全等的相關(guān)模型總結(jié)1

1、全等的相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型應(yīng)用1.角平分性質(zhì)模型：輔助線：過點(diǎn)G作GE 射線AC(1).例題應(yīng)用： 如圖1,在ABC中,C 90°, AD¥分CAB,BC 6cmBD 4cm,那么點(diǎn).到直線ab的距離是 cm. 如圖2,12,34 .求證：AP平分BAC .圖1圖22 (提示：作DE AB交AB于點(diǎn)E)君 12, PM PN ,34 PN PQ PM PQ, PA 平分 BAC(2).模型穩(wěn)固:練習(xí)一：如圖3,在四邊形ABCD中,BC>AB , AD=CD , BD平分 BAC.求證： A B 1800A圖3練習(xí)二：如圖4,四邊形ABCD中,B D 180&#

2、176;,BC CD.求證：AC平分 BAD.練習(xí)三：如圖5, Rt ABC中, ACB 900, CD AB,垂足為D, AF平分 CAB,交CD于點(diǎn)E,交CB于點(diǎn)F.求證：CE=CF.(2)將圖5中的 ADE沿AB向右平移到 AD E的位置,使點(diǎn)E落在BC邊上,其他條件不變,如圖6所示,是猜測(cè)：BE于CF又怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證實(shí)你的結(jié)論圖5圖6練習(xí)四：如圖 7, / A 90 , AD / BC , P是AB的中點(diǎn),PD平分Z ADC 求證：CP平分/ DCB練習(xí)五：如圖 8, AB> AC Z A的平分線與 BC的垂直平分線相交于 D,自D作Dd AB, DFL AC,垂足 分別為

3、E, F.求證：BE=CF練習(xí)六：如圖9所示,在 ABC中,BC邊的垂直平分線 DF交' BAC的外角平分線 AD于點(diǎn)D, F 為垂足,DE ± AB于E,并且 AB>AC.求證：BE AC=AE .圖9練習(xí)七： 如圖10, D、E、F分別是 ABC的三邊上的點(diǎn), CE=BF,且 DCE的面積與 DBF的面 積相等,求證： AD平分Z BAC.E2.角平分線+垂線,等腰三角形比呈現(xiàn)輔助線：延長 ED交射線OB于F輔助線：過點(diǎn)E作EF /射線OB(1).例題應(yīng)用:.如圖1所示,在 ABC中,/ ABC=3 / C, AD是Z BAC的平分線,BE ± AD 于

4、F.求證：BE1 -(AC AB)圖1證實(shí)：延長BE交AC于點(diǎn)F.由于角是軸對(duì)稱圖形,對(duì)稱軸是角的平分線所在的直線,所以AD為Z BAC的對(duì)稱軸,又由于BE ± AD于F,所以點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于AD對(duì)稱,所以 BE=FE= 1 BF , AB=AF , Z ABF= Z AFB.2由于Z ABF + / FBC= / ABC=3 / C,Z ABF= Z AFB= Z FBC + / C, 所以Z FBC+Z C+Z FBC=3 Z C,所以Z FBC= / C,所以FB=FC ,所以 BE= ' FC= 22.1所以BE -(AC2(AC -AF) =1 (AC -AB ),2

5、AB).ABC中 BAC的角平分線AD 交 BC 于 D,且 AB AD,.：如圖 2,在1作CM AD交AD的延長線于 M.求證：AM -(AB AC)圖2證實(shí)：過點(diǎn)C作CE /AB 交 AM的延長線于點(diǎn)E.BDCE,E1.12,E2. ECAC.ABAD ,B3,34 B44DCEECAE2AMADDEABAC, AM1一 (AB2AC).例題變形:如圖,12,B為AC的中點(diǎn)CM FB 于 M , ANFB 于 N.求證：EF2BM ;FB1(FM FN ).2ED, EC AC.分析：此題很多同學(xué)可能想到延長線段CM ,但很快發(fā)現(xiàn)與要證實(shí)的結(jié)論毫無關(guān)系.而此題突破口就在于AB=AD,由此

6、我們可以猜測(cè)過 C點(diǎn)作平行線來構(gòu)造等腰三角形 .(3).棹刑穩(wěn)固:練習(xí)一、 如圖3, AABC等腰直角三角形,/ BAC=90 , BD平分Z ABC交AC于點(diǎn)D, CE垂直丁 BD交BD的延長線丁點(diǎn)E.求證：BD=2CEB練習(xí)一變形：如圖4,在 ODC中,D 90°, EC是DCO的角平分線,且OE CE , 過點(diǎn)e作EF OC交OCT點(diǎn)F.猜測(cè)：線段EF與OD之間的關(guān)系,并證實(shí).圖4練習(xí)二、如圖 5, ABC中,CE平分Z ACB,且 AE ± CE, Z AED + Z CAE = 180度,求證:DE / BC練習(xí)三、如圖 6, AD ± DC , BC

7、± DC , E是DC上一點(diǎn),AE平分Z DAB , BE平分Z ABC,求證：點(diǎn) E是DC中點(diǎn).練習(xí)四、如圖7(a), BD、CE分別是 ABC的外角平分線,過點(diǎn) A作AD BD、DE (AB BC AC)AE CE,垂足分另I是 D、E,連接DE求證:DE / BC,2圖 7 (a)圖 7 (b)圖 7 (c)、如圖7 (b), BD、CE分別是 ABC的內(nèi)角平分線,其他條 件不變;、如圖7 (c), BD為ABC的內(nèi)角平分線,CE為ABC的外角平分線,其他條件不變.那么在圖7 (b)、圖6 (c)兩種情況下,DE與BC還平行嗎？它與 ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜測(cè)

8、,并證實(shí)你的結(jié)論.(提示：利用三角形中位線的知識(shí)證實(shí)線平行)練習(xí)五、如圖8,在直角三角形 ABC中, C 90 , A的平分線交 BC于D .自C作CG AB交AD 于E ,交AB于G .自D作DF AB于F ,求證：CF DE .練習(xí)六、如圖9所示,在 ABC中,AC AB, M為BC的中點(diǎn),AD是 BAC的平分線,假設(shè)CF AD1-且交 AD的延長線于 F,求證MF - AC AB .2AF圖9練習(xí)六變形一：如圖 10所示,AD是 ABC中 BAC的外角平分線, CD AD于D , E是BC的中點(diǎn),求證 DE II AB 且 DE 1(AB AC).練習(xí)六變形二：如圖11所示,在 ABC中

9、,AD平分 BAC , AD AB , CM AD于M ,求證AB AC 2AM .圖11練習(xí)七、如圖12,在 ABC中, B 2 C , BAC的平分線 AD交BC與D .那么有AB BD AC .那 么如圖 13,在 ABC 中, ABC 3 C , 12 , BE AE .求證：AC AB 2BE .練習(xí)八、在 ABC中,AB 3AC , AD DE .圖13BAC的平分線交 BC于D ,過B作BE AD , E為垂足,求證:練習(xí)九、 AD是 ABC的角平分線, BE AD交AD的延長線于E, EF / AC交AB于F . 求證：AF FB .3.角分線,分兩邊,對(duì)稱全等要記全兩個(gè)圖形的

10、輔助線都是在射線 OA上取點(diǎn)B,使OB=OA,從而使 OAC皿'OBC.(1).例題應(yīng)用：、在zABC中,Z BAC=60 , Z C=4(J , AP平分 Z BAC交 BC丁 P, BCff 分 Z ABC交 AC 丁 Q 求證：AB+BP=BQ+AQ思路分析：1題意分析：此題考查全等三角形常見輔助線的知識(shí)：作平行線.2解題思路：此題要證實(shí)的是AB+BP=BQ+A/勢(shì)較為復(fù)雜,我們可以通過轉(zhuǎn)化的思想把左式和右式分別轉(zhuǎn)化為幾條相等線段的和即可得證.可過O作BC的平行線.得ADA AQO得至U OD=OQAD=AQ只要再證出BD=O眺可以了.解答過程：圖(D證實(shí)：如圖(1),過O作OD

11、/ BC交AB丁 D,. .Z ADO=ABC=180 60° 40° =80° , 乂 . Z AQO=C+Z QBC=80 ,. .Z ADO=AQO乂 . Z DAO=QAO OA=AO.AD(A AQOOD=OQAD=AQ乂 . OD/ BP,. .Z PBO DOB乂 . Z PBO DBO. .Z DBO= DOB BD=OD乂 . ZBPAW C+Z PAC=70 ,Z BOP= OBA+ BAO=70 ,. .Z BOP=BPOBP=OBAB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解題后的思考：(1) 此題也可以在AB上截取AD=AQ

12、連OD構(gòu)造全等三角形,即“截長法(2) 此題利用“平行法的解法也較多,舉例如下：如圖(2),過.作OD/ BC交AC丁 D,那么zXADzX ABg而得以解決.如圖(3),過0作DEEC交航于D*交AC于E, KUAADOAAQO, AE.軍A AEO從而得以解決-圖(3)如圖(4) , 12P作PD/7BQ交AB的延長終于D,那么乙APDAAPCA而 得以解決.如圖(5),過P作PD/ BQ交AC丁 D,那么ABf ADP從而得以解決小結(jié)：通過一題的多種輔助線添加方法,體會(huì)添加輔助線的目的在丁構(gòu)造全等三角形 而不同的添加方法實(shí)際是從不同途徑來實(shí)現(xiàn)線段的轉(zhuǎn)移的,體會(huì)構(gòu)造的全等三角形在轉(zhuǎn) 移線段

13、中的作用.從變換的觀點(diǎn)可以看到,不管是作平行線還是倍長中線,實(shí)質(zhì)都是對(duì) 三角形作了 一個(gè)以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中央的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)造了全等三角形.、如下圖,在 ABC中,AD是 BAC的外角平分線,P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn),試比擬 PB PC與AB AC的大小,并說明理由.E【解析】PB PC AB AC ,理由如下.APPCDAPEPED如下圖,在 AB的延長線上截取 AE AC ,連接PE .由于AD是BAC的外角平分線,故 CAP EAP .在 ACP 和 AEP 中,AC AE , CAP EAP , AP 公用, 因此 ACP絲 AEP , 從而PC PE .在 BPE 中,PB PE BE,

14、而 BE BA AE AB AC,故 PB PC AB AC .變形：在 ABC中,AB AC , AD是 BAC的平分線.P是AD上任意一點(diǎn). 求證：AB AC PB PC .【解析】 在AB上截取AE AC,連結(jié)EP,根據(jù)SAS證得 AEP絲 ACP ,二PE PC , AE AC 又 BEP 中,BE PB PE , BE AB AC ,二 AB AC PB PC(2)、模型穩(wěn)固：練習(xí)一、.如圖,在 ABC中,AD ± BC于D , CD = AB + BD , Z B的平分線交 AC于點(diǎn)E,求證：點(diǎn)E恰好在BC的垂直平分線上.練習(xí)二、如圖, ABC中,AB = AC, ZA

15、= 100° , / B的平分線交 AC于D,求證：AD + BD = BCa練習(xí)三、如圖, ABC中,BC = AC , ZC = 90° , Z A的平分線交 BC于D, 求證：AC + CD = AB練習(xí)四、：在 ABC中,B的平分線和外角ACM的平分線相交于 D,DF PBC,交AC于E,交AB于F,求證：EF BF CE練習(xí)五、在 ABC中,AB2AC, AD平分 BAC , E是AD中點(diǎn),連結(jié) CE ,求證：BD 2CEB變式：在 ABC中,B 2 C, BD 平分 ABC , AD BQ于D,、一1 一求證：BD AC2練習(xí)六、：如圖,在四邊形 ABCW, A

16、D/ BC,BC=DC,C耽分Z BCD,DF/ AB,BF的延長線交 DC于點(diǎn)E.求證：(1) BF=DF;(2) AD=DE.練習(xí)七、如圖,在四邊形ABCg, AB+BC=CD+DAZ ABC的外角平分線與/ CDA的外角平分線交于點(diǎn) P求證：/ APB= / CPD練習(xí)八、如圖,在平行四邊形ABCD的點(diǎn),且BE、DF交于G點(diǎn),BE=DF練習(xí)九、如圖,在 ABC中,Z ACB過 D 作 DE/ AB交 BCT E,E, F分別是AD , AB邊上兩組對(duì)邊分別平行的四邊形中,GC是Z BGD的平分線.為直角,求證：CT=BE.CM ± AB于 M AT平分Z BAC交CM于D,交B

17、C于T,練習(xí)十、如下圖, ABC中,AD平分 BAC , E、F分別在BD、AD上.DE CD , EF AC .求證：EF / ABED【補(bǔ)充】如圖,在 ABC中,AD交BC于點(diǎn)D ,點(diǎn)E是BC中點(diǎn),EF II AD交CA的延長線于點(diǎn) F , 交AB于點(diǎn)G,假設(shè)BG CF ,求證：AD為 BAC的角平分線.4.中考巡禮：(1).如圖1, OP是Z AOB的平分線,請(qǐng)你利用圖形畫一對(duì)以 OP為所在直線為對(duì)稱軸的 全等三角形,請(qǐng)你參考這個(gè)全等三角形的方法,解答以下問題.、如圖2,在 ABC中,ZAC昵直角,/ B=60°, AD CE是Z BAC Z BCA勺角平分線,相交丁點(diǎn)F,請(qǐng)你

18、判斷并寫出EF與DF之間的數(shù)量的關(guān)系.、如圖3,在ABC中,ZAC蝦是直角,而(1)中的其他條件不變,請(qǐng)問,(1)中的 結(jié)論是否任然成立？假設(shè)成立,請(qǐng)證實(shí)；假設(shè)不成立,請(qǐng)說明理由.(2).如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,B (-1, 0), C (1, 0) D為y軸上的一點(diǎn),點(diǎn)A為 第二象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),且Z BAC=2 Z BDO,過點(diǎn)D作DM ± AC 丁 M , 、求證：Z ABD= Z ACD ; 、假設(shè)點(diǎn)E在BA的延長線上,求證：AD平分Z CAE; 、當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)時(shí),(AC-AB ) /AM的值是否發(fā)生變化？假設(shè)不變,求其值；假設(shè)變化,請(qǐng)說明理由二、等腰直角三角形模型1. 在斜邊上

19、任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等:(1) .將 ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)900,使 ACMABD,從而推出 ADM為等腰直角三角形.(但是寫輔助線時(shí)不能這樣寫)(2) .過點(diǎn)C作MC BC ,連AM導(dǎo)出上述結(jié)論.2. 定點(diǎn)是斜邊中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)在兩直角邊上滾動(dòng)的旋轉(zhuǎn)全等：操作過程：連AD.(1) .使 BF=AE (AF=CE ),導(dǎo)出 BDFA ADE.(2) .使Z EDF+ Z BAC=180°,導(dǎo)出BDFADE.(1)、例題應(yīng)用：在等腰直角.4J5C中,N5L4O90,點(diǎn)M 2V在斜邊BC上滑動(dòng),且£M4N=4職 是探究"X、之間的數(shù)量關(guān)系一.yrc±BC解析：方法一：過點(diǎn)

20、C作過點(diǎn)號(hào)作NBlBCf使N另=G；連q*.使過c=及町連,時(shí)r方法二：結(jié)論,B逑+7=泗乙兩個(gè)全等的含30."角的三角板4D疏三角板如下圖放置, 君、小C三點(diǎn)在一條直線上,連接助,用5D的中點(diǎn)連抵WE, MC.是判斷屈WC的形狀.并證實(shí)你的結(jié)也證實(shí)：方法一：連接 AM,證實(shí) MDE絲 MAC.特別注意證實(shí) / MDE= / MAC.方法二：過點(diǎn)M作MN ±EC交EC 丁點(diǎn)N,得出MN為直角梯形的中位線,從而導(dǎo) 出 MEC為等腰直角三角形.(2)、練習(xí)穩(wěn)固： ：如下圖,Rt ABC中,AB=AC BAC 90 , O為BC中點(diǎn),假設(shè)M、N分別 在線段AC、AB上移動(dòng),且在移

21、動(dòng)中保持 AN=CM. 、是判斷 OMN的形狀,并證實(shí)你的結(jié)論 . 、當(dāng)M、N分別在線段 AC、AB上移動(dòng)時(shí),四邊形 AMON的面積如何變化？思路：兩種方法: 在正方形 ABC曲,BE=3 , EF=5 , DF=4,求/ BAE= / DCF為多少度.提示如石囹:3. 構(gòu)造等腰直角三角形(1) 、利用以上的1和2都可以構(gòu)造等腰直角三角(略)；(2) 、利用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角.如以下圖：圖3-1圖3-2操作過程：在圖3-2中,先將 ABD以BD所在的直線為對(duì)稱軸作對(duì)稱三角形,再將此三角形沿 水平方向向右平移一個(gè)正方形邊長的長度單位,使A與M , D與E重合.例題應(yīng)用：平面直

22、角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn),A1,0,B2, 1, CO,3 ,求 z OCA+ Z OCB 的度數(shù).4. 將等腰直角三角形補(bǔ)全為正方形,如以下圖:圖4-2圖4-1例題應(yīng)用：如圖,在等腰直角qc, AC=BCrP為divert部一點(diǎn)*滿足FB=PCt束證己氣思路：構(gòu)造正方形ACBM ,可以構(gòu)造出等邊 APM ,從而造出,又根據(jù),可得,再由于APAC,故而得到從而得證.例題拓展：假設(shè) ABC不是等腰直角三角形,即匕4 CB9Q其他條件不變,求證：/2=2 / 1.練習(xí)穩(wěn)固：在 平面直角坐標(biāo)系中,A (0,3),點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為2,點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為0,當(dāng)A、B、C三點(diǎn)圍成等腰直角三角形時(shí),求點(diǎn)(1)、當(dāng)點(diǎn)B為

23、直角頂點(diǎn)：三、三垂直模型弦圖模型.由/ ABEA BCD 導(dǎo)出ED=AE-CD1. 例題應(yīng)用：由/ ABEA BCD 導(dǎo) 出 EC=AB-CD由/ ABEA BCD 導(dǎo)出BC=BE+ED=AB+CD例1.：如下圖,在 ABC中,AB=AC BAC 90 , D為AC中點(diǎn),AF ± BD于E,交BC于F,連接DF. 求證：Z ADB= Z CDF.思路：方法一：過點(diǎn)C作MC ± AC交AF的延長線于點(diǎn) M.先證 ABD A CAM ,再證 CDFCMF即可.方法二：過點(diǎn) A作AM ± BC分別交BD、BC于H、M.先證 ABH CAF , 再證 CDF ADH 即可

24、.方法三：過點(diǎn) A作AM ± BC分別交BD、BC于H、M.先證Rt AMF絲Rt BMH ,得出HF /AC.由M、D分別為線段AC、BC的中點(diǎn),可得MD為久ABC的中位線從而推出MD / AB, 乂由于 bac 90 ,故而MD ± AC, MD ± HF,所以MD為 線段HF的中垂線.所以Z 1 = 7 2.再由/ ADB+ / 1 = Z CDF + Z 2 , WJZ ADB=Z CDF .例1拓展(1)：如下圖,在 ABC中,AB=AC AM=CN AF ± BM于E,交BC于F,連接NF.求證： Z ADB = Z CDF. BM=AF+F

25、N思路：同上題的方法一和方法二一樣 拓展(2)：其他條件不變,只是將 BM和FN分別延長交于點(diǎn) P,求證：PM=PN, PB = PF+AF.思路：同上題的方法一和方法二一樣例2.如圖2-1,AD / BC, ABE和/CDF是等腰直角三角形, Z EAB=Z CDF= 90 ,AD=2, BC=5,求四邊形AEDF的面積.圖2-1解析：如圖2-2,過點(diǎn)E、B分別作EN ± DA , BM ± DA交DA延長線丁點(diǎn)N、M. 過點(diǎn)F、C分別作FP ± AD, CQ± AD交AD及AD延長線丁點(diǎn) P、Q.京邊形 EAFD S aed S adf ?AD?EN

26、 1 ? AD ?FP 1 ? AD ? EN FP222ABE 和/X CDF 是等腰直角三角形,二 Z EAB = Z CDF= 90 , AE=AB , DF=CD. EN ± DA, BM ± DA , FP ± AD , CQ± AD , . . Z NMB=Z ENA= Z FPD= Z DQC=90 Z ENA= Z MBA , Z FDP= Z QCD.ENA ABM , FPD DQC. .NE=AM , PF=DQ .NE+PF=DQ+AM=MQ-AD. AD / BC, CQ/ BM , Z BMN= 90 ,四邊形BMQC是矩形.

27、二BC=MQ. AD=2 , BC=5 . NE+PF=5-2=31S 四邊形 eafd2 2 3 3.圖2-22. 練習(xí)穩(wěn)固：(1)、如圖(1) -1,直角梯形 ABC D中,AD / BC, / ADC= 90 , l是AD的垂直平分線,交AD于點(diǎn)M,以腰AB為邊做正方形 ABFE , EP± 1于點(diǎn)P.求證：2EP+AD=2CD.(1) -2(2)、如圖,在直角梯形 ABCD中,Z ABC= 90 , AD / BC, AB=AC E是AB的中點(diǎn),CE ± BD. 求證：BE=AD ; 求證：AC是線段ED的垂直平分線；BCD是等腰三角形嗎？請(qǐng)說明理由.AD四、手拉手模型1.AABE和/ ACF均為等邊三角形結(jié)論：(1) . ABFA AEC(2) ./ BOE=BAE= 600 (“八字模型證實(shí))(3) .OA 平分 Z EOF拓展:D條件： ABC和 CDE均為等邊三角形結(jié)論：(1)、AD=BE (2)、Z AC