電磁場(chǎng)與電波計(jì)算題解

1、電磁場(chǎng)與電磁波計(jì)算題題解例1 在坐標(biāo)原點(diǎn)附近區(qū)域內(nèi)，傳導(dǎo)電流密度為： 152Jc ar10r A/m2 c I求： 通過(guò)半徑r=1mm的球面的電流值。在r=1mm勺球面上電荷密度的增加率。在r=1mmfi勺球內(nèi)總電荷的增加率。r 1 mm2152解：I -Jc ds 0010r r Sin0.540 rr 1mm 3.97A2.55r因?yàn)镴c -1 (r210r 1.5)c 2r d r由電流連續(xù)性方程，得至U：Jct r 1mmr 1mm1.58108A/m3在r=1mmW球內(nèi)總電荷的增加率d I 3.97 A dt例2在無(wú)源的自由空間中，已知磁場(chǎng)強(qiáng)度H ay 2.63 10 5 cos(3

2、 109t 10z) A/m求位移電流密度J；。解：由于10,麥克斯韋第一方程成為一 D 一Jd 一 H t Ei ax ay azaX-HyaX 2.63 104 sin3 1C9t 10z) A/m2z例3在無(wú)源的區(qū)域中，已知調(diào)頻廣播電臺(tái)輻射的電磁場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度二 一 2一920.9 z) v/mE ay 10 2 sin(6.28 109求空間任一點(diǎn)的磁感強(qiáng)度解:由麥克斯韋第二方程axayazEyy Eyax 一 zax 20.92_9102 cos(6.28 1091 20.9 z)將上式對(duì)時(shí)間t積分，若不考慮靜態(tài)場(chǎng)，則有 B29B dtax 20.9 10 2 cos(6.28 109

3、1 20.9z)11_9dt ax 3.33 10sin(6.28 109t 20.9z)T例4已知自由空間中，電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式為E ax cos(wt z)；求磁場(chǎng)強(qiáng)度的H表達(dá)式。解： E *第二方程且在自由空間中 H B一 1 , 一E(ay - Ex)0 z一 1ay 一0sin(wtz)Hay sin(wt z) d t0ay cos(wt z)0 w上式積分的常數(shù)項(xiàng)對(duì)時(shí)間是恒定的量,在時(shí)變場(chǎng)中一般取這種與t無(wú)關(guān)的恒定分量為0 例5有一個(gè)廣播電臺(tái)在某處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B 0.2 0 cos2.1(3 108t x) azA/m媒介為空氣,求該處的位移電流密度。解：在該處無(wú)傳導(dǎo)電流J； /-

4、 D B 0 f 0 JdJ7 B0在直角坐標(biāo)系中：Bz 0.2 0cos2.1(3 10 8t x)ayd.JaxxyByazzBz(By)ax zBz)ay ( xByBx-x)az yBz) ay = x- 0.2 0sin 2.1(3 10 8t0x)( 2.1 x)例6同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體外半徑a=1mm外導(dǎo)體內(nèi)半徑b=4mm內(nèi)外導(dǎo)體之間是空氣介質(zhì)，且電場(chǎng)強(qiáng)度為一 1008E cos(10 t az) arV/mr用麥克斯韋方程求a。 求磁感應(yīng)強(qiáng)度B。 求內(nèi)導(dǎo)體表面電荷密度so 求長(zhǎng)度0WzW1 m中總的位移電流+ .araz一a一rrrzAr A Azarraz rrAr(上z 1 A

5、r aaz)r0100a8sin(108tz)r100a osin(108tz)raz)100 d 88B10 8 cos (1081r.在內(nèi)外中間的空氣中,0、Jc一、一 D又由二H -將B代入，則:1 100 2；07sin(1C8tz)a100 0r108sin(108tz)ar21 100 2100 01081081016103610 9法拉/米1610101610 7H /m10cos (108 t1.-z) a 3 在內(nèi)外導(dǎo)體之間作園柱形高斯面，有c 0EdS vdVsdss:0Erd dzsad dzsId0 0 0 匚 rddzs ad0 sdz0 r103100cos r8(

6、10 tz) ar105 cos (108 t10010101010101010 . sin3例7、在兩導(dǎo)體平板EdS1C8 sin(1C8tsin (10811010 一sinsinz)(1081(108tz) ads)r d d z1z) d d z3.8,1、0 cos (10 t - z) 311006108810cos10 t cos(10 t )318sin (10 t6d)之間的空氣中傳輸?shù)碾姶挪?，其電?chǎng)強(qiáng)度矢量e Ec sin(i z)cos( ty 0 dkxx)其中kx為常數(shù)。試求:(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H(2)兩導(dǎo)體表面上的面電流密度Js解:(1)由麥克斯韋方程可得:對(duì)上式積

7、分后得:kxx)即:一 E0E0kx . .,Hex_d_0_ cos0z) sin( t kxx)ex0sin(z) cos( tkxx)(2)導(dǎo)體表面上的電流存在于兩導(dǎo)體板相向的一面，故在 z 0表面上，法線n ez,面電流密度J sezE0 e 07 sin( t k0 y0d(xx)在z d表面上，法線n,面電流密度J sezE0 .( zd eyH°dsin(kxx)例8、一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的同軸線,內(nèi)導(dǎo)體半徑為a,外導(dǎo)體半徑為b,長(zhǎng)度為L(zhǎng),同軸線兩端用理想導(dǎo)體板短路。已知在ab、0 z L區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)為:(1)A .,E e sinkz,r r確定A、B之間的關(guān)系B c

8、oskz rE0E0kxBex-cos(d z) sin( t kxx) ezsin(- z) cos( t確定k。(3)求r a及r b面上的Js。解:由題意可知，電磁場(chǎng)在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)(1)A、B之間的關(guān)系。因?yàn)锳krcoskz j(2)(rHz(rH )ez1e -Bksinkz j E r r所以AB 因?yàn)樗?3)因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體構(gòu)成的同軸線，所以邊界條件為:在r a的導(dǎo)體面上，法線ne，所以J sasan Dr ae B coskz z rA .sin kz r ra e B coskz z aA .sin kz在r b的導(dǎo)體面上,法線ner,所以J sbB .e coskzz

9、 rsbn Dr bA . sinkz r rB .e coskz z bsinkz b例9、電磁波在真空中傳播,其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為:E(ex X4j20 zjey)10 e(V/m)試求:(1)工作頻率fo(2)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式。(3)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。解：由題意可得:k 20. 0 0 G ,6109所以工作頻率一 一 一 9f 3 10 Hz(1)磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為：H 1ez E 工(ey jex) 10 4e j20 z (A/m) 0其中波阻抗0 120。(2)坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。電磁波的瞬時(shí)值為：j t4E(t) ReEej (

10、e je )10 4cos( t 20 z) (V/m) xV'H (t) ReHej t '(e je )10 4 cos( t 20 z) (A/m) 0 y x所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值:St) E(t) H(t) 10 8co4 t 20z)(e je ) (e je ) 0W/m20x , y y , x同理可得坡印廷矢量的時(shí)間平均值:Sav RelE H 0W/m2例10、已知空氣中一均勻平面電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為:H ( ex ey2 6 ez4)e j (4x3z)( A/ m)試求:(D波長(zhǎng)、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角。(2)常數(shù)Ao(3)電場(chǎng)強(qiáng)度

11、矢量。解:(D波長(zhǎng)、傳播方向單位矢量及傳播方向與z軸的夾角分別為:Jkx kz V(4 )2 (3 )25 ,(2)因?yàn)? ex 3 ez一0.8ex 0.6ez, cos0.6 e j(4x3z)53所以H一z 4 jA 12z解之得A3。(3)電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量E 0H ek0 ( ex3 ey2 6ez4) ej (4x3z)(0.8ex 0.6ez)0(5、6ex5ey 8、6e)e j (4x 3z) ，5z，V/m例11、假設(shè)真空中一均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為:j-(2x- 2y 3z)E 3(ex-2ey)e 6V/m試求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅、波矢量和波長(zhǎng)(2)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和

12、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式解：依題意知，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅:EoE0xEoy 3,3所以波矢量kXkkek ,其中k2 k2 y z從而ek 3ex(1)2 4mk電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為:E(t) ReEej t 3(e 2e)cos x y，t -(2x2 y . 3 z)(V/m)6比較(1)式何(2)式，有磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為:t -(2x2y 3z)(A/m)6H(t) e,E(t) 二( 6ex3e 3 2e) co§kyz0y例12、已知在無(wú)源的自由空間中，磁場(chǎng)為r rQH ey 2cos(15 x)sin6 10 t z(A/m)利用麥克斯韋方程求相應(yīng)的電場(chǎng)rE及常

13、數(shù)r解：將H表示為復(fù)數(shù)形式ruvi zH (x, z)eyi2cos(15 x)e uui ex 2 cos(15 z(1)由時(shí)諧形式的麥克斯韋第二方程可得：uir1Hi 0匕1E(x,z)：i 0uu H yUrH yexezzxurx)ezi30sin(15x) euuH (x, z)uu eyi22(2)uu1 Ev_ey Ex Ezi 0i 0 z x2 (15 )0) cos(15 x)e i z(15 )2)(6109)10 736109400 2所以 , 400 2225 241.56( rad /m)所以，相應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度為：u"uvE(x,z,t)ex496 cos(

14、15uuv ey 565.5sin(15x) cos(6x)sin(6 109t 41.56 z)9109t 41.56 z)V / m例13、同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑a 1mm,外導(dǎo)體內(nèi)半徑b 4mm,內(nèi)外導(dǎo)體間為空氣介質(zhì)，并 且電場(chǎng)強(qiáng)度為r r 100E ercos10 t 0.5 z(V/m)r r(1)求磁場(chǎng)強(qiáng)度H的表達(dá)式；(2)求內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度；(3)計(jì)算0 z 1m中的位移電流id-,r解：將E表示為復(fù)數(shù)形式：rE(r,z)1v100 ereri0.5z則由時(shí)諧形式的麥克斯韋方程可得：uu1LTH (x,z)-Ei 0uu 0.39895 z/e e ( A / m )r而磁場(chǎng)的

15、瞬時(shí)表達(dá)式為1 uu ei 0Errr 58H(r,z,t) e cos(108t 0.5z)4 r(A/m)(2)內(nèi)導(dǎo)體表面的電流密度rrr rrJsnH r a rHs1alez397.9cos(1dt 0.5z)(A/m)r(3)10 上ersin(108t 0.5z)(A/m2)18 r所以，在0 z 1中的位移電流r r 1 r r8id Jdgds ° Jdgrr2 rdz0.55sin(108t 0.25)(A)s例14、已知在自由空間傳播的平面電磁波的電場(chǎng)的振幅E0 800(V/m),方向?yàn)閑*,如果波沿著z方向傳播，波長(zhǎng)為0.61m,求：（1）電磁波的頻率f ; （

16、2）電磁波的周期T; （3）如果將場(chǎng)量表示為Acos（ t kz）,其k值為多少？ （ 4）磁場(chǎng)的振幅H0解：在空氣中，電磁波的速度為c3 10 8(m / s)本征阻抗 0120377所以（1）電磁波頻率f=3 1080.614.92 1 08 Hz 492 MHz(2)電磁波周期T1 一80.203 10 8s f2.03ns(3)10.3( rad / m )Eo8003772.12(例15、在自由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為Eex。4ei( t20 z)ey10(V /m)求：（1）平面波的傳播方向；（2）電磁波的頻率；（3）r波的極化方式；（4）磁場(chǎng)強(qiáng)度H ； （5）電磁波

17、流過(guò)沿傳播方向單位面積的平均功率。r解：（1）從電場(chǎng)萬(wàn)程可知，傳播萬(wàn)向?yàn)?ez(2)從電場(chǎng)方程可知，k 20所以20一 一 9一一3 10 (Hz ) 3GHz(1)原電場(chǎng)可表示為r /.r 4 i20zE (ex iey)10 e是左旋圓極化波(2)r 1 r r由HezE 可得010 4 r(ey120 y. r i( t iex)e20 z)rex 2.65107 i( t 20eey2.6510 7 ei( t 20 z)（5）平均功率rSav1 r r *Re E H 21r 4 i20 z r 4 i(20 z 2)Re( ex10e ey 10 e 波長(zhǎng) 1 (初 k )r7 i

18、 (20z -)r7 i 20(ex 2.6510 7 e 2ey 2.6510 7ez)eZ 2.6510 11(W / m2)即 Pav 2.6510 11(W / m2)1rr . r例16、電磁波磁場(chǎng)振幅為 A/m ,在自由空間沿一ez萬(wàn)向傳播，當(dāng)t=0,z=0時(shí)，H在ey萬(wàn)向, r r相位常數(shù) =30rad/m 。 (1)寫(xiě)出H和E的表達(dá)式；(2)求頻率和波長(zhǎng)。解：(1)在自由空間中，0120377而,0 030( rad )所以:9 10 9 (rad / m )00ruv 1于是得磁場(chǎng)H(z,t )ey cos(9 109t 30z)r r iv iv9電場(chǎng) E= 0H (- e

19、z) ex40cos(9 10 t 30z)，一、一9(2) f 1.4310 9( Hz )20.209( m) r r例17、在r 1、r 4、0的媒質(zhì)中，有一均勻平面波，其電場(chǎng)強(qiáng)度E EmSin( t kz ),3若已知平面波的頻率f 150MHz，任意點(diǎn)的平均功率密度為0.265 W/m2。試求：(1)電磁波r 一的波數(shù)、相速、波長(zhǎng)、波阻抗；(2) t=0,z=0時(shí)的電場(chǎng)E(0,0)等于多少？ ( 3)經(jīng)過(guò)t 0.1 s后, r 電場(chǎng)E(0,0)值傳到什么位置?(1)波數(shù)k .2 f , 0 0 r r 2150 1061，.，、2 2(rad/m) 3 10818相速-1 1.5 10(m/s)2. 0 0波阻抗0 6012(2)均勻平面波的平均坡印廷矢量r 1%2&0.265 10 6 (W/m2)rEm(3) t = 0.110103(V/m)rEm sin1010 30.8668.6610 3 (V/m)10 2 sin10 2 sinsin2 ftkz3015150(mD106 1例18、空氣中某一均勻平面波的波長(zhǎng)為r10 78.662