算法題--計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分析期末試題4套

1、算法題-計(jì)算機(jī)算法設(shè)計(jì)與分 析期末試題4套（含答案）(1) 用計(jì)算機(jī)求解問(wèn)題的步驟：1、問(wèn)題分析2、數(shù)學(xué)模型建立3、算法設(shè)計(jì)與選 擇4、算法指標(biāo)5、算法分析6、算法實(shí)現(xiàn)7、程 序調(diào)試&結(jié)果整理文檔編制(2) 算法定義：算法是指在解決問(wèn)題時(shí)，按照 某種機(jī)械步驟一定可以得到問(wèn)題結(jié)果的處理過(guò) 程(3) 算法的三要素1、操作2、控制結(jié)構(gòu)3、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)算法具有以下5個(gè)屬性：有窮性：一個(gè)算法必須總是在執(zhí)行有窮步之 后結(jié)束，且每一步都在有窮時(shí)間內(nèi)完成。確定性：算法中每一條指令必須有確切的含 義。不存在二義性。只有一個(gè)入口和一個(gè)出口可行性：一個(gè)算法是可行的就是算法描述的 操2作是可以通過(guò)已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的基本運(yùn)

2、算執(zhí)行有限 次來(lái)實(shí)現(xiàn)的。輸入：一個(gè)算法有零個(gè)或多個(gè)輸入，這些輸 入取自于某個(gè)特定對(duì)象的集合。輸出：一個(gè)算法有一個(gè)或多個(gè)輸出，這些輸 出同輸入有著某些特定關(guān)系的量。算法設(shè)計(jì)的質(zhì)量指標(biāo)：正確性：算法應(yīng)滿足具體問(wèn)題的需求； 可讀性：算法應(yīng)該好讀，以有利于讀者對(duì)程序的理解；健壯性：算法應(yīng)具有容錯(cuò)處理，當(dāng)輸入為非 法數(shù)據(jù)時(shí)，算法應(yīng)對(duì)其作出反應(yīng)，而不是產(chǎn)生莫 名其妙的輸出結(jié)果。效率與存儲(chǔ)量需求：效率指的是算法執(zhí)行的 時(shí)間；存儲(chǔ)量需求指算法執(zhí)行過(guò)程中所需要的最 大存儲(chǔ)空間。一般這兩者與問(wèn)題的規(guī)模有關(guān)。經(jīng)常采用的算法主要有迭代法、 分而治之法、 貪 婪法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃法、回溯法、分支限界法迭代法 也稱“輾轉(zhuǎn)法”，

3、是一種不斷用變量的舊值遞推出新值的解決問(wèn)題的方 法。利用迭代算法解決問(wèn)題，需要做好以下三個(gè)方面的工作：一、確定迭代模型。在可以用迭代算法解決的問(wèn)題中，至少存在一個(gè)直接 或間接地不斷由舊值遞推出新值的變量，這個(gè)變量就是迭代變量。二、建立迭代關(guān)系式。所謂迭代關(guān)系式，指如何從變量的前一個(gè)值推出其 下3一個(gè)值的公式(或關(guān)系)。迭代關(guān)系式的建立是解決迭代問(wèn)題的關(guān)鍵，通常 可以使用遞推或倒推的方法來(lái)完成。三、對(duì)迭代過(guò)程進(jìn)行控制。在什么時(shí)候結(jié)束迭代過(guò)程？這是編寫(xiě)迭代程序 必須考慮的問(wèn)題。不能讓迭代過(guò)程無(wú)休止地重復(fù)執(zhí)行下去。迭代過(guò)程的控制通 ?？煞譃閮煞N情況：一種是所需的迭代次數(shù)是個(gè)確定的值，可以計(jì)算出來(lái)；另

4、 一種是所需的迭代次數(shù)無(wú)法確定。對(duì)于前一種情況，可以構(gòu)建一個(gè)固定次數(shù)的 循環(huán)來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)迭代過(guò)程的控制；對(duì)于后一種情況，需要進(jìn)一步分析出用來(lái)結(jié)束 迭代過(guò)程的條件。編寫(xiě)計(jì)算斐波那契(Fibonacci )數(shù)列的第 n 項(xiàng)函數(shù) fib (n)斐波那契數(shù)列為：0、1、1、2、3、，即：fib(O)=O;4fib(1)=1;fib( n)=fib( n-1)+fib( n-2) 寫(xiě)成遞歸函數(shù)有：int fib(i nt n) if (n=0) retur n 0; if (n=1) retur n 1;if (n1) return fib(n-1)+fib(n-2); 一個(gè)飼養(yǎng)場(chǎng)引進(jìn)一只剛出生的新品種兔子

5、，這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。如果所有的兔子都不死去，問(wèn)到 第 12 個(gè)月時(shí)，該飼養(yǎng)場(chǎng)共有兔子多少只？分析：這是一個(gè)典型的遞推問(wèn)題。我們不妨假設(shè)第 1 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù) 為 u 1 ,第 2 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 2 ,第 3 個(gè)月時(shí)兔子的只數(shù)為 u 3， 根據(jù)題意，“這種兔子從出生的下一個(gè)月開(kāi)始，每月新生一只兔子”，則有u 1=1，u 2=u 1+u 1X1=2，u 3=u 2+u 2X1-4，根據(jù)這個(gè)規(guī)律，可以歸納出下面的遞 推公式：u nu n1X2 (n2)對(duì)應(yīng) u n 和 u n 1 ，定義兩 個(gè)迭代變量y 和 x，可將上面的遞 推公式轉(zhuǎn)換

6、成如下迭代關(guān)系：y=x*2x=y讓計(jì)算機(jī)對(duì)這個(gè)迭代關(guān)系重復(fù)執(zhí) 行 11 次，就可以算出第 12 個(gè)月時(shí) 的兔子數(shù)。參考程序如下：cisx=1for i=2 to 12 y=x*2 x=y n ext i printyend分而治之法1、分治法的基本思想任何一個(gè)可以用計(jì)算機(jī)求解的問(wèn)題所需的計(jì)算時(shí)間都與其規(guī)模N有關(guān)。問(wèn)題的規(guī)模越小， 越容易直接求解， 解題所需的計(jì)算時(shí)間 也越少。例如，對(duì)于n個(gè)元素的排序問(wèn)題，當(dāng)n=1時(shí)，不需任何計(jì)算；n=2時(shí)， 只要作一次 比較即可排好序；n=3(當(dāng) n1 時(shí))5時(shí)只要作3次比較即 可，。而當(dāng)n較大時(shí)，問(wèn)題就不那么容易處 理了。要想直接解決一個(gè)規(guī)模較大的問(wèn)題，有

7、時(shí)是相當(dāng)困難的。分治法的設(shè)計(jì)思想是， 將一個(gè)難以直接 解決的大問(wèn)題，分割成一些規(guī)模較小的相同問(wèn) 題，以便各個(gè)擊破，分而治之。分治法所能解決的問(wèn)題一般具有以下 幾個(gè)特征：（1） 該問(wèn)題的規(guī)?？s小到一定的程度 就可以容易地解決；（2） 該問(wèn)題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較 小的相同問(wèn)題，即該問(wèn)題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性 質(zhì)；（3） 利用該問(wèn)題分解出的子問(wèn)題的解 可以合并為該問(wèn)題的解；（4） 該問(wèn)題所分解出的各個(gè)子問(wèn)題是 相互獨(dú)立的，即子問(wèn)題之間不包含公共的子子 問(wèn)題。3、分治法的基本步驟分治法在每一層遞歸上都有三個(gè)步驟：（1） 分解：將原問(wèn)題分解為若干個(gè)規(guī) 模較小，相互獨(dú)立，與原問(wèn)題形式相同的子問(wèn) 題；（2） 解

8、決：若子問(wèn)題規(guī)模較小而容易 被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問(wèn)題；（3） 合并：將各個(gè)子問(wèn)題的解合并為 原6問(wèn)題的解?？焖倥判蛟谶@種方法中，n個(gè)元素被分成三段（組）:左 段I e ft，右段r i g h t和中段m i d d l e。中段 僅包含一個(gè)元素。左段中各元素都小于等于中段 元素，右段中各元素都大于等于中段元素。 因此I e f t和r i g h t中的元素可以獨(dú)立排序，并且不 必對(duì)I e f t和r i g h t的排序結(jié)果進(jìn)行合并。m i d d I e中的元素被稱為支點(diǎn)（p i v o t ）。圖1 4 - 9中給出了快速排序的偽代碼。/使用快速排序方法對(duì)a 0 :n-

9、1 排序從a 0 :n- 1 中選擇一個(gè)元素作為m i d d le，該元素為支點(diǎn)把余下的元素分割為兩段left和r i g h t， 使得I e f t中的元素都小于等于支點(diǎn)，而right中 的元素都大于等于支點(diǎn)遞歸地使用快速排序方法對(duì)left進(jìn)行排序 遞歸地使用快速排序方法對(duì)right進(jìn)行排序所得結(jié)果為l e f t + m i d d l e + r i g h t考察元素序列4,8,3,7 , 1 , 5,6,2 。假 設(shè)選擇元素6作為支點(diǎn)，則6位于m i d d l e ; 4,3，1，75，2位于I e f t;8，7位于r i g h t。當(dāng)left排好序后，所得結(jié)果為1,2，3

10、,4,5;當(dāng)r i g h t排好序后，所得結(jié)果為7, 8。把right中 的元素放在支點(diǎn)元素之后，I e f t中的元素放在 支點(diǎn)元素之前，即可得到最終的結(jié)果1 , 2,3,4 5,6,7,8 。把元素序列劃分為I e f t、m i d d l e和r i g h t可以就地進(jìn)行(見(jiàn)程序1 4 - 6)。在程序1 4 - 6中，支點(diǎn)總是取位置1中的元素。也可以采用 其他選擇方式來(lái)提高排序性能，本章稍后部分將 給出這樣一種選擇。程序14-6快速排序template/對(duì)a0:n-1進(jìn)void行快速排序Quicksort(T*a, int n)/要求an必需8有最大關(guān)鍵值i = i + 1;qu

11、ickSort(a, 0, while (a void quickSort(T a, intl, int r)/排序a l : r ,ar+1有大值if (l = r) retur n;int i = l, /從左至 右的游標(biāo)j = r + 1; /從右 到左的游標(biāo)T pivot = al;/把左側(cè)=pivot的元素與右側(cè)=pivot的元素貪婪法do /在右側(cè)尋找pivot);if (i = j) break; /未發(fā)現(xiàn)交換對(duì)象Swap(a, aj);/設(shè)置p i v o tal = aj;aj = pivo t;quickSort(a, l, j-1);/對(duì)左段排序quickSort(a,

12、j+1,r); /對(duì)右段排序9它采用逐步構(gòu)造最優(yōu)解的思想，在問(wèn)題求解的每 一個(gè)階段，都作出一個(gè)在一定標(biāo)準(zhǔn)下看上去最 優(yōu)的決策；決策一旦作出，就不可再更改。制定 決策的依據(jù)稱為貪婪準(zhǔn)則。貪婪法是一種不追求最優(yōu)解， 只希望得到較為 滿意解的方法。貪婪法一般可以快速得到滿意的 解，因?yàn)樗∪チ藶檎易顑?yōu)解要窮盡所有可能而 必須耗費(fèi)的大量時(shí)間。貪婪法常以當(dāng)前情況為基 礎(chǔ)作最優(yōu)選擇，而不考慮各種可能的整體情況， 所以貪婪法不要回溯?！締?wèn)題】 背包問(wèn)題問(wèn)題描述：有不同價(jià)值、不同重量的物品 n 件，求從這 n 件物品中選取一部分物品的選擇方案，使 選中物品的總重量不超過(guò)指定的限制重量，但選中物品的價(jià)值之和最大

13、。#i ncludevoid mai n()intm,n,i,j,w50,p50,pl50,b50,s=0,max;printf(輸入背包容量m,物品種類n :);sca nf(%d %d,&m,&n);for(i=1;i=n ;i=i+1)printf(輸入物品 的重量W和價(jià)值P :);sca nf(%d%d,&wi,&pi);pli=pi;s=s+wi;10if(s=m)prin tf(wholeplmax=0;bi=max;choose n);for(i=1,s=0;sm &/return;i=n ;i=i+1)s=s+wbi;for(i=1;i=

14、n ;i=i+1)if(s!=m)wbi-1=m-wbi-1max=1;for(j=1;j=i-1;j=j+1for(j=2;jplmaxweight %dn,wbj)/wmax)Jmax=j;動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本思想前文主要介紹了動(dòng)態(tài)規(guī)劃的一些理論依據(jù)， 我們將前文所說(shuō)的具有明顯的階段劃分和狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程的動(dòng)態(tài)規(guī)劃稱為標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，這種標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃是在研究多階段決策問(wèn)題時(shí)推導(dǎo)出來(lái)的，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式， 適合用于理論上的分析。在實(shí)際應(yīng)用中，許多問(wèn)題的階段劃分并不明顯，這時(shí)如果刻意地劃分階段法反而麻煩。一般來(lái) 說(shuō)，只11要該問(wèn)題可以劃分成規(guī)模更小的子問(wèn)題， 并且原問(wèn)題的最優(yōu)解中包含了子問(wèn)題的最優(yōu)解（即

15、滿足最優(yōu)子化原理），則可以考慮用動(dòng)態(tài)規(guī) 劃解決。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是分治思想和解決冗余，因此， 動(dòng)態(tài)規(guī)劃是一種將問(wèn)題實(shí)例分解為更小的、 相似 的子問(wèn)題，并存儲(chǔ)子問(wèn)題的解而避免計(jì)算重復(fù)的 子問(wèn)題，以解決最優(yōu)化問(wèn)題的算法策略。由此可知，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法與分治法和貪心法類似， 它們都是將問(wèn)題實(shí)例歸納為更小的、 相似的子問(wèn) 題，并通過(guò)求解子問(wèn)題產(chǎn)生一個(gè)全局最優(yōu)解。 貪心法的當(dāng)前選擇可能要依賴已經(jīng)作出的所有 選擇，但不依賴于有待于做出的選擇和子問(wèn)題。 因此貪心法自頂向下，一步一步地作出貪心選 擇；而分治法中的各個(gè)子問(wèn)題是獨(dú)立的（即不包含公 共的子問(wèn)題），因此一旦遞歸地求出各子問(wèn)題的 解后，便可自下而上地將子問(wèn)題的

16、解合并成問(wèn)題 的解。不足之處：如果當(dāng)前選擇可能要依賴子問(wèn)題的解 時(shí)，則難以通過(guò)局部的貪心策略達(dá)到全局最優(yōu) 解；如果各子問(wèn)題是不獨(dú)立的，則分治法要做許 多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問(wèn)題。解決上述問(wèn)題的辦法是利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。 該方法主 要12應(yīng)用于最優(yōu)化問(wèn)題，這類問(wèn)題會(huì)有多種可能的 解，每個(gè)解都有一個(gè)值，而動(dòng)態(tài)規(guī)劃找出其中最 優(yōu)（最大或最?。┲档慕?。若存在若干個(gè)取最優(yōu) 值的解的話，它只取其中的一個(gè)。在求解過(guò)程中， 該方法也是通過(guò)求解局部子問(wèn)題的解達(dá)到全局 最優(yōu)解，但與分治法和貪心法不同的是， 動(dòng)態(tài)規(guī) 劃允許這些子問(wèn)題不獨(dú)立， （亦即各子問(wèn)題可包 含公共的子問(wèn)題）也允許其通過(guò)自身子問(wèn)題的解 作出選

17、擇，該方法對(duì)每一個(gè)子問(wèn)題只解一次，并 將結(jié)果保存起來(lái)，避免每次碰到時(shí)都要重復(fù)計(jì)算。因此，動(dòng)態(tài)規(guī)劃法所針對(duì)的問(wèn)題有一個(gè)顯著的特 征，即它所對(duì)應(yīng)的子問(wèn)題樹(shù)中的子問(wèn)題呈現(xiàn)大量 的重復(fù)。動(dòng)態(tài)規(guī)劃法的關(guān)鍵就在于，對(duì)于重復(fù)出 現(xiàn)的子問(wèn)題，只在第一次遇到時(shí)加以求解，并把 答案保存起來(lái)，讓以后再遇到時(shí)直接引用，不必 重新求解。3、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟 設(shè)計(jì)一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，通?？砂匆韵聨讉€(gè)步驟進(jìn)行：（1） 劃分階段：按照問(wèn)題的時(shí)間或空間特征， 把問(wèn)題分為若干個(gè)階段。注意這若干個(gè)階段一定 要是有序的或者是可排序的（即無(wú)后向性），否 則問(wèn)題就無(wú)法用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解。13（2） 選擇狀態(tài)：將問(wèn)題發(fā)展到各個(gè)階段時(shí)

18、所處 于的各種客觀情況用不同的狀態(tài)表示出來(lái)。當(dāng) 然，狀態(tài)的選擇要滿足無(wú)后效性。（3） 確定決策并寫(xiě)出狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：之所以把 這兩步放在一起，是因?yàn)闆Q策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移有著天 然的聯(lián)系，狀態(tài)轉(zhuǎn)移就是根據(jù)上一階段的狀態(tài)和 決策來(lái)導(dǎo)出本階段的狀態(tài)。所以，如果我們確定 了決策，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也就寫(xiě)出來(lái)了。但事實(shí)上, 我們常常是反過(guò)來(lái)做，根據(jù)相鄰兩段的各狀態(tài)之 間的關(guān)系來(lái)確定決策。（4） 寫(xiě)出規(guī)劃方程 （包括邊界條件） ： 動(dòng)態(tài)規(guī)劃 的基本方程是規(guī)劃方程的通用形式化表達(dá)式。一般說(shuō)來(lái)，只要階段、狀態(tài)、決策和狀態(tài)轉(zhuǎn)移確 定了，這一步還是比較簡(jiǎn)單的。動(dòng)態(tài)規(guī)劃的主要 難點(diǎn)在于理論上的設(shè)計(jì)， 一旦設(shè)計(jì)完成， 實(shí)現(xiàn)部 分就

19、會(huì)非常簡(jiǎn)單。根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本方程可以 直接遞歸計(jì)算最優(yōu)值，但是一般將其改為遞推計(jì)算，實(shí)現(xiàn)的大體上的框架如下： 標(biāo)準(zhǔn)動(dòng)態(tài)規(guī)劃的基本框架1.對(duì)fn+1(Xn+1)初始化；邊界條件for k:=n dow nto 1 dofor每一個(gè)xkXkdofor每一個(gè)ukUk(xk) do14begi nfk(Xk)：=個(gè)極值； oo或一oo Xk+1：=Tk(Xk,Uk);狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程t：=(Xfk+1(Xk+1),Vk(Xk,Uk); 基本方程(9)式if t比f(wàn)k(Xk)更優(yōu)then fk(Xk):=t; 計(jì)算fk(Xk)的最 優(yōu)值end;t:=一個(gè)極值；o或ofor每一個(gè)X1X1doif f1(x1

20、)比t更優(yōu)then t:=f1(x1);按照10式求出最優(yōu)指標(biāo)輸出t;但是，實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中經(jīng)常不顯式地按照上面步驟 設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)規(guī)劃，而是按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行：(1) 分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻劃其結(jié)構(gòu)特征。(2) 遞歸地定義最優(yōu)值。（3）以自底向上的方式或自頂向下的記憶化方 法（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值。（4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造一個(gè) 最優(yōu)解。步驟（1）（3）是動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法的基本步驟。 在只15需要求出最優(yōu)值的情形，步驟（4）可以省 略，若需要求出問(wèn)題的一個(gè)最優(yōu)解，則必須執(zhí)行 步驟（4）。此時(shí)，在步驟（3）中計(jì)算最優(yōu)值時(shí)， 通常需記錄更多的信息，以便在步驟（4）中， 根據(jù)所記錄的信息，快速地構(gòu)

21、造出一個(gè)最優(yōu)解。 總結(jié)：動(dòng)態(tài)規(guī)劃實(shí)際上就是最優(yōu)化的問(wèn)題， 是指 將原問(wèn)題的大實(shí)例等價(jià)于同一最優(yōu)化問(wèn)題的較 小實(shí)例，自底向上的求解最小實(shí)例，并將所求解 存放起來(lái)，存放的結(jié)果就是為了準(zhǔn)備數(shù)據(jù)。 與遞 歸相比，遞歸是不斷的調(diào)用子程序求解，是自頂 向下的調(diào)用和求解?；厮莘ɑ厮莘ㄒ卜Q為試探法，該方法首先暫時(shí)放棄 關(guān)于問(wèn)題規(guī)模大小的限制，并將問(wèn)題的候選解按 某種順序逐一枚舉和檢驗(yàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)當(dāng)前候選解不 可能是解時(shí)，就選擇下一個(gè)候選解；倘若當(dāng)前候 選解除了還不滿足問(wèn)題規(guī)模要求外，滿足所有其 他要求時(shí)，繼續(xù)擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，并繼續(xù) 試探。如果當(dāng)前候選解滿足包括問(wèn)題規(guī)模在內(nèi)的 所有要求時(shí)，該候選解就是問(wèn)題的一

22、個(gè)解。在回 溯法中，放棄當(dāng)前候選解，尋找下一個(gè)候選解的 過(guò)程稱為回溯。擴(kuò)大當(dāng)前候選解的規(guī)模，以繼續(xù) 試探的過(guò)程稱為向前試探。1、回溯法的一般描述 可用回溯法求解的問(wèn)題P,通常16要能表達(dá)為：對(duì) 于已知的由n元組（Xi，X2,，Xn）組成的一 個(gè)狀態(tài)空間E=（Xi，X2，Xn）IXiSi，i=1，2，n，給定關(guān)于n元組中的一個(gè)分量的一 個(gè)約束集D,要求E中滿足D的全部約束條件 的所有n元組。其中Si是分量Xi的定義域，且|S有限，i=1，2,，n。我們稱E中滿足D的全 部約束條件的任一n元組為問(wèn)題P的一個(gè)解。 解問(wèn)題P的最樸素的方法就是枚舉法，即對(duì)E中的所有n元組逐一地檢測(cè)其是否滿足D的全 部約

23、束，若滿足，則為問(wèn)題P的一個(gè)解。但顯然， 其計(jì)算量是相當(dāng)大的。我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于許多問(wèn)題，所給定的約束集D具有完備性，即i元組（Xi，X2，Xi）滿足D中僅涉及到Xi，X2，Xi的所有約束意味著j（ji）元組（Xi,X2,，Xj） 定也滿足D中 僅涉及到Xi,X2,，Xj的所有約束，i=1,2,，n。換句話說(shuō)，只要存在Owjij。因此，對(duì)于約束集D具有完備性的 問(wèn)題P, 旦檢測(cè)斷定某個(gè)j元組（X1,X2,，Xj）違反D中僅涉及X1,X2,，Xj的一個(gè)約束， 就可以肯定，以（X1,X2，Xj）17為前綴的任 何n元組（X1,X2,Xj,Xj+1，,Xn）都不 會(huì)是問(wèn)題P的解，因而就不必去搜索它們、檢

24、測(cè)它們。回溯法正是針對(duì)這類問(wèn)題，利用這類問(wèn)題 的上述性質(zhì)而提出來(lái)的比枚舉法效率更高的算 法?；厮莘ㄊ紫葘?wèn)題P的n元組的狀態(tài)空間E表 示成一棵高為n的帶權(quán)有序樹(shù)T,把在E中求問(wèn) 題P的所有解轉(zhuǎn)化為在T中搜索問(wèn)題P的所有 解。樹(shù)T類似于檢索樹(shù)，它可以這樣構(gòu)造：設(shè)S中的元素可排成Xi，Xi，Xi（mi-1）,|S|=mi,i=1,2,，n。從根開(kāi)始，讓T的第i8I層的每一個(gè)結(jié)點(diǎn)都有mi個(gè)兒子。這mi個(gè)兒子 到它們的雙親的邊，按從左到右的次序，分別帶 權(quán)Xi+1，Xi+1，Xi+1（mi）,i=0,1,2,，n-1o照這種構(gòu)造方式，E中的一個(gè)n元組（xi，X2，Xn）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，T的

25、根到這個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊的權(quán)分別為Xi，X2，Xn，反之亦然。另外，對(duì)于 任意的Owin-1，E中n元組（Xi，X2,，xn） 的一個(gè)前綴I元組（Xi，X2，Xi）對(duì)應(yīng)于T中的一個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn)，T的根到這個(gè)非葉子結(jié)點(diǎn) 的路徑上依次的I條邊的權(quán)分別為Xi，X2，Xi，反之亦然。特別，E中的任意一個(gè)n元組的 空前綴（），對(duì)應(yīng)于T的根。因而，在E中尋找問(wèn)題P的一個(gè)解等價(jià)于在T中搜索一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)，要求從T的根到該葉子 結(jié)點(diǎn)的路徑上依次的n條邊相應(yīng)帶的n個(gè)權(quán)Xi，X2，Xn滿足約束集D的全部約束。在T中 搜索所要求的葉子結(jié)點(diǎn)，很自然的一種方式是從 根出發(fā)，按深度優(yōu)先的策略逐步深入，即依次搜 索

26、滿足約束條件的前綴i元組（xii）、前綴2元 組（Xi ,X2）、,前綴I元組（Xi,X2，Xi），直到i=n為止。在回溯法中，上述引入的樹(shù)被稱為問(wèn)題P的 狀態(tài)空間樹(shù)；樹(shù)T上任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題P的狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù)T上的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為 問(wèn)題P的19一個(gè)解狀態(tài)結(jié)點(diǎn)；樹(shù)T上滿足約束集D的全部約束的任意一個(gè)葉子結(jié)點(diǎn)被稱為問(wèn)題P的一個(gè)回答狀態(tài)結(jié)點(diǎn)，它對(duì)應(yīng)于問(wèn)題P的一個(gè)解?！締?wèn)題】n皇后問(wèn)題問(wèn)題描述：求出在一個(gè)nxn的棋盤上， 放置n個(gè)不能互相捕捉的國(guó)際象棋“皇后”的所 有布局。這是來(lái)源于國(guó)際象棋的一個(gè)問(wèn)題?；屎罂?以沿著縱橫和兩條斜線4個(gè)方向相互捕捉。如圖 所示，一個(gè)皇后放在棋盤的第4行第3列位

27、置上，則棋盤上凡打“x”的位置上的皇后就能與這個(gè) 皇后相互捕捉。12345678xxXXXX XQX X X X XXXXXXXXXXX20從圖中可以得到以下啟示：一個(gè)合適的解 應(yīng)是在每列、每行上只有一個(gè)皇后，且一條斜線 上也只有一個(gè)皇后。求解過(guò)程從空配置開(kāi)始。在第1列至第m列為合理配置的基礎(chǔ)上，再配置第m+1列，直 至第n列配置也是合理時(shí)，就找到了一個(gè)解。接 著改變第n列配置，希望獲得下一個(gè)解。另外， 在任一列上，可能有n種配置。開(kāi)始時(shí)配置在第1行，以后改變時(shí)，順次選擇第2行、第3行、 直到第n行。當(dāng)?shù)趎行配置也找不到一個(gè)合理的 配置時(shí)，就要回溯，去改變前一列的配置。得到 求解皇后問(wèn)題的算法

28、如下：輸入棋盤大小值n;m=0;21good=1; do if (good)if (m=n)輸出解；改變之，形成下一個(gè)候選解；else擴(kuò)展當(dāng)前候選接至下一列；else改變之，形成下一個(gè)候選解；good=檢查當(dāng)前候選解的合理性； while (m!=0);在編寫(xiě)程序之前，先確定邊式棋盤的數(shù)據(jù) 結(jié)構(gòu)。比較直觀的方法是采用一個(gè)二維數(shù)組，但 仔細(xì)觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這種表示方法給調(diào)整候選解 及檢查其合理性帶來(lái)困難。更好的方法乃是盡可 能直接表示那些常用的信息。對(duì)于本題來(lái)說(shuō)，“常 用信息”并不是皇22后的具體位置，而是“一個(gè)皇 后是否已經(jīng)在某行和某條斜線合理地安置好 了”。因在某一列上恰好放一個(gè)皇后，引入一個(gè)

29、 一維數(shù)組（col）,值coli表示在棋盤第i列、coli行有 一個(gè)皇后。例如：col3=4，就表示在棋盤的第3列、第4行上有一個(gè)皇后。另外，為了使程序 在找完了全部解后回溯到最初位置，設(shè)定col0的初值為0當(dāng)回溯到第0列時(shí)，說(shuō)明程序已求得 全部解，結(jié)束程序運(yùn)行。為使程序在檢查皇后配置的合理性方 面簡(jiǎn)易方便，引入以下三個(gè)工作數(shù)組：（1）數(shù)組a ，ak表示第k行上還 沒(méi)有皇后；（2）數(shù)組b ，bk表示第k列右高 左低斜線上沒(méi)有皇后；（3）數(shù)組c ，ck表示第k列左高 右低斜線上沒(méi)有皇后；棋盤中同一右高左低斜線上的方格，他們 的行號(hào)與列號(hào)之和相同；同一左高右低斜線上的 方格，他們的行號(hào)與列號(hào)之差均

30、相同。初始時(shí)，所有行和斜線上均沒(méi)有皇后，從第1列的第1行配置第一個(gè)皇后開(kāi)始， 在第m列colm23行放置了一個(gè)合理的皇后后，準(zhǔn)備考察 第m+1列時(shí)，在數(shù)組a卜b和c中為第m列，colm行的位 置設(shè)定有皇后標(biāo)志；當(dāng)從第m列回溯到第m-1列，并準(zhǔn)備調(diào)整第m-1列的皇后配置時(shí)，清除在 數(shù)組a卜b和c中設(shè)置的關(guān)于第m-1列，colm-1行有皇后的標(biāo)志。一個(gè)皇后在m列，colm行方格內(nèi)配置是合理的，由數(shù)組a 、b和c對(duì)應(yīng)位置的值都為1來(lái)確定。細(xì)節(jié)見(jiàn)以下 程序：【程序】# in clude# in clude# define MAXN 20int n,m,good;intcolMAXN+1,aMAXN+1

31、,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;24void mai n() int j;char awn;prin tf(“En ter n:seanf(“d，&n);for (j=0;j=n;j+)aj=1;);for (j=0;j=2* n;j+)m=1;eol1=1;col0=0;do if (good)cbj=cj=1;good=1;if (m=n) printf(“列t行”);for (j=1;j=n ;j+)printf(“%3d n”,j,colj);prin tf(“En teracharacter (Q/q forn”);scanf(“C，&awn);if (aw

32、n=Q |awn=q)exit(O);25while (colm=n)m-;acolm=bm+colm=c n+m-colm=1;colm+;elseacolm=bm+colm=c n+m-colm=0;col+m=1;else while (colm=n)m-;acolm=bm+colm=c n+m-colm=1;colm+;good=acolm&bm+colm&cn+m-colm26 while (m!=0);試探法找解算法也常常被編寫(xiě)成遞歸函 數(shù)，下面兩程序中的函數(shù)queen_all()和函數(shù)queen_o ne()能分別用來(lái)解皇后問(wèn)題的全部解和 一個(gè)解?！境绦颉? in

33、 elude# in elude# defi ne MAXN 20 int n;intcolMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;void mai n() int j;prin tf(“En ter n:for (j=0;j=n;j+)aj=1;);scanf(“d，&n);27for (j=0;j=2* n;j+)cbj=cj=1;28quee n_all(1, n);void quee n_all(i nt k,i nt n) int i,j;char awn;for (i=1;i=n ;i+)if (ai&bk+i&cn+k-i)

34、colk=i;ai=bk+i=c n+k-i=0;if (k=n) printf(列t行”);for (j=1;j=n ;j+)printf(“%3dn”,j,colj);prin tf(“En terascanf(“C，&awn); if(awn=Q |awn=exit(0);character (Q/q for);q)29quee n_all(k+1, n);ai=bk+i=c n+k-i;采用遞歸方法找一個(gè)解與找全部解稍有 不同，在找一個(gè)解的算法中，遞歸算法要對(duì)當(dāng)前 候選解最終是否能成為解要有回答。當(dāng)它成為最 終解時(shí)，遞歸函數(shù)就不再遞歸試探，立即返回； 若不能成為解，就得繼續(xù)試探

35、。設(shè)函數(shù)queen_one()返回1表示找到解，返回0表示當(dāng) 前候選解不能成為解。 細(xì)節(jié)見(jiàn)以下函數(shù)。【程序】# defi ne MAXN 20int n;intcolMAXN+1,aMAXN+1,b2*MAXN+1,c2*MAXN+1;int quee n_on e(i nt k,i nt n)int i,fo und;i=foun d=0;30While (!fou nd&ii+;if (ai&bk+i&cn+k-i) COlk=i；ai=bk+i=c n+k-i=0; if(k=n)retur n 1;elsefoun d=quee n_on e(k+1, n);a

36、i=bk+i=c n+k-i=1;retur n found;分支定界法：分支限界法：這是一種用于求解組合優(yōu)化問(wèn)題的排除非解的 搜索算法。類似于回溯法，分枝定界法在搜索解 空間時(shí)，也經(jīng)常使用樹(shù)形結(jié)構(gòu)來(lái)組織解空間。然而與回溯法不同的是，回溯算法使用深度優(yōu)先方 法搜索樹(shù)結(jié)構(gòu)，而分枝定界一般用寬度優(yōu)先或最 小耗費(fèi)方法來(lái)搜索這些樹(shù)。因此，可以很容易比 較回溯法與分枝定界法的異同。相對(duì)而言，分枝 定界算法的解空間31比回溯法大得多，因此當(dāng)內(nèi)存 容量有限時(shí)，回溯法成功的可能性更大。算法思想：分枝定界（branch and bound）是另 一種系統(tǒng)地搜索解空間的方法，它與回溯法的主 要區(qū)別在于對(duì)E-節(jié)點(diǎn)的

37、擴(kuò)充方式。 每個(gè)活節(jié)點(diǎn) 有且僅有一次機(jī)會(huì)變成E-節(jié)點(diǎn)。當(dāng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)變 為E-節(jié)點(diǎn)時(shí)，則生成從該節(jié)點(diǎn)移動(dòng)一步即可到 達(dá)的所有新節(jié)點(diǎn)。在生成的節(jié)點(diǎn)中，拋棄那些不 可能導(dǎo)出（最優(yōu)）可行解的節(jié)點(diǎn)，其余節(jié)點(diǎn)加入 活節(jié)點(diǎn)表，然后從表中選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)作為下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)。從活節(jié)點(diǎn)表中取出所選擇的節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行 擴(kuò)充，直到找到解或活動(dòng)表為空，擴(kuò)充過(guò)程才結(jié) 束。有兩種常用的方法可用來(lái)選擇下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)（雖 然也可能存在其他的方法）：1）先進(jìn)先出（F I F O）即從活節(jié)點(diǎn)表中取出節(jié) 點(diǎn)的順序與加入節(jié)點(diǎn)的順序相同，因此活 節(jié)點(diǎn)表的性質(zhì)與隊(duì)列相同。2）最小耗費(fèi)或最大收益法在這種模式中，每個(gè) 節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的耗費(fèi)或收益。如果

38、查找 一個(gè)具有最小耗費(fèi)的解，則活節(jié)點(diǎn)表可用最小堆 來(lái)建立，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)就是具有最小耗費(fèi) 的活節(jié)點(diǎn)；如果希望搜索一個(gè)具有最大收益的32解，則可用最大堆來(lái)構(gòu)造活節(jié)點(diǎn)表，下一個(gè)E-節(jié)點(diǎn)是具有最大收益的活節(jié)點(diǎn)裝載問(wèn)題用一個(gè)隊(duì)列Q來(lái)存放 活結(jié)點(diǎn)表，Q中weight表示每個(gè)活結(jié)點(diǎn)所相 應(yīng)的當(dāng)前載重量。當(dāng)weight= 1時(shí)，表示 隊(duì)列已達(dá)到解空間樹(shù) 同一層結(jié)點(diǎn)的尾部。算法首先檢測(cè)當(dāng)前 擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)的左兒子結(jié) 點(diǎn)是否為可行結(jié)點(diǎn)。如 果是則將其加入到活 結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中。然后將其 右兒子結(jié)點(diǎn)加入到活 結(jié)點(diǎn)隊(duì)列中（右兒子結(jié) 點(diǎn)一定是可行結(jié)點(diǎn)）。2個(gè)兒子結(jié)點(diǎn)都產(chǎn)生后，當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)被舍棄?；罱Y(jié)點(diǎn)隊(duì)列中的 隊(duì)首元素被取出作為

39、當(dāng)前擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，由于隊(duì) 列中每一層結(jié)點(diǎn)之后 都有一個(gè)尾部標(biāo)記-1， 故在取隊(duì)首元素時(shí)，活 結(jié)點(diǎn)隊(duì)列一定不空。當(dāng) 取出的元素是-1時(shí)，再 判斷當(dāng)前隊(duì)列是否為 空。如果隊(duì)列非空，則 將尾部標(biāo)記-1加入活 結(jié)點(diǎn)隊(duì)列，算法開(kāi)始處 理下一層的活結(jié)點(diǎn)。/*該版本只算出最優(yōu)解*/#i nclude#i ncludestruct Queue intweight ;struct Queue* n ext ;；33int bestw = 0 ; /目前 的最優(yōu)值Queue* Q; /活結(jié)點(diǎn) 隊(duì)列Queue* lq = NULL ;Queue* fq = NULL ;int Add( int w)Queue* q ;q=(Queue*)malloc(sizeof(Queue);if(q =NULL)printf(沒(méi)有足夠的空間分配n);return 1 ;q-