2020年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷(有答案解析)

1、2020 年上海市靜安區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷題號一二三總分得分一、選擇題（本大題共4 小題，共 20.0 分）1.“三個(gè)實(shí)數(shù) a， b，c 成等差數(shù)列”是“2b=a+c“的（）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件2.設(shè) x， yR，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則點(diǎn)P（x，y）一定滿足（）A. y=xB.C. y=-xD.3.若展開（ a+1）（ a+2）（ a+3）（a+4）（ a+5 ），則展開式中a3的系數(shù)等于（）A. 在 1，2，3，4，5 中所有任取兩個(gè)不同的數(shù)的乘積之和B. 在 1，2，3，4， 5中所有任取三個(gè)不同的數(shù)的乘積之和C. 在 1，2，3，4，

2、 5中所有任取四個(gè)不同的數(shù)的乘積之和D. 以上結(jié)論都不對4. 某人駕駛一艘小游艇位于湖面 A 處，測得岸邊一座電視塔的塔底在北偏東21°方向，且塔頂?shù)难鼋菫?18°，此人駕駛游艇向正東方向行駛1000 米后到達(dá) B 處，此時(shí)測得塔底位于北偏西 39°方向，則該塔的高度約為（ ）A. 265 米B. 279 米C. 292 米D. 306 米二、填空題（本大題共 12小題，共 54.0 分）5. 計(jì)算（ 1-0.9n）=6. 在單位圓中， 60 °的圓心角所對的弧長為 7. 若直線 l1和 l2的傾斜角分別為 32°和 152°，則 l

3、1與 l2 的夾角為 8. 若直線 l 的一個(gè)法向量為 =（2，1），則直線 l 的斜率 k=第 11 頁，共 10 頁9. 設(shè)某種細(xì)胞每隔一小時(shí)就會(huì)分裂一次，每個(gè)細(xì)胞分裂為兩個(gè)細(xì)胞則 7 小時(shí)后， 1 個(gè)此種細(xì)胞將分裂為個(gè) 10. 設(shè)ABC 是等腰直角三角形，斜邊 AB=2現(xiàn)將ABC（及其內(nèi)部）繞斜邊 AB所在的直線旋轉(zhuǎn)周形成一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為 11. 如圖，在平行四邊形 ABCD 中， AB=2，AD=1則的值為12. 三倍角的正切公式為 tan3 =_（用 tan 表示）13. 設(shè)集合 A 共有 6個(gè)元素，用這全部的 6個(gè)元素組成的不同矩陣的個(gè)數(shù)為 14. 現(xiàn)將函數(shù) y=se

4、cx， x（ 0， ）的反函數(shù)定義為反正割函數(shù)，記為：y=arcsecx則 arcsec（ -4）= （請保留兩位小數(shù)）15. 設(shè)雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 在雙曲線上，若 PF1PF2，則點(diǎn) P到坐標(biāo)原點(diǎn)O 的距離的最小值為 16. 設(shè) a>0，a1， M> 0，N> 0，我們可以證明對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如下：我們將 ? 式稱為證明的“關(guān)鍵步驟“ 則證明 （其中 M> 0，rR）的“關(guān)鍵步驟”為 三、解答題（本大題共 5 小題，共 76.0分）17. 如圖，在正六棱錐 P-ABCDEF 中，已知底邊長為 2，側(cè)棱與底面所 成角為 60°（ 1）求該六

5、棱錐的體積 V ：（ 2）求證： PACE18. 請解答以下問題，要求解決兩個(gè)問題的方法不同（1）如圖 1，要在一個(gè)半徑為 1 米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形ABCD，如何截?。坎⑶蟪鲞@個(gè)最大矩形的面積（2）如圖 2，要在一個(gè)長半軸為 2 米，短半軸為 1 米的半個(gè)橢圓形鐵板中截取一塊面積最大的 矩形 ABCD ，如何截??？并求出這個(gè)最大矩形的面積19. 設(shè) an是等差數(shù)列，公差為 d，前 n 項(xiàng)和為 Sn（ 1）設(shè) a1=40，a6=38，求 Sn 的最大值；（2）設(shè)，數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和為 Tn，且對任意的 nN*，都有 Tn 2，0求 d 的取值范圍20. 已知拋物線 的準(zhǔn)

6、線方程為 x+y+2=0，焦點(diǎn)為 F（1， 1）（ 1）求證：拋物線 上任意一點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ x， y）都滿足方程 x2-2xy+y2-8x-8y=0； （ 2）請指出拋物線 的對稱性和范圍，并運(yùn)用以上方程證明你的結(jié)論；（ 3）設(shè)垂直于 x軸的直線與拋物線 交于 A， B兩點(diǎn)，求線段 AB的中點(diǎn) M 的軌跡方程21. 現(xiàn)定義：設(shè) a是非零實(shí)常數(shù)，若對任意的xD，都有 f（ a-x）=f（a+x），則稱函數(shù) y=f（x）為“關(guān)于 a 的偶型函數(shù)”（ 1）請以三角函數(shù)為例，寫出一個(gè)“關(guān)于2 的偶型函數(shù)”的解析式，并給予證明；（ 2）設(shè)定義域?yàn)?R的“關(guān)于 a 的偶型函數(shù)” y=f（ x）在區(qū)間（

7、 -，a）上單調(diào)遞增，求證： y=f （ x）在區(qū)間（ a， +）上單調(diào)遞減；（ 3）設(shè)定義域?yàn)?R 的“關(guān)于 的偶型函數(shù)” y=f（x）是奇函數(shù)，若 nN*，請猜測 f（n）的值， 并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論答案與解析1. 答案： C 解析： 解：若“ a，b， c成等差數(shù)列”，則“ 2b=a+c”，即“ a，b，c 成等差數(shù)列”是“ 2b=a+c”的 充分條件；若“2b=a+c”，則“ a，b，c 成等差數(shù)列”，即“ a， b， c成等差數(shù)列”是“ 2b=a+c”的必要條件， 綜上可得：“ a，b， c成等差數(shù)列”是“ 2b=a+c”的充要條件， 故選： C根據(jù)充要條件及等差數(shù)列的定義判斷

8、即可 本題考查的知識是充要條件的判斷，正確理解并熟練掌握充要條件的定義，是解答的關(guān)鍵2. 答案： B解析： 解：由= 是純虛數(shù)，得 x0， y= RtACD 中， CAD=18°， 所以CD =AC?tan18 =°×tan18=°× 0.3249 2（9米2 ）；故選： B利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由實(shí)部為0且虛部不為 0 列式求解本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題3. 答案： A 解析： 解：展開（ a+1）（a+2）（a+3）（a+4）（ a+5），則展開式中 a3的系數(shù)可以看成一個(gè)因式取 a，其余的兩個(gè)

9、因式是從 5 個(gè)因式中任意取 故選： A直接利用二項(xiàng)式展開式的應(yīng)用求出結(jié)果本題考查的知識要點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于 基礎(chǔ)題型4. 答案： C 解析： 解：如圖所示，ABC 中， AB=1000，ACB=21 °+39 °=60 °，ABC=90 °-39 °=51 °；由正弦定理得， = ， 所以 AC=所以該塔的高度約為 292 米 故選： C根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形，利用三角形的邊角關(guān)系，即可求出該塔的高度 本題考查了三角形的邊角關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題5. 答案：

10、 1解析： 解：（1-0.9n） =1-=1-0=1故答案為： 1 直接利用數(shù)列的極限的運(yùn)算法則，求解即可 本題考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則的應(yīng)用，是基本知識的考查，基礎(chǔ)題6.答案：解析： 解：由弧長公式 l=| r=| ×1= ，故答案為：由弧長公式即可算出結(jié)果 本題主要考查了弧長公式，是基礎(chǔ)題7.答案： 60 °解析： 解：直線 l1和 l2 的傾斜角分別為 32°和 152°，所以直線 l1和 l 2的夾角為 180°-（152°-32 °） =60 °故答案為： 60°直接利用角的運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果本題

11、考查的知識要點(diǎn)：直線的傾斜角的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬 于基礎(chǔ)題型8.答案： -2 解析： 解：根據(jù)題意，設(shè)直線 l 的斜率為 k，則其方向向量為 =（1，k），若直線 l 的一個(gè)法向量為 =（2， 1），則有 ? =2+k=0，解可得 k=-2； 故答案為： -2根據(jù)題意，分析可得直線 l的方向向量為（ 1，k），進(jìn)而分析可得 ? =2+k=0，解可得 k的值，即可 得答案本題考查直線的斜率以及直線的法向量，注意直線方向向量的定義，屬于基礎(chǔ)題9. 答案： 27解析： 解：根據(jù)題意， 7 小時(shí)后，這種細(xì)胞總共分裂了 7 次，則經(jīng)過 7小時(shí)， 1個(gè)此種細(xì)胞將分裂為個(gè)

12、27個(gè)；故答案為： 27根據(jù)題意，分析可得 7 小時(shí)后，這種細(xì)胞總共分裂了 7 次，由等比數(shù)列的通項(xiàng)分析可得答案 本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用，注意分析分裂的次數(shù)，屬于基礎(chǔ)題10.答案：1，高為 1；所以幾何體的體積為V=2× ×故答案為：解析： 解：等腰直角三角形的直角邊為 ，斜邊的高為 1； 旋轉(zhuǎn)后的幾何體為兩個(gè)大小相等的圓錐組合體，其圓錐的底面半徑為由題意知旋轉(zhuǎn)體為兩個(gè)同底等高的圓錐組合體，由此求出組合體的體積 本題考查了旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征與體積的計(jì)算問題，是基礎(chǔ)題 11.答案： -3解析： 解： AB=2，AD=1，根據(jù) ABCD 是平行四邊形可得出，然后代入 AB=2，

13、AD=1 即可求出的值=1-4=-3故答案為：-3本題考查了向量加法的平行四邊形法則，相等向量和相反向量的定義，向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查了 計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12.答案：解析： 解： tan3 =ta（n +2）故答案為：直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出結(jié)果本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能 力，屬于基礎(chǔ)題型13.答案： 720解析： 解：因?yàn)榧?A共有 6 個(gè)元素，用這全部的 6 個(gè)元素組成的不同矩陣，矩陣中的元素的位置 變換，矩陣也不相同，所以矩陣的個(gè)數(shù)為=720故答案為： 720利用已知條件判斷矩陣的個(gè)數(shù)與元素的順序有關(guān)，直接利用

14、排列求解即可 本題考查排列的應(yīng)用，判斷矩陣中的元素變化，矩陣不相同是解題的關(guān)鍵 14.答案： 1.82解析： 解： y=secx= ，x（ 0，），當(dāng) y=-4 時(shí)， cosx=- ， x=-arccos ，由查表得 arccos 1.318x=-1.318 1.82故答案為： 1.82計(jì)算題；三角函數(shù)的求值本題考查反三角函數(shù)的運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題15.答案：解析： 解：雙曲線 的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 在雙曲線上，若 PF1PF2， 則點(diǎn) P 到坐標(biāo)原點(diǎn) O 的距離為 c，所以 c= = ，當(dāng)且僅當(dāng) a= 時(shí)，取得最小值： 故答案為： 利用已知條件 PF 1PF 2，點(diǎn) P 到坐標(biāo)原點(diǎn) O

15、的距離為 c，轉(zhuǎn)化求解 c的最小值即可 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題16. 答案： a=（ a）r=Mr 解析： 解：設(shè) logaMr=b， ab=Mr， rlogaM=b，a=a=（a）r=（a ）r=ab=Mr，關(guān)鍵步驟為： a=（a） r=Mr利用指數(shù)式與對數(shù)式的互化即可算出結(jié)果 本題主要考查了對數(shù)式與指數(shù)式的互化，是基礎(chǔ)題17. 答案： 解：（ 1）解： 在正六棱錐 P-ABCDEF 中，底邊長為 2，側(cè) 棱與底面所成角為 60°連結(jié) AD，過 P作 PO底面 ABCD，交 AD 于點(diǎn) O，則 AO=DO=2， PAO=60°，

16、PA=2AO=4，PO= =2 ，SABCDEF =6×（）=6 ，該六棱錐的體積 V= =12 （ 2）證明：連結(jié) CE，交 AD 于點(diǎn) O，連結(jié) PG，DE=CD，AE=AD，ADCE，O 是 CE中點(diǎn)，PA=PC， PGCE，PGAD =G，CE 平面 PAD ，PA? 平面 PAD ， PACE解析： （1）連結(jié) AD，過 P 作 PO底面 ABCD ，交 AD 于點(diǎn) O，則 PA=2AO=4，由此能求出該六棱 錐的體積（2）連結(jié) CE，交 AD 于點(diǎn) O，連結(jié) PG，推導(dǎo)出 ADCE，PGCE，從而 CE平面 PAD，由此能證 明 PACE 本題考查六棱錐的體積的求法，考查

17、線線垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系 等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題18. 答案： 解：（ 1）設(shè) BOC=，（）；OB=cos ， BC=sin ；S=2OB?BC，S 2sin cos =；sin2 當(dāng) 時(shí)，即 OB= 時(shí)，矩形面積最大為 1；（ 2）依題意可得：橢圓方程為：；設(shè)：點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ m， n）即： OB=m， BC=n；S=2OB?BC=2mn；點(diǎn) C 為橢圓上的點(diǎn)；mn1，當(dāng)且僅當(dāng)= 時(shí)取等號；S2； 即矩形面積最大為 2；當(dāng) OB= 時(shí)取等號；解析： （1）通過設(shè)出 BOC=，進(jìn)而用 表示出 OB， BC；最后表示出 S利用三角函數(shù)即可求解；

18、（2）通過設(shè)出點(diǎn) C的坐標(biāo)（ m，n），進(jìn)而表示出 OB=m，BC=n，S=2mn；再利用點(diǎn) C 為橢圓上的 點(diǎn)，即滿足其方程利用基本不等式求解即可； 本題考查了基本不等式的運(yùn)用，考查了學(xué)生的發(fā)散性思維，屬于中檔題19.答案： 解：1)a1=40， a6=38，可得 d=可得 Sn=40n- n（ n-1）?=- （n- ）2+ ，由 n 為正整數(shù)，可得 n=100 或 101 時(shí)， Sn 取得最大值 2020 ；2）設(shè)，數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和為 Tn，可得 an=1+（n-1）d，數(shù)列 bn 為首項(xiàng)為 2，公比為 2d的等比數(shù)列， 若 d=0，可得 bn=2；d>0，可得 bn為遞增

19、數(shù)列，無最大值；當(dāng) d<0 時(shí)，Tn=nN*，都有 Tn 2，0 可得 20且 d< 0，即為 = ，兩邊平方化簡可得對任意的 解得 dlog20.9解析： （ 1）運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得公差d，再由等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合配方法和二次函數(shù)的最值求法，可得最大值；（ 2）由題意可得數(shù)列 bn 為首項(xiàng)為 2，公比為 2d的等比數(shù)列， 討論 d=0，d>0，d<0，判斷數(shù)列 bn 的單調(diào)性和求和公式，及范圍，結(jié)合不等式恒成立問題解法，解不等式可得所求范圍本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列不等式恒成立問題解法，注 意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，考查化簡運(yùn)算能

20、力，屬于中檔題20.答案： 解：（1）證明：拋物線 的準(zhǔn)線方程為 x+y+2=0， 焦點(diǎn)為 F（1， 1），拋物線 上任意一點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ x，y），由拋物線的定義 可得|PF |=d（d為 P 到準(zhǔn)線的距離）， x2-2xy+y2-8x-8y=0；（ 2）拋物線關(guān)于 y=x 對稱，頂點(diǎn)為（ 0，0），范圍為 x-1， y-1，由方程 x2-2xy+y2-8x-8y=0，設(shè)拋物線上任一點(diǎn)（ x，y）關(guān)于 直線 y=x 對稱的點(diǎn)為（ y， x），滿足原方程， 則拋物線關(guān)于直線 y=x對稱；由直線 y-1= x-1 即 y=x，聯(lián)立 x+ y+2=0 ，解得 x=y=-1， 可得拋物線的頂點(diǎn)為（

21、 0，0）；由 x=-1 和 x2-2xy+y2-8x-8y=0 聯(lián)立可得切點(diǎn)為（ -1，3）， 同樣由 y=-1 和 x2-2xy+y2-8x-8y=0 聯(lián)立可得切點(diǎn)為（ 3， -1），可得拋物線的范圍為 x-1， y-1；（ 3）設(shè)垂直于 x 軸的直線為 x=t，代入拋物線的方程 x2-2xy+y2-8x-8y=0，可得 t2-（2t+8） y+t2-8t=0， 設(shè) A（ t， y1）， B（t，y2），可得 y1+y2=2t+8，則 AB 的中點(diǎn)為（ t， t+4），則 AB 的中點(diǎn)的軌跡方程為直線 y=x+4 解析： （1）由拋物線的定義可得 |PF|=d（d為 P到準(zhǔn)線的距離），運(yùn)用

22、兩點(diǎn)的距離公式和點(diǎn)到直線 的距離公式，化簡可得所求軌跡方程；（ 2）由拋物線的方程的特點(diǎn)，考慮點(diǎn)關(guān)于直線y=x 的對稱點(diǎn)的特征和對稱軸與準(zhǔn)線和拋物線的交點(diǎn)的關(guān)系，以及直線和拋物線相切的特點(diǎn)，可得所求范圍；（ 3）設(shè)垂直于 x 軸的直線為 x=t，代入拋物線的方程 x2-2xy+y2-8x-8y=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公 式，以及參數(shù)方程化為普通方程可得所求軌跡方程本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，考查軌跡方程的求法，以及方程思想和數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)算 能力和推理能力，屬于中檔題21.答案： 解：（ 1）函數(shù) f（x）=cos（x-2）為“關(guān)于 2 的偶型函數(shù)” 理由：由 f（ 2-x） =cos（2-x-2） =cos（ -x） =cosx， f（ 2+x） =cos（2+x-2）=cosx， 可得對任意的 xR，都有 f（ 2-x） = f（ 2+x），故 f（x）=cos（x-2）為“關(guān)于 2 的偶型函數(shù)”； （ 2）證明：設(shè) a<x1<x2，則 -a>-x1>-x2，即有 a>