高教版中職數(shù)學(xué)《正弦定理與余弦定理》

1、2021/8/211.3正弦定理與余弦定理第第1 1章章三角計算及其應(yīng)用三角計算及其應(yīng)用2021/8/22創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入興趣導(dǎo)入CBAcabsinsinabABcc，我們知道，在直角三角形ABC(如圖)中，即 sinsinabccAB，90C sin1C 由于,所以，于是 sinccC 所以 sinsinsinabcABC2021/8/23動腦思考動腦思考 探索新知探索新知ABCyabcxj當(dāng)三角形為鈍角三角形時，不妨設(shè)角A為鈍角，如圖所示，以A為原點，以射線AB的方向為x軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，則BCBAAC ，兩邊取與單位向量j的數(shù)量積，得BCBA BCBABC （）=+jj

2、jj由于 9090BCBBAACA ， jj j設(shè)與角A，B，C相對應(yīng)的邊長分別為a，b，c，故 cos(90)0cos(90 )aBbA ，sinsinaBbA，即 所以 sinsinabAB即 sinsinsinabcABC2021/8/24動腦思考動腦思考 探索新知探索新知當(dāng)三角形為銳角三角形時，同樣可以得到這個結(jié)論.于是得到正弦定理正弦定理： 在三角形中，各邊與它所對的角的正弦之比相等在三角形中，各邊與它所對的角的正弦之比相等. 即 sinsinsinabcABC利用正弦定理可以求解下列問題： （1）已知三角形的兩個角和任意一邊，求其他兩邊和一角. （2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對

3、角，求其他兩角和一邊. 2021/8/25鞏固知識鞏固知識 典型例題典型例題ABC301356BCc，例例1 已知在中， ，求b解解 由于 sinsinbcBC，所以 16sin6sin3023 2sinsin13522cBbC2021/8/26鞏固知識鞏固知識 典型例題典型例題ABC3015 230Aab，例例2 已知在中， ，求B解解 由于 sinsinabAB，所以 130sin30sin3022sin215 215 2bABabaBA30180B 由，知，故，所以45B135B或 2021/8/27鞏固知識鞏固知識 典型例題典型例題ABC453015 2Aab，例例3 已知在中， ，求

4、B解解 sin15 2sin451sin302bABabaBA30180B 由，知，故，所以45B135B或 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，利用正弦定理求另一邊的對角時，要討論這個角的取值范圍，避免發(fā)生錯誤. 2021/8/28運(yùn)用知識運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí)強(qiáng)化練習(xí)105 ,6Ca.35B .ABC4530AB，31已知中，b=，求C和a. ABC60A 12已知中，a =12，b=8，求B（精確到） 2021/8/29動腦思考動腦思考 探索新知探索新知BAC如圖所示，在ABC中，BCACAB ，所以 )BCBCACABACAB （） （222ACABACAB 222cosACABAC ABA

5、 222cosbcbcA2222cosabcbcA即 同理可得2222cosbacacB 2222coscababC2021/8/210動腦思考動腦思考 探索新知探索新知余弦定理余弦定理： 三角形中任意一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與其三角形中任意一邊的平方等于其余兩邊的平方和減去這兩邊與其夾角余弦乘積的兩倍夾角余弦乘積的兩倍. 即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC(18) 90C 222cab顯然，當(dāng)時，有這就是說，勾股定理是余弦定理的特例 2021/8/211動腦思考動腦思考 探索新知探索新知公式（1.8）經(jīng)變形后可以寫成 222co

6、s2bcaAbc222cos2acbBac222cos2bcCaba（19） 利用余弦定理可以求解下列問題： (1) 已知三角形的兩條邊和它們的夾角，求第三邊和其他的兩個角 ；(2) 已知三角形的三邊，求三個角. 2021/8/212鞏固知識鞏固知識 典型例題典型例題ABC6083Abc，例例4 在中，求a 分析分析 這是已知三角形的兩條邊和它們的夾角，求第三邊的問題，可以直接應(yīng)用余弦定理 解解 2222cosabcbcA2283283cos60 49,7a 所以 2021/8/213鞏固知識鞏固知識 典型例題典型例題ABC例例5 在中，a=6，b=7，c=10，求ABC中的最大角1）. 和最

7、小角（精確到分析分析 三角形中大邊對大角，小邊對小角 解解 由于abc，所以C最大，A最小，由公式（1.9），有 2222226710cos22670.1786bcCaba ，所以 100 ,C 2222227106cos227 100.8071bcaAbc，所以 36A 2021/8/214運(yùn)用知識運(yùn)用知識 強(qiáng)化練習(xí)強(qiáng)化練習(xí)7b .35B .15031在ABC中，B=，a=3，c=2，求b. 2. 在ABC中，三邊之比:3:5:7a b c ，求三角形最大內(nèi)角. 2021/8/215理論升華理論升華 整體建構(gòu)整體建構(gòu)2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC余弦定理：；正弦定理、余弦定理的內(nèi)容：正弦定理、余弦定理的內(nèi)容： sinsinsinabcABC正弦定理：；2021/8/216自我反思自我反思 目標(biāo)檢測目標(biāo)檢測學(xué)習(xí)行為學(xué)習(xí)行為 學(xué)習(xí)效果學(xué)習(xí)效果 學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法 2021/8/217自我反思自我反思 目標(biāo)檢測目標(biāo)檢測90B .在ABC中，a=20，b=29，c=21，求角B 20