 _-e D)=時(shí)十寸)=exx5.已知A.1lim(x a)xxx aB.9,則aIn 3;)0D. 21n3 o6.x 1、lim() x x 1A.1B.D. e27.lim x332Xx3=()A.1B.C.0D.2 .lim0x1=(A.0B.9.xlim (.x 2X x)=(1 -一 72)D.2 .A.0B.C.2 ;D. 1 .210lim tanx3 x 0 sin3sin x

3、, 2xA.0 7B.C 1 -16 7D.16 .填空題11 .極限2x lim xsin2 x 1arcta12.13.nxxf(x)在點(diǎn)X。連續(xù),則 limf(x) f (x )= x x14.15.sin5x limX x x2lim(1 -)n n16.若函數(shù)yX21x2 3x 2則它的間斷點(diǎn)是x, x0, xx, x17.絕對(duì)值函數(shù)f (x) x其定義域是1, x 0；18 .符號(hào)函數(shù)f(x) sgnx 0, x 0;其定義域是1,x 0.,值域是三個(gè)點(diǎn)的集合x 119 .無窮小量是20.函數(shù)y f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)，要求函數(shù)y f (x)滿足的三個(gè)條件三.計(jì)算題21 .求 lim

4、 (，二，). x 0 1 e x22 .設(shè) f(e x 1)=3x-2,求 f(x)(其中 x>0);23.求 lim(3x 5x)24 .求 1im(xx；26.27.28.25 .求limi.2 sin x tan2x( x2已知lim(八-a)xx x a計(jì)算極限lim (1n3x)2n求a的值；1g 5 2x求它的定義域。判斷下列函數(shù)是否為同一函數(shù)29.(4)f(x)=f (x)f(x)ax2 2sin x + cos xx21g(x)g(x)g(x)g(x)=at30.已知函數(shù)f(x) = x2-1求 f(x+1)、f(f(x)、f(f(3)+2)3n2 5n 1lim 23

5、1. n 6n24n732.limlimn33.34.limn2n32n3判斷下列函數(shù)在指定點(diǎn)的是否存在sinx,x35.極限x, x3 y x 1,x 2 x,x 2lim 1x 336. x 3x 3C-7 x237. 3 x 9.1 x 138. x 0 x求當(dāng)XTX時(shí)，下列函數(shù)的極限y 2x33 x2 139. x x 1求當(dāng)XT*時(shí)，下列函數(shù)的極限y 2x2 x 141.40. x3 x 1sin3x lim41.X 0 x1 cosx lim2xn 31n1x 042.2nlim43. n44.lim 145.46.0, x 047.kx x-1研究函數(shù)在指JE點(diǎn)的連續(xù)性48.si

6、n xf(x), x 0= 01,x 0指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)49.指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)。50.f(x)1二51.52.53.54.55.56.f(x),x=00, x 0指出下列函數(shù)在指定點(diǎn)是否間斷，如果間斷，指出是哪類間斷點(diǎn)f( x) : ?00) x=0證明f(x) = x2是連續(xù)函數(shù)ln(1 x) lim x 0 xx2 1 limln xx 1 x 1試證方程2x3- 3x2 + 2x- 3= 0在區(qū)間1,2至少有一tan x sin xsi n3 2x試證正弦函數(shù) 57.函數(shù) f (x) = x = 58.59.

7、函數(shù) f (x) = x'y = sin x 在(-g, + g)內(nèi)連續(xù)。x, x °在點(diǎn)x = 0處是否連續(xù)？x, x 0.1 y Qn _J_ -y 門?'是否在點(diǎn)x 0連續(xù)？60.求極限xAap.入答案：?選擇題1. A 【分析】本題可直接推證，但最簡(jiǎn)便的方法還是通過反例用排除法找到答案方法一：任一原函數(shù)可表示為F(x) ； f(t)dt C, 且F (x)f(x).當(dāng)F(x)為偶函數(shù)時(shí) , 有F( x) F(x),于是F ( x) ( 1) F (x),即f( x)f(x),也即f( x) f(x),可見f(x)為奇函數(shù)；反過來，若f(x) XX為奇函數(shù)，則0

8、 f(t)dt 為偶函數(shù)，從而F(x) 0 f(t)dt C 為偶函數(shù)，可見(A)為正確選項(xiàng)？方法二：令 f(x)=1，則取 F(x)=x+1，排除(B)、(C);令 f(x)=x，則 取F(x)= 1 x2,排除(D);故應(yīng)選(A).【評(píng)注】函數(shù)f(x)與其原函數(shù)F(x)的奇偶性、周期性和單調(diào)性已多 次考查過？青讀者思考f(x)與其原函數(shù)F(x)的有界性之間有何關(guān)系？2. D 【分析】顯然 x=0,x=1 為間斷點(diǎn)，其分類主要考慮左右極限【詳解】由于函數(shù)f(x)在x=0,x=1點(diǎn)處無定義，因此是間斷點(diǎn).且lim f(x),所以x=0為第二類間斷點(diǎn);lim f (x) 0 ， lim f (x

9、)x 1x 1【評(píng)注】應(yīng)特別注意:limxlim x.從而lim ex 11 ，所以 x=1 為第一類間斷點(diǎn)，故應(yīng)選(D).xlim ex 10.x21.（有理化法）2XTR時(shí)，分母極限為令，不能直接用商的極限法則。先恒等變形，將函數(shù)“有理化”原式="心、XIT 1尸10tan x(1 cosx) x原式x?m)麗廠16. x 1,2注等價(jià)無窮小替換僅適用于求乘積或商的極限不能在代數(shù)和的情形中使用。如上例中若對(duì)分子的每項(xiàng)作等價(jià)替換，則錯(cuò)誤!原式 x>m)(2#.填空題11. _2_12. _d_13. 014. .515. .17.(x 022.24.25.26.27.28.無

10、窮小量再用羅必塔法則2xx 1 e2x)0,)18 . ( , ) 1,0,119 .在某一極限過程中，以 0為極限的變量，稱為該極限過程中的20 . 函數(shù) y f (x) 在點(diǎn) x0 有定義；J 叭 f (x)x Tx0時(shí)極限0存在；lim f(x) f(x )極限值與函數(shù)值相等，即 x x0 3'三？十算題21 .【分析】II"型未定式，一般先通分，x21 e【詳解】 卿刖x) xm°- x(1 ex 1 e_1 2x e % _2 e x=lim= limx 02 2xf (x)=3lnx+1 x > 0 23.e216ln3;3解：由x + 2>

11、0解得x>-2由x1八0解得xMl由 52 x>0 解得 xV2.5函數(shù)的定義域?yàn)?x | 2.5 >x > -2 且 xM 1或表示為(2.5,1 ) u( 1,-2 )29 .、是同一函數(shù)，因?yàn)槎x域和對(duì)應(yīng)法則都相同，表示變量的字母可以不同。不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈兊亩x域不相同不是同一函數(shù)，因?yàn)樗鼈儗?duì)應(yīng)的函數(shù)值不相同，即對(duì)應(yīng)法則不同42x-2x30 .解：f(x+1) = (x+1) 2-1 = x2+2x,f(f(x)= f(x -1) = (x -1) -131 .解:2f(f(3)+2)= f(3 -1+2)3n 5n 1 26 n 4 nnlimlimn15

12、 lim -lim n=f(10)=99limn23n 5 n 12 n26n 4n 72nlimn5 3n46 n12 n72 nlim 6n4 limn7 limn32解:nlimlimnn(n 1)22nlimn2 n2n233 .解:limn、？、n) limnn)(、 n 11 Jn、lim -n nlimnlimn.n 1 lim -nnlim 1n34 .解：pm12n 3nlimnlim (2) lim (2)n3lim 1nlim 1n35 .解:因?yàn)閘im yx 22, lim yx 2,xin2 ylim yx 2所以函數(shù)在指定點(diǎn)的極限不存在因?yàn)?lim y sin0 0

13、, lim yx 0x 00, lim yx 0lim yx 03637383940.41.42.43.44.所以函數(shù)在指定點(diǎn)的極限liqy 0x 0m/ XH 3m 3XH 3m 2Xlimx3 m92x2 x 1x3 x 12lim -/、1 X V/J X Hom XX"x(、1 XX(V1lim -12 xxHmX3-11123xx112 x 3 xHomlimxx x1limlim 2xxx x sin3x sin3xximxxim3x22si n2仝 x sin lim 2 xlimco/limxx 02 xlim(1 -)ne nne1 31limnlim (1)lim

14、 1kx45.limlim 1ekkxkxlimx2x 2, f(x )=x。2x X01In lim(1 x)' Ine 146 . lim xk47 .* 叫 i kx kx e48 .解 lim f (x) lim sin x 1x Xox0而 f(X)f (0)1嗯 f (x) f (0)函數(shù)在X0處連續(xù)。49 .間斷，函數(shù)在x= 1處無定義且左右極限不存在，第二類間斷點(diǎn)50 .間斷，函數(shù)在x = 0處左右極限不存在，第二類間斷點(diǎn)51 .間斷，limf(x) 0但f(0) = 1,兩者不相等，第一類間斷點(diǎn) x 052 .證明：x? ( x , +x)因?yàn)?lim f (x) l

15、im x 2 (lim x) x x0x X0n/(A1mo01 x 1 l n x 201 H lnx54 .解：所以 linx f (x) f(x ) x X0因此，函數(shù)f(x) = x2是連續(xù)函數(shù)。55 .證明：設(shè) f(x) = 2x3 3x2+ 2x 3,則 f(x)在1,2上連續(xù),f(1) = 2<0, f(2) = 5>0根據(jù)零點(diǎn)定理，必存在一點(diǎn)(1,2)使f( E ) = 0,則x =三就是方程的根。56.X 0(2x)3x lx2 原式 limotanx(1 CoSx) li 叫 Zx 0 8x357.證x (- g, + g),任給x 一個(gè)增量公x,對(duì)應(yīng)的有函數(shù)y

16、的增量 y = sin( x+Ax)- sin x = 2sin 孑 cos(x 丁)？T 0 y 2 sin專2中x,由夾逼準(zhǔn)則知， y T 0 ( XT0),再由x的任意性知正 弦函數(shù)y = sin x在其定義域(-g , +g)上處處連續(xù)，即它是連續(xù)函數(shù)。58.解 注意f (x)是分段函數(shù)，且點(diǎn) x 0兩側(cè)f表達(dá)式不一致解法 1 ?/f (0 - 0) = lim ( x) 0 ,X 0IX o又 f(0) = 0 ,im X 0H X,mo o f函數(shù)f (x) = x在點(diǎn)x = 0處連續(xù)(圖1 19)解法2?/ lim f (x) lim ( x) 0 f (0),二 函數(shù)在點(diǎn)x 0左連續(xù);x 0x 0又?？ xli