2020屆河北省衡水中學高三第一次聯(lián)合考試數(shù)學(文)試題(解析版)

1、2020屆河北省衡水中學高三第一次聯(lián)合考試數(shù)學(文)試題一、單選題。1 .已知集合A x N x 6 , B y y 2x,x A ,則AI B中元素的個數(shù)是( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】用列舉法依次表示出集合 A, B ,再求出交集，再判斷元素個數(shù).【詳解】解：A x N x 6 ,A 0,1,2,3,4,5 ,又 B y y 2x,x A ,B 1,2,4,8,16,32 ,AI B 1,2,4 ,有 3個元素，故選：C.【點睛】本題主要考查用列舉法表示集合，考查集合的交集運算，屬于基礎題.2 .已知復數(shù)z滿足z (1+i) =1+3i,其中i是虛數(shù)單位，設2是z

2、的共軻復數(shù)，則Z的虛部是()A. iB. 1C. - iD. - 1【答案】D【解析】先根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出z,再根據(jù)共軻復數(shù)的定義寫出 z,從而得出z的虛部.【詳解】解： z 1 i 1 3i ,1 3i 1 3i 1 i 4 2i z 2 i ,1 i 1 i 1 i 2z 2 i，貝U z的虛部為 1,第1頁共20頁故選： D 【點睛】 本題主要考查復數(shù)代數(shù)形式的除法運算， 考查共軛復數(shù)的定義及復數(shù)的虛部， 屬于易錯題3.等差數(shù)列an中，Sn為an的前n項和，若a2, a4是關于x的一元二次方程 x2- 4x+2=0的兩個根，則S5=()A 5B 10C 12D 15【答案】B

3、【解析】由韋達定理得a2 a44 ，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出結論【詳解】解：a2, a4是關于x的一元二次方程 x2 4X 2 0的兩個根，由韋達定理得a2 a4 4 ，由等差數(shù)列的性質(zhì)得，a1a5 a2a42a34，S5 4 4 2 10 ， 故選： B 【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與前n 項和的計算，屬于基礎題4,若f (x) =ex+aex是定義在R上的奇函數(shù)，則曲線 y=f (x)在點(0, f (0)處的切線方程是( )C.y= - 2xD.y=2xA . y= - xB. y= x【答案】 D【解析】由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)得f (0) 0,求出函數(shù)f(x)的解

4、析式，再求出 f '(x) ，從而可求出切線方程【詳解】解：二函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),f(0) 1 a 0，得 a 1 ，f(x) ex e xf '(x) ex第 2 頁 共 20 頁f(0) 0, f'(0) 2,曲線y f （x）在點0, f （0）處的切線方程為 y 2x ,故選：D.【點睛】本題主要考查奇函數(shù)的定義及性質(zhì)，考查利用函數(shù)的導數(shù)求曲線在某點處的切線方程， 屬于基礎題.5.已知。的半徑為1, A, B為圓上兩點，且劣弧 AB的長為1,則弦AB與劣弧AB 所圍成圖形的面積為（）A. - -sinl B. - -cosl C. - -sin-

5、D. - - cos2 22 22 222 22【答案】A【解析】由題意先求出圓心角，再求出扇形的面積和 OAB的面積，從而得出結論.【詳解】解：設e O的半徑為r ,劣弧所對的圓心角為，弧長為l ,l 1由弧長公式lr得 -1,r 111c 11.弦AB與劣弧AB所圍成圖形的面積 S 11r -r2sin- -sin1 ,222 2故選：A.【點睛】本題主要考查扇形的弧長公式與面積公式，考查三角形的面積公式，屬于基礎題.6.某校為提高學生的身體素質(zhì)，實施每天一節(jié)體育課”，并定期對學生進行體能測驗在一次體能測驗中，某班甲、乙、丙三位同學的成績（單位：分）及班內(nèi)排名如表（假定成績均為整數(shù)） 現(xiàn)從

6、該班測驗成績?yōu)?94和95的同學中隨機抽取兩位，這兩位同學成績相同的概率是（）成績/分班內(nèi)排名甲959乙9411丙9314A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.6【答案】B【解析】由題意可得出成績?yōu)?95分的有2人，94分的有3人，本題是古典概型，求出事件包含的基本事件數(shù)以及基本事件的總數(shù)，從而求出答案.【詳解】解：由表格可知，該班成績?yōu)?5分的有2人，94分的有3人，從這5名同學中隨機抽取2名同學，2 5 4基本事件總數(shù)為C： 5- 10,2這兩位同學成績相同包含的基本事件數(shù)是C； C； 1 3 4, 42.這兩位同學成績相同的概率p - - 0.4,105故選：B.【點睛】本題主要

7、考查古典概型的概率計算，考查排列、組合問題，屬于基礎題. 227.已知雙曲線 C:、匕 1 a 0,b 0的左，右焦點分別為 Fi, F2,若以F1F2為 a b直徑的圓和曲線 C在第一象限交于點 P,且POF 2恰好為正三角形，則雙曲線C的離心率為（）A. 1-3B. 1 ,C. 1 V3D. 1 75【答案】C【解析】先設IF1F2I 2c,由題意知 FF2P是直角三角形，利用且POF2恰好為正三角形，求出|PE|、|PF21，根據(jù)雙曲線的定義求得 a, c之間的關系，則雙曲線的離心率可得.【詳解】解：連接PF1,設|咽| 2c,則由題意可得 PF1F2是直角三角形,由POF2恰好為正三角

8、形得，PF2F1 60 ,IPF2I C, |PFi | J4c2 c2 用c ,IPFil IPF2I 73c c 2a,故選：C.本題主要考查雙曲線的簡單性質(zhì).考查數(shù)形結合的思想的運用，屬于基礎題.8 .某校高一組織五個班的學生參加學農(nóng)活動， 每班從 農(nóng)耕”采摘“釀酒”野炊“飼養(yǎng)” 五項活動中選擇一項進行實踐，且各班的選擇互不相同.已知 1班不選 農(nóng)耕”采摘”;2班不選 農(nóng)耕"釀酒"；如果1班不選 釀酒"，那么4班不選 農(nóng)耕”；3班既不選 野炊”, 也不選 農(nóng)耕”；5班選擇 采摘”或 釀酒”則選擇 飼養(yǎng)”的班級是（）A. 2班B. 3班C. 4班D. 5班【答

9、案】B【解析】 本題的關鍵是找出1,2, 3, 5班都不選農(nóng)耕，則只有 4班選農(nóng)耕，再根據(jù)逆否命題的真假性，可得 1班選釀酒，所以5班只有選采摘，逐一選擇可得出結果.【詳解】解：由題意，1, 2, 3, 5班都不選農(nóng)耕，則只有 4班選農(nóng)耕，根據(jù)逆否命題，1班選釀酒，所以5班只有選采摘，只剩下野炊”和飼養(yǎng)”，因3班既不選野炊”，故選擇 飼養(yǎng)”的班級是3班.本題主要考查合情推理能力，以及逆否命題的真假性的判斷能力，屬于基礎題.9.下列關于函數(shù)f x2cos2x 辰in2x 1的說法，正確的是()A . x 一是函數(shù)f (x)的一個極值點3B. f (x)在區(qū)間0,上是增函數(shù)C.函數(shù)f (x)在區(qū)間

10、(0,兀)上有且只有一個零點 512D.函數(shù)f (x)的圖象可由函數(shù) y= 2sin2x的圖象向左平移 一個單位長度得到12【答案】D【解析】 先化簡函數(shù)解析式，然后再逐一判斷選項即可.【詳解】解：函數(shù) f(x) 2cos2x 點sin2x 1 cos2x V3sin 2x 2sin(2 x ),6.1當x 一時，2sin(2 x -),所以x 不是函數(shù)f(x)的一個極值點，所以 A不正 3623確；0, 3 上不是增函數(shù)，所以 B不當x 時，函數(shù)f(x)取得最大值，所以函數(shù)在區(qū)間6正確；k由 2sin(2x )0 得 2x k ,k Z,則 x ,kZ,所以在區(qū)間(0,)66212上有兩個零

11、點5-,力，所以C不正確；1212由函數(shù)y 2sin 2x的圖象向左平移 一個單位長度得到12y 2sin(2( x ) 2sin(2 x ),所以 D 正確. 126故選：D.【點睛】 本題主要考查三角函數(shù)的化簡以及三角函數(shù)的簡單性質(zhì)的應用，屬于基礎題.10 .瑞士數(shù)學家、物理學家歐拉發(fā)現(xiàn)任一凸多面體(即多面體內(nèi)任意兩點的連線都被完全包含在該多面體中，直觀上講是指沒有凹陷或孔洞的多面體)的頂點數(shù)V、棱數(shù)E及面數(shù)F滿足等式V-E+F = 2,這個等式稱為歐拉多面體公式，被認為是數(shù)學領域最漂亮、簡潔的公式之一，現(xiàn)實生活中存在很多奇妙的幾何體，現(xiàn)代足球的外觀即取自一 種不完全正多面體，它是由12塊

12、黑色正五邊形面料和 20塊白色正六邊形面料構成的.20世紀80年代，化學家們成功地以碳原子為頂點組成了該種結構，排列出全世界最小的一顆 足球”，稱為 巴克球（Buckyball） 則 巴克球”的頂點個數(shù)為（A . 180B. 120C. 60D. 30【答案】C【解析】 設巴克球頂點數(shù) V、棱數(shù)E及面數(shù)F ,計算出面數(shù)和棱數(shù)即可求出頂點數(shù).【詳解】解：依題意，設巴克球頂點數(shù) V、棱數(shù)E及面數(shù)F ,貝U F 20 12 32 ,每條棱被兩個面公用，故棱數(shù) E 5 12 6 20 90 ,2所以由V E F 2得：V 90 32 2 ,解得V 60 .故選：C.【點睛】本題為閱讀型題目，計算出棱數(shù)

13、是解決問題的關鍵，屬于基礎題.11 .已知正方體 ABCD - A1B1C1D1, E, F是線段AC1上的點，且 AE = EF = FC1，分 別過點E, F作與直線AC1垂直的平面 % 3,則正方體夾在平面 “與3之間的部分占 整個正方體體積的（）A. 1B, 1C. 2DT3234【答案】C【解析】構造平面ABD ,平面CBiDi,設正方體邊長為1,根據(jù)等體積法計算 A到平 面AiBD的距離h*,從而可得出E , F分別為aCi與平面ABD和平面CB1D1的交 點，計算中間幾何體的體積得出答案.【詳解】解：第9頁共20頁DIB構造平面A1BD ,平面CB1D1 ,則AC1平面 A1BD

14、, AC1平面 CB1D1,設正方體邊長為 1,則AB A1D BD口 AGV3AE EFFC 3FC1 ，3ii iVA ABDVC B-C1D-3 2 16，設A到平面ABD的距離為h ,則Va2gh1ABR一32第10頁共20頁E平面ABD ,同理可得f平面CB1D1,12正方體夾在平面與之間的部分體積為1 - 2 -63八 、一 2 體積之比是2 ,3故選：C.【點睛】本題考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力，屬于中檔題.2212.已知橢圓C： 匕 1的左、右焦點分別為 F1, F2,點P在橢圓上且異于長軸端16 12uuir uu

15、uuunn iuuu點.點M, N在PF1F2所圍區(qū)域之外，且始終滿足MP MF1 0, NP NF2 0,則|MN |的最大值為（）A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】A【解析】 設PF1，PF2的中點分別為C, D,則M , N在分另"C, D為圓心的圓上，直線CD與兩圓的交點（ PF1F2所圍區(qū)域之外）分別為 M , N時，|MN |的最大，可得|MN |的最大值為PF PF2CDa c即可.【詳解】Q MPgMF10 , NPgNF2解：設PF1，PF2的中點分別為C , D,0 ,則M , N在分另iJ以C , D為圓心的圓上,，直線CD與兩圓的交點（ PF1F2所

16、圍區(qū)域之外）分別為M , N時，|MN |最大,第20頁共20頁| MN |的最大值為PFiPF2本題考查了橢圓的性質(zhì)，考查了轉化思想,屬于中檔題.二、填空題13.已知非零向量a,b滿足|a| |b| ,則r , r ，一a與b的夾角為【答案】120V VVc V 2 V【解析】由題意，V2 b* 2 2v b 3b2,得2b cos；,b所以夾角是120。14.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為b ，所以 cos( a, b【答案】4.【解析】由四棱錐的三視圖得到該四棱錐是四棱錐P ABCD,其中，PO 底面ABCD, ABCD是正方形，邊長為3, PO 2,由此能求出該四

17、棱錐中最長棱的棱長.【詳解】解：由題意幾何體的直觀圖如圖,其中，PO 底面ABCD, ABCD是正方形，一， 一一1邊長為 3, PO 2, AO -AC , 2所以 PC 44 (272)2 4, PB PD 4222 12 3,所以最長的棱長為4,本題主要考查由三視圖還原幾何體的直觀圖,考查四棱錐中最長棱的求法，屬于基礎題.15 .已知在銳角三角形 ABC中，角A, B, C的對邊分別為 a, b, c,若a=4,且 a222a bcosB b c ,貝U b+c的取值氾圍為 . 2【答案】(4 2,)【解析】根據(jù)已知等式和余弦定理， 可推出cosB cosC ,即B C , b c,又知

18、a 4, 所以b c 4；因為三角形 ABC是銳角三角形，所以角 A為銳角，cos A (0,1)；由 a2 b2 c2 2bc cos A,設b c x,用cosA表示出x，并求出x的取值范圍，進 而得b c 2x的取值范圍.【詳解】解：Qa 4 ,且 2a(： bcosB) b2 c2, 2222,22a 2abcosB b c ,即 a b c 2ab cos B,又Q由余弦定理可得a2 b2 c2 2abcosC ,可得 2abcosB 2abcosC ,即 cosB cosC ,B C , b c,又 A為銳角，cosA (0,1),設b c x,由余弦定理知a2 b2 c2 2bc

19、cos A,2_ 2216 2x 2x cos A 2x g(1 cosA),81 cosA8,故答案為：(4衣 ).【點睛】本題主要考查余弦定理的靈活應用和函數(shù)思想，轉化思想，屬于中檔題.16 .已知曲線 y=|lnx|與直線y=m有兩個不同的交點 Pi (xi, yi), P2 (x2, y2)(xk x2),設直線li, l2分別是曲線y=|lnx|在點Pi, P2處的切線，且li, I2分別與y軸相交 于點A, B. 4P2AB為等邊三角形，則實數(shù) m的值為.【答案】In .3【解析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得xx2 i , 0 xi i x2,分別求得y Inx和y Inx的導數(shù)，可得切線

20、的斜率和切線的方程，以及 A, B的坐標，可得等邊三角形的邊長，可得x2,進而得到 m的值.【詳解】解：由曲線y 11nxi與直線y m有兩個不同的交點，可得-In x 二 In x2 ,即有xx2 i ,0 xi i x2 ,ii由yInx的導數(shù)為y ,可得切線l1的斜率為 一，切線的萬程為xxi，、1，、y ( In xi) (x xi),xi令 x 0得 y 1 Inx,即 A(0,1 Inxi),1，一一，1由y In x的導數(shù)為y ,可得切線I2的斜率為一 xi ,切線的萬程為 xx2y In x2 xi(x x2),令 x 0得 y Inx2 x1x21nxi 1,即 B(0, I

21、n x 1),則 |AB| 2,由 P2 AB為等邊三角形，可得x2 Y3g2 后，2則 m | In x2 | In 33 ,【點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切線方程，考查直線方程的運用，屬于中檔題.三、解答題17.端午節(jié)是中國傳統(tǒng)節(jié)日之一節(jié)日期間， 各大商場各種品牌的 粽子戰(zhàn)”便悄然打響.某 記者走訪市場發(fā)現(xiàn)， 各大商場粽子種類繁多， 價格不一根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析， 得到了某商 場不同種類的粽子銷售價格（單位：元 /千克）的頻數(shù)分布表，如表一所示.表價格/ （元/千克）10, 15)15, 20)20, 25)25, 30)30, 35)種類數(shù)4121662在調(diào)查中，記者還發(fā)現(xiàn)，各大品牌在餡料方

22、面還做足了功課，滿足了市民多樣化的需求除了蜜棗、豆沙等傳統(tǒng)餡料粽，很多品牌還推出了鮮肉、巧克力、海鮮等特色餡料粽在該商場內(nèi)，記者隨機對 100名顧客的年齡和粽子口味偏好進行了調(diào)查，結果如表二.表二：喜歡傳統(tǒng)餡料粽喜歡特色餡料粽總計40歲以下30154540歲及以上50555總計8020100（1）根據(jù)表一估計該商場粽子的平均銷售價（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；（2）根據(jù)表二信息能否有 95%的把握認為顧客的粽子口味偏好與年齡有關?參考公式和數(shù)據(jù)：K22n ad bcabcd acbd,（其中n a b c d為樣本容量）P (K20)0.0500.0100.001k03.8416.

23、63510.828【答案】(1)該商場粽子的平均銷售價為21.25元/千克(2)有95%的把握認為顧客的粽子口味偏好與年齡有關【解析】(1)根據(jù)表一的數(shù)據(jù)計算平均數(shù)即可；(2)根據(jù)表二信息計算觀測值，對照臨界值即可得出結論.【詳解】解：(1)根據(jù)表一的數(shù)據(jù)，1X 一 (12.5 4 17.5 12 22.5 16 27.5 6 32.5 2) 21.25 40'估計該商場粽子的平均銷售價為21.25;(2)根據(jù)表二信息，K2 100 (30 5 50 15)2100 9.091 3.841,80 20 45 5511所以有95%的把握認為顧客的粽子口味偏好與年齡有關.【點睛】本題主要考

24、查平均數(shù)的計算問題、列聯(lián)表與獨立性檢驗問題，屬于基礎題.1118.已知an是等比數(shù)列，a3 g,且 加a2a3成等差數(shù)列.816(1)求數(shù)列an的通項公式;4 2(2)設 1|,求數(shù)列bn的前n項和Tn.loga2n 1 loga2n 122【答案】(1) an= ( 1) n (2) -222n 1【解析】(1)設等比數(shù)列的公比為 q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì)，可得首項和公比 q的方程，解方程可得首項和公比，進而得到所求通項公式；-211(2)求得bn ，再由數(shù)列的裂項相消求和.(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 1【詳解】11解：(1)設an是公比為q的等比數(shù)列，a

25、3人且a1,a2元，a3成等差數(shù)列， 816211、21可得 qq 二，Q a3 2(a2 ),即 a &q2(&q ),81616 m1解得ai q 2則 an aqn 1 (l)n ； 2(2)bn2(log 1 a2n i)(log 1 a2n 1)2221 2n 11 2n 110g 1(-)gog1 (-)2 22 2,Tn12n12n12n211(2n 1)(2n 1) 2n 1 2n 12n2n 1本題考查等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的中項性質(zhì),考查數(shù)列的裂項相消求和，以及化簡運算能力，屬于中檔題.19.如圖，四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，

26、/ ABC =60°, AC與BD交于點 O, POL平面ABCD , E為CD的中點連接 AE交BD于G,點F在側棱PD上，且 DF 1PD.3(1)求證：PB /平面AEF ;(2)若 cosBPA ,求三棱錐E - PAD的體積.43【答案】(1)證明見解析(2)工36【解析】(1)以O為原點，OB為X軸，OC為y軸，OP為Z軸，建立空間直角坐標 系，利用向量法證明 PB平面AEF ;uuruuui_2(2)求出PA (0, 1, a), PB (V3,0, a),由 cos BPA 上，求出 PO4E PAD的體積VE PAD VPADE ， 由此能求出結果.(1)證明：四棱

27、錐P ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形， ABC 60 , AC與BD交于點O , PO 平面ABCD,1E為CD的中點連接AE交BD于G ,點F在側棱PD上，且DF - PD ,3以O為原點，OB為X軸，OC為y軸，OP為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設 PO a ,則 P(0,0,a) ， A(0, 1,0)B(T3,0,0) , C(0,1,0) , D( 73,0,0)E(黑,0)，F(xiàn)(UUU .PB ( 3,0,a)2 33UUTAE (吟 為,0)UUTAF(當；),設平面AEF的法向量(x, y,z)r UUU/ n AE則r UUU/ n AF,3x22.3x33

28、2yiz 0事,得n /I0八 uu1rQ PBgn 3PB平面AEFPB/平面AEFUUU(2)解：PA(0,1,ULU_a) ， PB (J3,0,a)，Q cosBPAULU UUU| PAgPBIUuL uur|pa g PB|a2 1g、3 a2三棱錐E PAD的體積:VE PADVP ADE1 S3 ADEPOPO1一CD AE AO 2【點睛】 本題主要考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、 面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)f(x) aex x a (e為自然對數(shù)的底數(shù))(1)求函數(shù)f(x)的極值;，求出a的取值范

29、圍；若不存(2)問：是否存在實數(shù)a ,使得f(x)有兩個相異零點？若存在在，請說明理由.【答案】(1)當a 0時，函數(shù)f(x)無極值.當a 0時，函數(shù)f(x)有極小值為f( lna) ln a a 1,無極大值；(2)存在，a (0,1) U(1,)【解析】(1)對函數(shù)f(x)求導，根據(jù)a的不同取值范圍，進行分類討論，求出函數(shù)f(x)的極 值；(2)根據(jù)a的不同取值范圍，進行分類討論，結合f(0) 0、函數(shù)的極值的大小、(1)中的結論，最后求出a的取值范圍.【詳解】解：因為 f(x) aex x a,所以 f (x) aex 1.當 a 0時，f (x) aex 1 0,所以x (,)時，f(

30、x) 0,所以函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減.此時，函數(shù)f (x)無極值.當 a 0時，令 f (x) aex 1 0,得 x lna,當x (, lna)時，f(x) 0,所以函數(shù)f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減；當x ( lna,)時，f (x) 0,所以函數(shù)f(x)在(ln a,)上單調(diào)遞增.此時，函數(shù)f(x)有極小值為f( lna) ln a a 1，無極大值.(2)存在實數(shù)a ,使得f(x)有兩個相異零點.由(1)知：當a 0時，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞減；又f(0)0,所以此時函數(shù)f(x)僅有一個零點;當0 a 1時，lna 0.因為 f (0) 0,則由(1)知 f( lna

31、) 0；仃1取 f ( 2ln a) a12ln a a(0 a 1),令 g(a) - 2ln a a,a(a 1)22a0,所以g(a)在(0,1)單調(diào)遞減，所以g(a)g(1) 0,所以 f ( 21n a)12ln a a 0. a此時，函數(shù)f(x)在(ln a, 2ln a)上也有一個零點所以，當0 a 1時，函數(shù)f(x)有兩個相異零點當 a 1 時，lna 0,f(x) f(0) 0此時函數(shù)f(x)僅有一個零點.當a 1時，lna 0,因為f(0) 0,則由知£( ln a) 0；1令函數(shù) h(a) a ln a(a 1),易得 h(a) 1 0(a 1), a所以 h(

32、a) h(1) 0 ,所以 a In a ,即 aIn a .又£( a) ae a 0 ,所以函數(shù)f (x)在(a, lna)上也有一個零點，所以，當a 1時，函數(shù)f(x)有兩個相異零點.綜上所述，當a (0,1)U(1,)時，函數(shù)f(x)有兩個相異零點.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值、零點問題，考查了分類討論思想.21 .已知拋物線 C: x2=2py (p>0),直線l交C于A, B兩點，且A, B兩點與原點不重合，點M (1, 2)為線段AB的中點.(1)若直線l的斜率為1,求拋物線C的方程；(2)分別過A, B兩點作拋物線 C的切線，若兩條切線交于點S,證明

33、點S在一條定直線上.【答案】(1) x2=2y (2)證明見解析【解析】(1)設直線l的方程為y x t ,代入拋物線方程，消去y ,設A(x1 , y1) , B(x2 ,y?),運用韋達定理，以及中點坐標公式，可得 P ,即可得到所求拋物線方程；2x(2)求得y 的導數(shù)，可得拋物線在 A, B處的切線的斜率，由點斜式方程和點 A, 2pB滿足拋物線方程，可得在A, B處的切線方程，聯(lián)立兩切線方程，相加，結合中點坐標公式，即可得到所求點S所在的定直線方程.【詳解】解：(1)設直線l的方程為y x t,代入拋物線C:x2 2py(p 0),可得 x2 2 px 2 pt 0 ,設 A(x1,y

34、1)，B(x2,y2),則 x1 x2 2p ,點M (1,2)為線段AB的中點，可得2P 2,即p 1,則拋物線的方程為 x2 2y ；(2)證明：設A(Xi,yi), Bd,y2),點M (1,2)為線段AB的中點,可得 Xi X2 2, yi y2 4, 2由y 二的導數(shù)為y -,可得拋物線在 A處的切線斜率為 上，切線方程為 2PpPXi /、y yi (x Xi), P由 M 2Py1，可得 XiX P(y yi),同理可得X2X p(y y?),可得(Xi X2)X p(2y yi yz),即為 2x p(2y 4) , IP x py 2 p 0 .可得交點S在一條定直線x py 2p 。上.【點睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關系，考查計算能力，屬 于中檔題.22.在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為x 4 ti , (t