布萊克斯克爾斯期權(quán)定價模型

1、w 在國際衍生金融市場的形成發(fā)展過程中，期權(quán)的合理定價是困擾投資者的一大難題。隨著計算機、先進通訊技術(shù)的應(yīng)用，復(fù)雜期權(quán)定價公式的運用成為可能。在過去的年中，投資者通過運用布萊克斯克爾斯期權(quán)定價模型，將這一抽象的數(shù)字公式轉(zhuǎn)變成了大量的財富。w下面著重分析了布萊克斯克爾斯期權(quán)公式的推導(dǎo)并就其應(yīng)用與發(fā)展作了進一步的介紹。認為該 模型的思想方法能為今后我國期權(quán)市場的公正合理運作提供某些借鑒。w 1997年10月10日，第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎授予了兩位美國學(xué)者,哈佛商學(xué)院教授羅伯特默頓()和斯坦福大學(xué)教授邁倫斯克爾斯()。他們創(chuàng)立和發(fā)展的布萊克斯克爾斯期權(quán)定價模型(-)w 為包括股票、債券、貨幣、商品

2、在內(nèi)的新興衍生金融市場的各種以市價價格變動定價的衍生金融工具的合理定價奠定了基礎(chǔ)。w 斯克爾斯與他的同事、已故數(shù)學(xué)家費雪布萊克()在70年代初合作研究出了一個期權(quán)定價的復(fù)雜公式。 w 與此同時,默頓也發(fā)現(xiàn)了同樣的公式及許多其它有關(guān)期權(quán)的有用結(jié)論。結(jié)果,兩篇論文幾乎同時在不同刊物上發(fā)表。所以,布萊克斯克爾斯定價模型亦可稱為布萊克斯克爾斯默頓定價模型。默頓擴展了原模型的內(nèi)涵,使之同樣運用于許多其它形式的金融交易。w 瑞士皇家科學(xué)協(xié)會()贊譽他們在期權(quán)定價方面的研究成果是今后25年經(jīng)濟科學(xué)中的最杰出貢獻。一、布萊克斯克爾斯定價模型(以下簡稱-模型)及其假設(shè)條件w (一)-模型有5個重要的假設(shè) 1金融

3、資產(chǎn)收益率服從對數(shù)正態(tài)分布; 2在期權(quán)有效期內(nèi),無風險利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的; w 3市場無摩擦,即不存在稅收和交易成本; 4金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得(該假設(shè)后被放棄); 5該期權(quán)是歐式期權(quán),即在期權(quán)到期前不可實施。 w (二)榮獲諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎的-定價公式 =(1)-(2) 其中: 1=1+(+22) 2=1-w 期權(quán)初始合理價格 期權(quán)交割價格 所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價 期權(quán)有效期 連續(xù)復(fù)利計無風險利率 2年度化方差 w ()正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，在此應(yīng)當說明兩點： 第一,該模型中無風險利率必須是連續(xù)復(fù)利形式。一個簡單的或不連續(xù)的無風險利率(設(shè)為0)一般是一年復(fù)利一

4、次,而要求利率連續(xù)復(fù)利。w 0必須轉(zhuǎn)化為方能代入上式計算。兩者換算關(guān)系為:=(1+0)或0=-1。例如0=0.06,則=(1+0.06)=0853,即100以583%的連續(xù)復(fù)利投資第二年將獲106,該結(jié)果與直接用0=0.06計算的答案一致。 w第二,期權(quán)有效期的相對數(shù)表示,即期權(quán)有效天數(shù)與一年365天的比值。如果期權(quán)有效期為100天,則=100365=0.274。 二、-定價模型的推導(dǎo)與運用w (一)-模型的推導(dǎo)-模型的推導(dǎo)是由看漲期權(quán)入手的,對于一項看漲期權(quán),其到期的期值是:=(-,) 其中,看漲期權(quán)到期期望值 w 到期所交易金融資產(chǎn)的市場價值 期權(quán)交割(實施)價 到期有兩種可能情況: 1、

5、如果,則期權(quán)實施以進帳(-)生效,且(-,)=- w 2、如果)+(1-)=(|-) w 其中:()的概率|既定()下的期望值將按有效期無風險連續(xù)復(fù)利貼現(xiàn),得期權(quán)初始合理價格: =-(|-)(*)這樣期權(quán)定價轉(zhuǎn)化為確定和|。w 首先,對收益進行定義。與利率一致,收益為金融資產(chǎn)期權(quán)交割日市場價格()與現(xiàn)價()比值的對數(shù)值,即收益=1。由假設(shè)1收益服從對數(shù)正態(tài)分布,即1(,2),所以1(=,(,2)可以證明,相對價格期望值大于,為:=+22=+22=從而,=(-22),且有=。w 其次,求()的概率,也即求收益大于()的概率。已知正態(tài)分布有性質(zhì):06=1-(-)其中:正態(tài)分布隨機變量關(guān)鍵值的期望值

6、的標準差所以:=061=0611=1-1-(-22)4w 由對稱性:1-()=(-)=1+(-22)S第三,求既定下的期望值。因為|處于正態(tài)分布的到范圍,所以, w |=(1)(2)w 其中:1=+(+22)2=+(-22)=1- 最后,將、|代入(*)式整理得-定價模型:=(1)-(2) w (二)-模型應(yīng)用實例 假設(shè)市場上某股票現(xiàn)價為164,無風險連續(xù)復(fù)利利率是0.0521,市場方差2為0.0841,那么實施價格是165,有效期為0.0959的期權(quán)初始合理價格計算步驟如下: w 求1:1=(1164165+(0.052)+0.08412)0.09590.290.0959=0.0328 求2

7、:2=0.0328-0.290.0959=-0.570 查標準正態(tài)分布函數(shù)表,得:(0.03)=0.5120(-0.06)=0.4761 求:=1640.5120-165-0.05210.09590.4761=5.803 w因此理論上該期權(quán)的合理價格是5.803。如果該期權(quán)市場實際價格是5.75,那么這意味著該期權(quán)有所低估。在沒有交易成本的條件下,購買該看漲期權(quán)有利可圖。w (三)看跌期權(quán)定價公式的推導(dǎo) -模型是看漲期權(quán)的定價公式,根據(jù)售出購進平價理論(-)可以推導(dǎo)出有效期權(quán)的定價模型由售出購進平價理論,購買某股票和該股票看跌期權(quán)的組w 合與購買該股票同等條件下的看漲期權(quán)和以期權(quán)交割價為面值的

8、無風險折扣發(fā)行債券具有同等價值,以公式表示為:+(,)=(,)+(1+)-移項得:(,)=(,)+(1+)-,將-模型代入整理得:=-1-(2)-1-(1)此即為看跌期權(quán)初始價格定價模型。 三、-模型的發(fā)展、股票分紅w -模型只解決了不分紅股票的期權(quán)定價問題,默頓發(fā)展了-模型,使其亦運用于支付紅利的股票期權(quán)。 (一)存在已知的不連續(xù)紅利假設(shè)某股票在期權(quán)有效期內(nèi)某時間(即除息日)支付已知紅利w ,只需將該紅利現(xiàn)值從股票現(xiàn)價中除去,將調(diào)整后的股票價值代入-模型中即可:=-。如果在有效期內(nèi)存在其它所得,依該法一一減去。從而將-模型變型得新公式:=(-(1)-(2) w (二)存在連續(xù)紅利支付是指某股

9、票以一已知分紅率(設(shè)為)支付不間斷連續(xù)紅利,假如某公司股票年分紅率為0.04,該股票現(xiàn)值為164,從而該年可望得紅利164004=6.56。值得注意的是,該紅利并非分4季支付每季164;事實上,它是隨美元的極小單位連續(xù)不斷的再投資而自然增長的,一年累積成為6.56。w 因為股價在全年是不斷波動的,實際紅利也是變化的,但分紅率是固定的。因此,該模型并不要求紅利已知或固定,它只要求紅利按股票價格的支付比例固定。在此紅利現(xiàn)值為:(1-),所以=-,以代,得存在連續(xù)紅利支付的期權(quán)定價公式:=-(1)-(2) 四、-模型的影響 w 自-模型1973年首次在政治經(jīng)濟雜志()發(fā)表之后,芝加哥期權(quán)交易商們馬上

10、意識到它的重要性,很快將-模型程序化輸入計算機應(yīng)用于剛剛營業(yè)的芝加哥期權(quán)交易所。w 該公式的應(yīng)用隨著計算機、通訊技術(shù)的進步而擴展。到今天,該模型以及它的一些變形已被期權(quán)交易商、投資銀行、金融管理者、保險人等廣泛使用。衍生工具的擴展使國際金融市場更富有效率,但也促使全球市場更加易變。w 新的技術(shù)和新的金融工具的創(chuàng)造加強了市場與市場參與者的相互依賴,不僅限于一國之內(nèi)還涉及他國甚至多國。結(jié)果是一個市場或一個國家的波動或金融危機極有可能迅速的傳導(dǎo)到其它國家乃至整個世界經(jīng)濟之中。w 我國金融體制不健全、資本市場不完善,但是隨著改革的深入和向國際化靠攏,資本市場將不斷發(fā)展,匯兌制度日漸完善,企業(yè)也將擁有更多的自主權(quán)從而面臨更大的風險。