【精品】高中數(shù)學(xué) 10.3《組合》備課資料 舊人教版必修

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修系列：10.3組合(備課資料)參考例題例1用0到9這十個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字且能被18整除的八位數(shù)？解：因?yàn)?8=2·9，而2與9互質(zhì)，所以所求八位數(shù)的末位數(shù)應(yīng)是偶數(shù)，且各位數(shù)字之和為9的倍數(shù).因?yàn)?+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，所以只能除去0與9，或1與8，或2與7，或3與6，或4與5中的一對后再進(jìn)行分類.將上述情況分兩類討論：（1）去掉0與9，將2、4、6、8中任一個排在個位，有CA種；（2）去掉1與8，2與7，3與6，4與5中其中一對，有C種方法，下一步再分為 兩類：0排在末位，有A種；0不排在末位（0有六個位置可選），末位可排三個，偶數(shù)其

2、中之一，有 A·A·A種，總共有C·A+ C·（A+ A·A·A）=92160種方法.例2要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動，按下列要求，有多少種不同選法？（1）A、B、C三人必須入選;（2）A、B、C三人不能入選;（3）A、B、C三人只有一人入選;（4）A、B、C三人至少一人入選;（5）A、B、C三人至多二人入選.解：（1）只需再從A、B、C之外的9人中選擇2人，所以有C=36種不同選法.（2）由于A、B、C三人都不能入選，所以只能從余下的9人中選擇5人，即有C=C=126種選法.（3）可分兩步：先從A、B、C三人中選出1人，有C種

3、選法，再從其余的9人中選擇4人，有C種選法.所以共有CC=378種選法.（4）（直接法）可分三類：A、B、C三人只選一人，則還需從其余9人中選擇4人，有CC=378種選法；A、B、C三人中選擇二人，則還需從其余9人中選擇3人，有CC=252種選法；A、B、C三人都選入，則只需從余下的9人中選擇2人，有CC =36種選法.由分類計(jì)數(shù)原理共有378+252+36=666種不同選法.（間接法）先從12人中任選5人，再減去A、B、C三人都不入選的情況，共有C-C=666種選法.（5）（直接法）可分三類：A、B、C三人均不入選，有C種選法；A、B、C三人中選一人，有CC種選法；A、B、C三人中選二人，有

4、CC種選法.由分類計(jì)數(shù)原理，共有C+ CC+ CC=756種選法.（間接法）：先從12人中任選5人，再減去A、B、C三人均入選的情況，即C-C=756種選法.例3六本不同的書，按下列條件，各有多少種不同的分法？（1）分給甲、乙、丙三人，每人兩本；（2）分為三份，每份兩本；（3）分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；（4）分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；（5）分給甲、乙、丙三人，每人至少一本.解：（1）可分三步完成，先分給甲，有C種分法，再分給乙，有C種分法，余下兩本給丙.由分步計(jì)數(shù)原理，共有CCC=90種不同分法.（2）由于問題（1）也可分以下兩步完成：第一步：把6本書平均

5、分成三份，設(shè)有x種分法；第二步：把分好份的書，再分給甲、乙、丙三人，有A種分法.根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得x·A= CCC,x=15.因此把六本書分成三份，每份兩本，共有15種分法.（3）分三步完成，由乘法原理可得不同分法種數(shù)為CCC=60.（4）分兩步完成，第一步先分份，由（3）知共有60種不同分法.第二步將分好份的書，再分給人，有A種分法.由乘法原理共有60A=360種不同分法.（5）可分為三種情況：一是題（1）；一是題（4）；還有一種是甲、乙、丙三人，兩人各拿一本，一人拿四本，有CA=90種，所以共有90+360+90=540種不同分法.例4某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選

6、派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？（3）甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？（4）隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？解：（1）只需從其他18人中選3人即可，共有C=816種；（2）只需從其他18人中選5人即可，共有C=8568種；（3）分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有CC+C=6936種；（4）解法一：（直接法）至少一名內(nèi)科一名外科的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外.所以共有CC+CC+CC+CC=14656種.解法二：（排除法）由總數(shù)中減去五名都是

7、內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得C-（C+C）=14656種.例5某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷.現(xiàn)從這11人中選出4人排版、4人印刷，有幾種不同的選法？若只選3名只會印刷的工人，則還需從2名“全能”的工人中選1人印刷，4名排版工人只能從余下的6人中選取，有CCC種選法.若從4名只會印刷的工人中選2人，則2名“全能”的工人需都去印刷，4名排版工人只能全從5名只會排版的工人中選取，有C·C·C種選法.所以共有C+CCC+C CC =185種不同的選法.備課資料一、插入閘板法解組合問題例1某中學(xué)從高中7個班中選出12名學(xué)生

8、組成校代表隊(duì)，參加市中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題競賽活動，使代表中每班至少有1人參加的選法有多少種？分析：由于12個名額是不可區(qū)別的，所以將問題轉(zhuǎn)化成把排成一行的12個“0”分成7份的不同方法數(shù)，這樣用6塊閘板插在11個間隔中，共有C種不同的插法.所以所求選法種數(shù)為C=462種.示意圖：0，|0,| 0，0，|0，0,| 0，0，|0，0,| 0，0，例26人帶10瓶汽水參加春游，每人至少帶1瓶汽水，共有多少種不同的帶法？分析：將所求問題轉(zhuǎn)化成10個相同的球放到6個不同的盒子里，每個盒子里至少放1個球，有多少種不同的放法.即把排成一行的10個“0”分成6份的方法數(shù)，這樣用5塊閘板插在9個間隔中，共有C=12

9、6種.即共有126種不同的帶法.例3從一樓到二樓的樓梯17級，上樓時可以一步走一級，也可以一步走兩級，若要求11步走完這樓梯，則有多少種不同的走法？分析：由題意可知這11步中，其中6步一步走兩級，5步走一級.因此，要確定一種走法，只需確定這11步中，哪6步走兩級即可，故不同的走法數(shù)為C=462種.例4如圖從5×6方格中的頂點(diǎn)A到頂點(diǎn)B的最短路線有多少條？分析：從A到B的最短路線均需走11步（一步即為一個單位），即橫向走6步，縱向走5步，因此，要確定一種走法，只需確定這11步中哪6步是橫向走即可，故不同的走法數(shù)為C=462種.例5如果中日圍棋擂臺賽中，各方都出6名隊(duì)員，按事先安排好的順

10、序出場，雙方先由1號隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，另一方獲得勝利為止，形成一種比賽過程，問：其中中方獲勝的所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？分析：易見中方只需取得6場比賽的勝利即可，且最多只需安排11場比賽，依次記為1，2，3，11，故要確定比賽過程，只需確定這11場比賽中哪6場是中方獲勝即可.故可能出現(xiàn)的不同的比賽過程的種數(shù)即為從1，2，11個元素中取出6個元素的組合數(shù)C=462種.二、插入法舉例例1一排有10個具有編號的座位，3個人來坐，都不坐兩頭且兩人之間至少有一個空位，問有多少種不同的坐法？分析：由于七個空座位順序已定，它們之間有6個空擋，所以插入三個座位并坐上3個人，其不同的坐法有A=120種

11、.例2從1，2，3，14中，按從小到大的順序取出數(shù)a1,a2,a3,使同時滿足a2-a1=3,a3-a2=3,則符合要求的不同取法有多少種？分析：由于除a1、a2、a3外的11個數(shù)可形成12個空擋（含兩端的），按每間隔兩個元素依次插入a1,a2,a3,共有8種方法，故所求的取法有8種.例3在1，2，3，14中，按數(shù)從小到大的順序取出a1、a2、a3,使同時滿足a2-a14,a3-a24,則符號要求的不同取法有多少種？分析：本題與例4相似，不同的是增加了“至少間隔三個數(shù)”的限定.此時，可將a2前的兩個數(shù)與a2合看作“一個數(shù)”，將a3前的兩個數(shù)與a3合看作“一個數(shù)”，則問題可化為類型三的方法來求解

12、.在7個數(shù)形成的8個空擋中，插入“三個數(shù)”的方法有C=56種，即符合要求的取數(shù)方法有56種.例4一座橋上有編號為1，2，3，10的十盞燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三盞關(guān)掉，但不能關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的路燈.問不同的關(guān)燈方法有多少種？分析：由于路燈都有編號（順序已定），七盞開著的路燈之間有6個空擋，所以插入3盞不亮的路燈的方法有C=20種，即不同的關(guān)燈方法有20種.例510個人站成一排，其中甲、乙、丙三人兩兩不相鄰且不站兩端，問有多少種不同的站法？分析：除甲、乙、丙外的七個人有A種站法，七個人之間有6個空擋，插入甲、乙、丙有A種方法，所以所求的站法數(shù)有AA=10080

13、0種.三、2003年高考題=_.A.B.3C. D.6分析：分子利用組合數(shù)性質(zhì)C+C=C,將C化為C,則C+C=C,C+C=C,依此類推，可得分子為C=.分母變形為n(2+3+4+n)=n·.則原式=·=.故選A.備課資料一、排列組合應(yīng)用題的錯誤分析在解答排列、組合問題的過程中，極易把排列與組合問題錯位或出現(xiàn)“重復(fù)”“遺漏”的錯誤.下面舉例說明.例1有五件不同獎品發(fā)給4位先進(jìn)工作者，每人至少一件，有多少種不同的發(fā)放 方法？錯解一：從5件獎品中任取4件發(fā)給4個人，每人一件，再將剩余的一件發(fā)給4個人中任一人，保證了每人至少一件，共有C·A·A=480（種）.

14、錯解二：從5件中任取一件發(fā)給任一人，再將其余4件，每人一件發(fā)放，共有C·A·A=480（種）.分析：以上兩種解法從形式上看，合情合理，保證了每人至少一件的分配方案，但這兩種做法均出現(xiàn)了重復(fù)現(xiàn)象.如：解法一中設(shè)5件獎品為a1、a2、a3、a4、a5，將4個人當(dāng)作4個位置，若取4件發(fā)給4人，其中有一種可能為a1、a2、a3、a4，余a5，再將a5發(fā)給4個人中的任一人時，其中一種可能為a1a5，a2,a3,a4.同樣，從5件中取4件將品發(fā)給4人，有一種可能為a5,a2,a3,a4,余a1,再將a1發(fā)給4人中任一人時，有一種可能是a5a1,a2,a3,a4,這與上面的a1a5,a2

15、,a3,a4為同一分法，出現(xiàn)了重復(fù)現(xiàn)象.同理做法二與做法一出現(xiàn)同樣的錯誤.在解排列組合綜合應(yīng)用題時，應(yīng)先分組再排列或先分組再分配.此題正確的解法為：先將獎品分為4組，有C種分法，再將4組獎品發(fā)給4個人，有A種，用乘法原理共有C·A=240（種）分法.例2從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法種數(shù)共有A.140種B.84種C.70種 D.35種錯解：先從甲、乙型電視機(jī)中各取1臺有C·C種取法；再從剩下的7臺電視機(jī)中任取一臺有C種取法，共有C·C·C=140種取法.分析：錯誤原因，C·C·

16、;C= C·C（C+C）= CCC+ CCC.對于甲型電視機(jī)，相當(dāng)于先從4臺中任取一臺，再從剩下的3臺中任取1臺，這是一個排列問題.而題設(shè)的取法與順序無關(guān).乙型電視機(jī)的取法也是先從5臺中任取1臺，再從剩下的4臺中取1臺.因此得出錯誤的結(jié)果.下面給出正確的解法.解法一：=70（種）.解法二：分兩類：甲型電視機(jī)取1臺，乙型電視機(jī)取2臺；或甲型電視機(jī)取2臺，乙型電視機(jī)取1臺，得CC+CC=70（種）.答案：C例3從5個學(xué)生中選三人參加代表會，其中甲、乙兩人中至少一人在內(nèi)，共有多少不同選法？錯解：先從甲、乙二人中任選一人，有C種選法，再從其余4人中任選2人，有C種方法，根據(jù)乘法原理共有CC=

17、12（種）.分析：設(shè)五個人為A、B、C與甲、乙，先選甲，再從其余4人中選二人，有可能取乙與A，即甲、乙、A，若先選乙，再從其余4個人中選二人，有可能取甲、A，即乙、甲、A.這兩種選法實(shí)質(zhì)上是同一種，這樣就多算了A=3種方法.一般情況下，在排列組合問題中，若有“至多”“至少”問題時，最常用的方法是分類法和排雜法，要保證分類合理，排雜準(zhǔn)確，既不重復(fù)，又不遺漏.下面給出正確解法.正解一：（分類法）若甲、乙中只選一人有CC種；若甲、乙都選有CC種.應(yīng)用分類計(jì)數(shù)原理有C·C+ CC=9（種）.正解二：（排雜法）從5人中任選3人，再減去甲、乙都不在內(nèi)的選法即可.故所求為C-C=9（種）.例4將5

18、列車停在5條不同的軌道上，其中a列車不停在第一軌道上，b列車不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有_種.A.120B.96C.78D.72錯解：5列車任意停在5條軌道上有A種方法，a列車停在第一軌道有A種方法，b列車停在第二軌道有A種方法，不同的停放方法有A- A- A=72（種）.分析：當(dāng)a列車停在第一軌道，則b列車停在第二軌道的方法有A種，而b列車停在第二軌道，a列車停在第一軌道的方法有A種.這里的A產(chǎn)生了重復(fù)，正確的解法如下：解法一：A- 2A+ A=78（種）.解法二：按a列車的停放方法分類討論.當(dāng)a列車停在第二道，其余4列車有A種停法；當(dāng)a列車停在第3、4、5軌道中的任意一道有A種方

19、法，b列車不停在第二軌道有A種方法，其余3列車有A種停法.根據(jù)分步與分類計(jì)數(shù)原理有A+ A·A·A=78（種）.答案：C解有關(guān)排列組合題，一定要細(xì)心謹(jǐn)慎，認(rèn)真挖掘題目的隱含條件，分清排列與組合的條件，不斷變換角度，利用一題多解的方法核對答案，避免解題出錯.二、分組分配問題及其解法有分配對象的分組分配問題是排列組合中的重要的基本的題型，熟練地掌握這類題型的解法不僅能幫助我們加深對兩個基本原理的理解，而且它也是我們解決復(fù)雜的排列組合問題的基礎(chǔ).（一）各組元素?cái)?shù)目確定，分配對象確定例1（1998年全國高考題）3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士

20、，不同的分配方法種數(shù)共有A.90種B.180種C.270種D.540種分析：分兩大步：第一大步：3名醫(yī)生分配到3所學(xué)校共有C·C·C種；第二大步：6名護(hù)士分配到3所學(xué)校共有C·C·C種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得C·C·C·C·C·C=540（種）.答案：D例2（1993年全國高考題）在50件產(chǎn)品中有4件是次品，從中任意抽出5件，至少有3件是次品的抽法共有_種.分析：根據(jù)題意：有3件是次品的抽法有C·C種；有4件是次品的抽法有C·C種，所以至少有3件是次品的抽法種數(shù)為C·C+ C&

21、#183;C=4140+46=4186.例3有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，有10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法種數(shù)共有A.1260種B.2025種C.2520種D.5040種分析：從10人中選2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，有C種方法；再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，有C種方法；最后從剩下的7人中選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，有C種方法，由分步計(jì)數(shù)原理共有C·C·C=2520（種）.答案：C（二）各組元素?cái)?shù)目確定，分配對象不確定例46本不同的書分給3人，1人1本，1人2本，1人3本，有多少種分法？分析：先計(jì)算3人的排列，再考慮書的分配，故有C·C&#

22、183;C·A=370（種）.（三）部分均分給若干對象例56位實(shí)習(xí)教師全部分給高一年級的5個班級進(jìn)行實(shí)習(xí)，每班至少1人，有多少種不同的分法？分析：把實(shí)習(xí)教師先分成5組，人數(shù)分別為1，1，1，1，2，然后分給5個班級進(jìn)行實(shí)習(xí)，共有C·C·C·C·C·A種分法.但事實(shí)上有4個班級所分的實(shí)習(xí)老師數(shù)目相同，不用相互交換.因此上述分法種數(shù)是實(shí)際數(shù)的A倍，故應(yīng)除以A.所以不同分法種數(shù)應(yīng)為=1800（種）.備課資料排列組合知識在近幾年高考中的體現(xiàn)例1（2003年全國高考題）某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖），現(xiàn)要栽種不同顏色的花

23、，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有_種.解：分兩大類：第一類：6，5，1，2四部分栽種四種不同顏色的花，共分三步：第一步：在6，5，1，2四部分栽種不同顏色的花，共有A種不同栽法；第二步：栽種3、4部分，又有兩類：一類是3與6顏色相同，4與2顏色相同，有1種栽法；另一類是3與5顏色相同，4與2或6顏色相同，有2種栽法，共有1+2=3種栽法.由分步計(jì)數(shù)原理，第一大類共有A×3=72種不同栽法.第二大類：在6，5，1，2四部分中，2與5顏色相同，可分兩步：第一步栽種6，5，1部分，可從四種顏色中選3種進(jìn)行排列，有A種栽法；第二步栽種第2部分，與5相同，有1種栽法；第三步栽種3、4部分，又有兩類：一類是3與6相同，4栽種剩余的第四種顏色，有1種栽法；另一類是3栽種剩余第四種顏色，4與6栽種相同顏色的花，共有2種栽法.由分步計(jì)數(shù)原理得第二大類共有A×1×2=48（種）.最后再根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有72+48=120種不同栽法.例2（2002年全國高考題）從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有_種.A.8B.12C.16D.20分析：此題正面分析情形較多，若逆向思考，則轉(zhuǎn)化為總體中除去3個面兩兩相鄰的 情形.解：6個面中任意取3個，共有C個