第一講：代數(shù)式與恒等變形

1、第一講：代數(shù)式與恒等變形第1章 代數(shù)式與恒等變形1.1四個(gè)公式知識銜接在初中，我們學(xué)習(xí)了實(shí)數(shù)與代數(shù)式，知道代 數(shù)式中有整式，分式，根式，它們具有類似實(shí)數(shù) 的屬性，可以進(jìn)行運(yùn)算。在多項(xiàng)式乘法運(yùn)算中， 我們學(xué)習(xí)了乘法公式，如：平方差公式 (a b)(a b) a2 b2 ；完全平方公式(a b)2 a2 2ab b2，并且 知道乘法公式在整式的乘除，數(shù)值計(jì)算，代數(shù)式 的化簡求值以及代數(shù)等式的證明等方面有著廣 泛的應(yīng)用。而在高中階段的學(xué)習(xí)中，將會遇到更 復(fù)雜的多項(xiàng)式運(yùn)算為此在本章中我們將拓展乘 法公式的內(nèi)容。知識延展1多項(xiàng)式的平方公式：(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac2 立

2、方和公式：(a b)(a2 ab b2) a3 b33 立方差公式：(a b)(a2 ab b2) a3 b34 完全立方公式：(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3注意：(1)公式中的字母可以是數(shù)，也可以是 單項(xiàng)式或多項(xiàng)式；(2) 要充分認(rèn)識公式自身的價(jià)值，在多項(xiàng)式 乘積中，正確使用乘法公式能提高運(yùn)算速度，減 少運(yùn)算中的失誤；(3) 對公式的認(rèn)識應(yīng)當(dāng)從發(fā)現(xiàn)，總結(jié)出公式 的思維過程中學(xué)習(xí)探索，概括，抽象的科學(xué)方法;(4) 由于公式的范圍在不斷擴(kuò)大，本章及初 中所學(xué)的僅僅是其中最基本，最常用的幾個(gè)公 式。一計(jì)算和化簡例 1 計(jì)算：(a b)2(a b)(a2 ab b2)變式訓(xùn)練：化簡(x

3、 y)(x y)(x2 y2 xy)(x2 y2 xy) y6二利用乘法公式求值；例2已知x2 3x 1 0，求x3 &的值。x變式訓(xùn)練：已知a b c 3且ab be ac 2，求a2 b2 c2的 值。三利用乘法公式證明例 3 已知 a b c 0,a3b3 c3 0求證:a2009b2009嚴(yán) 0變式訓(xùn)練：已知14(a2 b2 c2) (a 2b 3c)2 ,求證：a:b :c 1:2:3習(xí)題精練1 化簡：(a b)(a2 ab b2) (a b)32 化簡(a 1)(a2 a 1)(a 1)(a2 a 1)(a6 1)(a12 1)y2的值;3已知x y 10且x3 y3 10

4、0，求代數(shù)式x24已知a弄20,b2ox 19'c2021求代數(shù)式a2 b2 c2 ab be ac 的值;5 已知(x y z)2 3(x2 y2 z2)，求證:X y z6已知a4 b4 e4 d4 4abed且a,b,e,d均為正數(shù)，求證:以a,b,e,d為邊的四邊形為菱形1.2因式分解知識延展亠運(yùn)用公式法立方和（差）公式:a3 b3 (a b)(a2 ab b2);a3 b3 (a b)(a2 ab b2):分組分解法1分組后能直接提公因式如: a2 ab ac bc (a2 ab) (ac bc) a(a b) c(a b) (a b)(a c)2分組后直接應(yīng)用公式如:4x2

5、 4xy y2 a2(4x2 4xy y2) a2(2x y)2 a2(2x y a)(2x y a)三十字相乘法2 ax2 bx c (a1x c1)(a2x1 x2 (a b)x ab (x a)(x b)女口： x2 5x 6 (x 6)(x 1)C2)其中 aa2 a,CC2 c,aC2 a2 C1b如:6x2 7x 5 (2x 1)(3x 5)注意：十字相乘法的要領(lǐng)是：“頭尾分解，交 叉相乘，求和湊中，觀察實(shí)驗(yàn)”四其它方法簡介1添項(xiàng)拆項(xiàng)法4x4 1 4x4 4x21 4x2(2x21)2 4x2(2x2 2x 1)(2x2 2x 1)3x3 4x 1 3x2 3x x 1 3x(x2

6、1) (x 1) 3x(x 1)(x 1) (x 1) (x 1)(3x2 3x 1)2配方法女口： x2 6x 15 x2 6x 9 9 15 (x 3)2 24 (x 3 2j©)(x 3 2網(wǎng)3運(yùn)用求根公式法2ax bx c a(x x1)(x x2)(a0,0)題型歸類一分解因式例1把下列各式分解因式：(1) 5x2 6xy 8y2(2) a4 a2 2ab b2 1(3) x2 2xy y2 x y 6(4) 9x4 3x3 7x2 3x 2二利用分解因式解方程 例2解方程：4x2 5x 1° x 24變式訓(xùn)練若關(guān)于x的方程(x a)(x b) (x b)(x c

7、) (x c)(x a) 0 (其中 a,b,c均為正數(shù)) 有兩個(gè)相等實(shí)根，證明以a,b,c為長的線段能組成一個(gè)三角形，并指出該三角形的特征。三利用分解因式化簡分式2 2 2例3已知(a二(6xy :、i,x 0求上的值;(a 3x) (ay 3xy)x變式訓(xùn)練：當(dāng)x等于x的倒數(shù)時(shí)，求分式 的值x 3 x x 6四利用分解因式化簡根式例4化簡：.a 21、a4a 2 2（a 2 a a 4a 4）°,.a）（a 4）變式計(jì)算:1 1 25 2 67 4.3、6 42習(xí)題精練1分解因式(1) X2 9y2 2x 6y(2) (x y)2 4(x y) 123)(x 4) 24(3) x3 x 2(4) (x 1)(x 2)(x2已知x2 y2 6x 8y 25 0，求分式-的值x y3 已知