上坡下坡行程問題

1、問題 從甲地到乙地，先是上坡路，然后就是下坡路，一輛汽車上坡速度為每小時(shí)20千米，下坡 速度為每小時(shí)35千米。車從甲地到乙地共用9小時(shí)，從乙地返回到甲地共用7.5小時(shí)。求去時(shí) 上坡路和下坡路分別為多少千米？先畫出如右圖形：圖中A表示甲地，C表示乙地。從A到B是上坡路，從B到C是下坡路; 反過來，從C到B就是上坡路，從B到A是下坡路。由于從甲地到乙地用9小時(shí)，反過來從乙地到甲地用7.5小時(shí)，這說明從A到B的距離大于 從B到C的距離。本題的難點(diǎn)在于上下坡不僅速度不同，而且距離不同，因此自然的思路是設(shè)法 把上下坡的距離變不同為相同。在從A到B的路程中取一個(gè)點(diǎn)D,使得從D到B的距離等于從B到C的距離，

2、這樣A到D 的距離就是AB距離比BC距離多出來的部分。下面我們分析為什么去時(shí)比回來時(shí)間會(huì)多用了： 9-7.5= 1.5 （時(shí)）從圖中容易看出就是因?yàn)槿r(shí)從A到D是上坡，而回來時(shí)從D到A變成了下坡，其它路途 所用的總時(shí)間是一樣的?，F(xiàn)在的問題是AD這段略程中速度由每小時(shí)20千米改為35千米，則時(shí)間少用1.5小時(shí)，由 此可以求出什么？如果設(shè)速度為每小時(shí)20千米所用時(shí)間為單位“1”,那么速度為每小時(shí)35千米所用時(shí)間為：42尸35 二,4因此速度為每小時(shí)20千米時(shí)所用時(shí)間為：1.5- （1-y） =3.5（時(shí)） 速度為每小時(shí)35千米時(shí)所用時(shí)間就是；3.5火T = 2（時(shí)）由此就可以求出AD之間的距離為：

3、20X3.5=70 （千米）或35X2 = 70 （千米）還可以求出從D到C和從C到D所用時(shí)間均為：9一3.5 = 5.5 （時(shí)）或 7.52 = 5.5 （時(shí)）至此我們巳經(jīng)完成了將上下坡的距離變?yōu)橄嗤哪康牧?。如果設(shè)從D到B上坡所用時(shí)間為勺，那么從B到C下坡所用時(shí)間就是所以從D到方上坡所用時(shí)間為：所以去時(shí)上坡的總路程就是：70+20x3.5=140 （千米）下坡總路程是：35X2=70 （千米）上面所用方法實(shí)質(zhì)上是通過“截長(zhǎng)變短”把上下坡的距離“變不同為相同”，而實(shí)現(xiàn)這一目 的還可以通過“補(bǔ)”的方法。將返回的路程補(bǔ)在去時(shí)路程的后面，畫出右圖：這時(shí)全程去與回所用的時(shí)間都是：9 + 7.5=16

4、.5 （時(shí)）而且全程的上坡路程和下坡路程相等，都等于原來上下坡距離之和。設(shè)此時(shí)上坡所用時(shí)間為“1”，那么下坡所用時(shí)間就是?，所以上坡所用時(shí)間為：所以原來上下坡距離之和就是：20X 10.5=210 （千米）或 35x6 = 210 （千米）下面采用解決“雞兔同蘢”問題的方法，假設(shè)原來從A到C速度不變，都是每小時(shí)35千米, 這樣9小時(shí)所行路程應(yīng)垓?yàn)椋?5X9=180 （千米）比實(shí)際距離少行了：210-180 = 30 （千米）就是因?yàn)閺腂到C的下坡速度每小時(shí)20千米變成了 35千米，因此從B到C的時(shí)間為：30+ （35-20） =2 （時(shí)）從A到B上坡的時(shí)間為：9-2=7 （時(shí)）由此上下坡的距離

5、就不難求出了 o這個(gè)解法的思路是通過“補(bǔ)”，不僅使得上下坡距離相等，而且使得往返所用的時(shí)間相等。解決本題的兩個(gè)方法說明，在“變不同為相同”這個(gè)基本思想的指導(dǎo)下，手段可以是多種多 樣的。下面再看一道類似的問題。問題 如右圖，從A到B是下坡路，從B到C是平路，從C到D是上坡路。小和小王步行速度 分別都是：上坡每小時(shí)4千米，平路每小時(shí)5千米，下坡每小時(shí)6千米。二人分別從A、D兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，經(jīng)過1小時(shí)在E點(diǎn)相遇，已知EC距離是B。距離的J當(dāng)小王到達(dá)A后9分鐘，小到達(dá)D。求從A到D的全程距離。首先發(fā)現(xiàn)二人平略上行走的距離相同，小比小王多用9分鐘的原因就是CD距離大于AB距 離。我們仿照上題思路，在CD上取一點(diǎn)F,使得CF距離等于AB距離，并畫出如右圖形：設(shè) 從D到F下坡所用時(shí)間為“1”,則從F到D上坡所用時(shí)間為：26 + 4=-所以從D到F下坡所用時(shí)間為:39+ （1-1） =18（分）從F到D上坡所用時(shí)間為：318X- = 27 （分）乙這段距離就是；189 上山6X而=§（千狗279或4乂荷廠小千米）OU J3由于二人在E點(diǎn)相遇，不難發(fā)現(xiàn)小張走平路的所用時(shí)間等于小王從D到F所用時(shí)間18分鐘，因此可以求出平路的距離為：5喘-H汗米)現(xiàn)在又可以求出小張從B到E所用時(shí)間為:542萬 + 5 乂 - = y(B